第一节 国民收入长期趋势和波动# 实际国内生产总值（Real Gross Domestic Product, Real GDP）的趋势过程，是生产要素得到充分利用时 GDP 在长期中经历的过程。趋势产量（Trend Output）表示给定时期现有资源充分利用时能够生产的产量，也称充分就业产量（Full-Employment Output）或潜在产量（Potential Output）。
潜在产量上升通常来自资源增加、人口增长、生产工具改进、新工厂建设、土地改良、新产品和新方法出现，以及知识存量增加。实际 GDP 并不总是等于趋势产量，而是围绕长期趋势上下波动。复苏时期，生产要素利用量增加，实际产量可能超过趋势产量；衰退时期，失业增加、机器闲置，实际产量则低于潜在水平。
第二节 经济增长的描述和事实# 一、经济增长和经济发展# 经济增长（Economic Growth）：定义为产量的增加。产量可表示为 GDP 总量，也可表示为人均 GDP。经济增长的程度用增长率描述。
经济发展（Economic Development）：不仅包括经济增长，还包括国民生活质量，以及社会各方面总体进步；是反映经济社会总体发展水平的综合性概念。
1. 增长率# 变量 Z ( t ) Z(t) Z ( t ) t t t t + Δ t t+\Delta t t + Δ t
g z = Z ( t + Δ t ) − Z ( t ) Δ t Z ( t ) g_z=\frac{Z(t+\Delta t)-Z(t)}{\Delta t Z(t)} g z = Δ tZ ( t ) Z ( t + Δ t ) − Z ( t ) 当 Δ t = 1 \Delta t=1 Δ t = 1
g z = Z ( t + 1 ) − Z ( t ) Z ( t ) g_z=\frac{Z(t+1)-Z(t)}{Z(t)} g z = Z ( t ) Z ( t + 1 ) − Z ( t ) 当 Δ t → 0 \Delta t\to 0 Δ t → 0 Z ( t ) Z(t) Z ( t )
g z = lim Δ t → 0 Z ( t + Δ t ) − Z ( t ) Δ t Z ( t ) = Z ˙ ( t ) Z ( t ) = d ln Z ( t ) d t g_z=\lim_{\Delta t\to0}\frac{Z(t+\Delta t)-Z(t)}{\Delta t Z(t)}
=\frac{\dot Z(t)}{Z(t)}
=\frac{d\ln Z(t)}{dt} g z = Δ t → 0 lim Δ tZ ( t ) Z ( t + Δ t ) − Z ( t ) = Z ( t ) Z ˙ ( t ) = d t d ln Z ( t ) 增长率运算：
若 Z ( t ) = X ( t ) Y ( t ) Z(t)=X(t)Y(t) Z ( t ) = X ( t ) Y ( t ) g z = g x + g y g_z=g_x+g_y g z = g x + g y
若 Z ( t ) = X ( t ) Y ( t ) Z(t)=\frac{X(t)}{Y(t)} Z ( t ) = Y ( t ) X ( t ) g z = g x − g y g_z=g_x-g_y g z = g x − g y
若 Z ( t ) = [ X ( t ) ] a Z(t)=[X(t)]^a Z ( t ) = [ X ( t ) ] a a a a g z = a g x g_z=ag_x g z = a g x
证明思路：取自然对数，再对时间 t t t
总产量增长率：
g Y = Y t − Y t − 1 Y t − 1 g_Y=\frac{Y_t-Y_{t-1}}{Y_{t-1}} g Y = Y t − 1 Y t − Y t − 1 人均产量增长率：
g y = y t − y t − 1 y t − 1 g_y=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}} g y = y t − 1 y t − y t − 1 若 y t y_t y t y t + n y_{t+n} y t + n t t t t + n t+n t + n n n n
g = ( y t + n y t ) 1 n − 1 g=\left(\frac{y_{t+n}}{y_t}\right)^{\frac{1}{n}}-1 g = ( y t y t + n ) n 1 − 1 二、经济增长的一些事实# 不同国家在人均收入和生活水平方面存在巨大差异。人均 GDP 不是衡量福利的完美指标，但它能够大致反映人们获得商品、服务、教育、医疗和公共设施的能力，因此仍是分析长期生活水平的重要指标。
国家间收入增长率也存在显著差异。增长率的微小差别如果长期持续，会通过复利效果造成生活水平的巨大分化。
三、经济增长的基本问题#
为什么一些国家富裕，而另一些国家贫穷？
什么是影响经济增长的因素？
怎样理解一些国家和地区的增长奇迹？
分析经济增长时通常使用两类方法。增长核算（Growth Accounting）把产量增长中不同决定因素的贡献程度数量化；增长理论（Growth Theory）则把生产要素供给、技术进步、储蓄和投资之间的互动关系模型化。
第三节 经济增长的决定因素# 一、增长的直接原因# 总量生产函数（Aggregate Production Function）：
Y = A F ( N , K ) Y=AF(N,K) Y = A F ( N , K ) 其中，Y Y Y N N N K K K A A A
这个式子说明，技术水平 A A A N N N K K K Y Y Y
若生产函数规模报酬不变：
λ Y = A F ( λ N , λ K ) \lambda Y=AF(\lambda N,\lambda K) λY = A F ( λ N , λ K ) 令 λ = 1 N \lambda=\frac{1}{N} λ = N 1
Y N = A F ( 1 , K N ) \frac{Y}{N}=AF\left(1,\frac{K}{N}\right) N Y = A F ( 1 , N K ) 因此，劳动生产率（Labor Productivity），也就是每个工人的产量，取决于人均资本 K N \frac{K}{N} N K A A A
二、增长的根本原因# 增长的根本原因（Fundamental Causes of Growth）是使不同经济体在劳动、资本和技术水平上出现差别的深层原因。
经 济 增 长 生 产 要 素 技 术 制 度 文 化 地 理 直 接 原 因 根 本 原 因 图 8-1：经济增长的根本原因和直接原因。 制度（Institutions）、文化（Culture）和地理（Geography）都会影响资本积累、劳动投入和技术采用，因此属于经济增长的根本原因。
复合函数表示：
Y = Y ( f ) = A ( f ) F [ N ( f ) , K ( f ) ] Y=Y(f)=A(f)F[N(f),K(f)] Y = Y ( f ) = A ( f ) F [ N ( f ) , K ( f )] 含义：根本原因 f f f A A A N N N K K K Y Y Y
本课重点考察经济增长的直接原因。
第四节 构建和分析新古典增长模型# 一、基本假定和思路# 新古典增长模型（Neoclassical Growth Model）研究储蓄、人口增长和技术进步对经济增长的作用，关注增长的直接原因。
基本假定：
经济由一个部门组成，生产一种既可投资也可消费的商品。
封闭经济，不存在国际贸易，忽略政府部门。
生产规模报酬不变。
技术进步、人口增长、资本折旧率由外生因素决定。
社会储蓄函数为 S = s Y S=sY S = s Y s s s
分析顺序：
没有技术进步的新古典增长模型。
具有技术进步的新古典增长模型。
二、没有技术进步的新古典增长模型# 生产函数（Production Function）：
Y = F ( N , K ) Y=F(N,K) Y = F ( N , K ) 规模报酬不变：
λ Y = F ( λ N , λ K ) \lambda Y=F(\lambda N,\lambda K) λY = F ( λ N , λ K ) 令 λ = 1 N \lambda=\frac{1}{N} λ = N 1
Y N = F ( 1 , K N ) \frac{Y}{N}=F\left(1,\frac{K}{N}\right) N Y = F ( 1 , N K ) 记：
y = Y N , k = K N y=\frac{Y}{N},\qquad k=\frac{K}{N} y = N Y , k = N K 则人均生产函数为：
y = f ( k ) y=f(k) y = f ( k ) 资本积累（Capital Accumulation）：
K ˙ = I − δ K = S − δ K = s Y − δ K \dot K=I-\delta K=S-\delta K=sY-\delta K K ˙ = I − δ K = S − δ K = s Y − δ K 两边同除以 N N N
K ˙ N = s f ( k ) − δ k \frac{\dot K}{N}=sf(k)-\delta k N K ˙ = s f ( k ) − δ k 由 k = K N k=\frac{K}{N} k = N K
k ˙ = K ˙ N − K N ˙ N 2 = K ˙ N − N ˙ N K N = K ˙ N − n k \dot k=\frac{\dot K N-K\dot N}{N^2}
=\frac{\dot K}{N}-\frac{\dot N}{N}\frac{K}{N}
=\frac{\dot K}{N}-nk k ˙ = N 2 K ˙ N − K N ˙ = N K ˙ − N N ˙ N K = N K ˙ − nk 故：
K ˙ N = k ˙ + n k \frac{\dot K}{N}=\dot k+nk N K ˙ = k ˙ + nk 代入可得基本方程：
k ˙ = s f ( k ) − ( n + δ ) k \dot k=sf(k)-(n+\delta)k k ˙ = s f ( k ) − ( n + δ ) k 含义：
资本深化 = 人均储蓄（投资） − 资本广化 \text{资本深化}=\text{人均储蓄（投资）}-\text{资本广化} 资本深化 = 人均储蓄（投资） − 资本广化 其中，s f ( k ) sf(k) s f ( k ) δ k \delta k δ k n k nk nk ( n + δ ) k (n+\delta)k ( n + δ ) k
三、具有技术进步的新古典增长模型# 生产函数（Production Function）：
Y = F ( A N , K ) Y=F(AN,K) Y = F ( A N , K ) 其中，A A A A N AN A N
记：
y ^ = Y A N , k ^ = K A N \hat y=\frac{Y}{AN},\qquad \hat k=\frac{K}{AN} y ^ = A N Y , k ^ = A N K 则：
y ^ = f ( k ^ ) \hat y=f(\hat k) y ^ = f ( k ^ ) 技术进步（Technological Progress）外生给定：
A ˙ A = a \frac{\dot A}{A}=a A A ˙ = a 对 k ^ = K A N \hat k=\frac{K}{AN} k ^ = A N K
k ^ ˙ = K ˙ A N − K ( A N ) 2 ( A N ˙ + A ˙ N ) \dot{\hat k}
=\frac{\dot K}{AN}-\frac{K}{(AN)^2}(A\dot N+\dot A N) k ^ ˙ = A N K ˙ − ( A N ) 2 K ( A N ˙ + A ˙ N ) 整理：
k ^ ˙ = K ˙ A N − k ^ N ˙ N − k ^ A ˙ A \dot{\hat k}
=\frac{\dot K}{AN}-\hat k\frac{\dot N}{N}-\hat k\frac{\dot A}{A} k ^ ˙ = A N K ˙ − k ^ N N ˙ − k ^ A A ˙ 代入 K ˙ = s Y − δ K \dot K=sY-\delta K K ˙ = s Y − δ K N ˙ N = n \frac{\dot N}{N}=n N N ˙ = n A ˙ A = a \frac{\dot A}{A}=a A A ˙ = a
k ^ ˙ = s Y − δ K A N − n k ^ − a k ^ \dot{\hat k}
=\frac{sY-\delta K}{AN}-n\hat k-a\hat k k ^ ˙ = A N s Y − δ K − n k ^ − a k ^ 利用 y ^ = Y A N = f ( k ^ ) \hat y=\frac{Y}{AN}=f(\hat k) y ^ = A N Y = f ( k ^ )
k ^ ˙ = s f ( k ^ ) − ( n + δ + a ) k ^ \dot{\hat k}=sf(\hat k)-(n+\delta+a)\hat k k ^ ˙ = s f ( k ^ ) − ( n + δ + a ) k ^ s f ( k ^ ) sf(\hat k) s f ( k ^ ) ( n + δ + a ) k ^ (n+\delta+a)\hat k ( n + δ + a ) k ^
四、新古典增长模型的图形表示# 以没有技术进步的模型为例：
k f ( k ) , s f ( k ) O k 0 k * f ( k ) s f ( k ) ( n + δ ) k c 图 8-2：取 f(k)=k^(1/2)、s=0.45、n+δ=0.3，交点精确满足 sf(k)=(n+δ)k。 图像要点：
f ( k ) f(k) f ( k ) k k k s f ( k ) sf(k) s f ( k ) f ( k ) f(k) f ( k ) ( n + δ ) k (n+\delta)k ( n + δ ) k n + δ n+\delta n + δ 五、稳态及其条件# 稳态（Steady State）是包括资本存量和产出在内的有关内生变量不随时间推移而变化的状态。
没有技术进步时，稳态条件：
k ˙ = 0 \dot k=0 k ˙ = 0 由基本方程得：
s f ( k ) = ( n + δ ) k sf(k)=(n+\delta)k s f ( k ) = ( n + δ ) k 具有技术进步时，稳态条件：
k ^ ˙ = 0 \dot{\hat k}=0 k ^ ˙ = 0 由基本方程得：
s f ( k ^ ) = ( n + δ + a ) k ^ sf(\hat k)=(n+\delta+a)\hat k s f ( k ^ ) = ( n + δ + a ) k ^ k y O D s f ( k ) > ( n + δ ) k s f ( k ) < ( n + δ ) k y * s y * k * f ( k ) s f ( k ) ( n + δ ) k 图 8-3：稳态点 D 处，sf(k*)=(n+δ)k*，故 k 的变化率为 0。 稳态稳定性（Stability of Steady State）来自资本边际报酬递减。若 k < k ∗ k<k^* k < k ∗ s f ( k ) > ( n + δ ) k sf(k)>(n+\delta)k s f ( k ) > ( n + δ ) k k ˙ > 0 \dot k>0 k ˙ > 0 k > k ∗ k>k^* k > k ∗ s f ( k ) < ( n + δ ) k sf(k)<(n+\delta)k s f ( k ) < ( n + δ ) k k ˙ < 0 \dot k<0 k ˙ < 0
六、稳态时的增长率# 1. 没有技术进步# 稳态时：
g k = g y = 0 g_k=g_y=0 g k = g y = 0 因为 k ∗ k^* k ∗ y ∗ y^* y ∗
又因：
k = K N , y = Y N k=\frac{K}{N},\qquad y=\frac{Y}{N} k = N K , y = N Y 且人口增长率为 n n n
g K = g Y = n g_K=g_Y=n g K = g Y = n 内生变量 符号 稳态增长率 人均资本 k = K N k=\frac{K}{N} k = N K 0 0 0 人均产量 y = Y N y=\frac{Y}{N} y = N Y 0 0 0 总资本 K K K n n n 总产量 Y Y Y n n n
结论：没有技术进步时，新古典增长模型不能解释长期人均增长。
2. 具有技术进步# 稳态时：
g k ^ = g y ^ = 0 g_{\hat k}=g_{\hat y}=0 g k ^ = g y ^ = 0 由：
k ^ = K A N , y ^ = Y A N \hat k=\frac{K}{AN},\qquad \hat y=\frac{Y}{AN} k ^ = A N K , y ^ = A N Y 且 g A = a g_A=a g A = a g N = n g_N=n g N = n
内生变量 符号 稳态增长率 按有效劳动平均的资本 k ^ = K A N \hat k=\frac{K}{AN} k ^ = A N K 0 0 0 按有效劳动平均的产量 y ^ = Y A N \hat y=\frac{Y}{AN} y ^ = A N Y 0 0 0 人均资本 K N = k ^ A \frac{K}{N}=\hat k A N K = k ^ A a a a 人均产量 Y N = y ^ A \frac{Y}{N}=\hat y A N Y = y ^ A a a a 总资本 K = k ^ A N K=\hat k AN K = k ^ A N n + a n+a n + a 总产量 Y = y ^ A N Y=\hat y AN Y = y ^ A N n + a n+a n + a
结论：技术进步导致人均产出持续增长；达到稳态后，人均产出增长率只取决于技术进步速率。
七、对收入差异的解释# 1. 储蓄率增加# k y O C C ′ k 0 → k ′ y 0 y ′ k 0 k ′ f ( k ) s ′ f ( k ) s f ( k ) ( n + δ ) k 图 8-4：s 提高到 s′，稳态人均资本由 k₀ 提高到 k′，稳态人均产量由 y₀ 提高到 y′。 图像结论：
储蓄率从 s 提高到 s ′ → s f ( k ) 上移为 s ′ f ( k ) → 新稳态从 C 到 C ′ → 稳态人均资本从 k 0 增至 k ′ → 稳态人均产量从 y 0 增至 y ′ \begin{aligned}
&\text{储蓄率从 } s \text{ 提高到 } s' \\
&\rightarrow sf(k) \text{ 上移为 } s'f(k) \\
&\rightarrow \text{ 新稳态从 } C \text{ 到 } C' \\
&\rightarrow \text{ 稳态人均资本从 } k_0 \text{ 增至 } k' \\
&\rightarrow \text{ 稳态人均产量从 } y_0 \text{ 增至 } y'
\end{aligned} 储蓄率从 s 提高到 s ′ → s f ( k ) 上移为 s ′ f ( k ) → 新稳态从 C 到 C ′ → 稳态人均资本从 k 0 增至 k ′ → 稳态人均产量从 y 0 增至 y ′ 进一步看，短期中更高储蓄率会使资本积累加快，总产量和人均产量增长率上升；长期中，新的稳态形成后，增长率会回落到由人口增长和技术进步决定的水平。结论是：储蓄率增加有水平效应（Level Effect），但没有永久增长效应（Growth Effect）。
2. 人口增长率上升# k y O A A ′ k ′ < k A y A y ′ k A k ′ f ( k ) s f ( k ) ( n + δ ) k ( n ′ + δ ) k 图 8-5：人口增长率由 n 上升到 n′，资本广化线变陡，稳态人均资本和人均产量下降。 图像结论：
人口增长率由 n 增加到 n ′ → ( n + δ ) k 变为 ( n ′ + δ ) k ，资本广化线变陡 → 稳态从 A 到 A ′ → 稳态人均资本下降 → 稳态人均产量下降 \begin{aligned}
&\text{人口增长率由 } n \text{ 增加到 } n' \\
&\rightarrow (n+\delta)k \text{ 变为 } (n'+\delta)k\text{，资本广化线变陡} \\
&\rightarrow \text{ 稳态从 } A \text{ 到 } A' \\
&\rightarrow \text{ 稳态人均资本下降} \\
&\rightarrow \text{ 稳态人均产量下降}
\end{aligned} 人口增长率由 n 增加到 n ′ → ( n + δ ) k 变为 ( n ′ + δ ) k ，资本广化线变陡 → 稳态从 A 到 A ′ → 稳态人均资本下降 → 稳态人均产量下降 比较静态（Comparative Statics）的结论是：人口增长率上升会提高总产量的稳态增长率，但会降低稳态人均资本，进而降低稳态人均产量；在人均意义上，它不改变人均产量的稳态增长率。
八、对增长率差异的解释# 设：
y = f ( k ) = k α , 0 < α < 1 y=f(k)=k^\alpha,\qquad 0<\alpha<1 y = f ( k ) = k α , 0 < α < 1 则：
k ˙ = s k α − ( n + δ ) k \dot k=sk^\alpha-(n+\delta)k k ˙ = s k α − ( n + δ ) k 两边同除以 k k k
g k = k ˙ k = s k α − 1 − ( n + δ ) g_k=\frac{\dot k}{k}=sk^{\alpha-1}-(n+\delta) g k = k k ˙ = s k α − 1 − ( n + δ ) 图 8-6：g_k=sk^(α-1)-(n+δ)。两线距离随 k 接近 k* 而缩小。 含义：
若 s k α − 1 > ( n + δ ) sk^{\alpha-1}>(n+\delta) s k α − 1 > ( n + δ ) g k > 0 g_k>0 g k > 0
若 s k α − 1 < ( n + δ ) sk^{\alpha-1}<(n+\delta) s k α − 1 < ( n + δ ) g k < 0 g_k<0 g k < 0
两线相交时 g k = 0 g_k=0 g k = 0
人均资本越接近稳态，两线距离越小，增长率越趋近于零。
模型预言了条件收敛（Conditional Convergence）。在储蓄率、人口增长率和技术条件相同的情况下，初始人均资本较低的经济体增长较快；如果初始人均资本相同，投资率较高的经济体增长较快。对一国自身而言，提高投资水平通常会在向新稳态过渡的过程中提高收入增长率。
新古典增长模型分析相对增长率，关键在考察尚未处于稳态的经济。
九、资本的黄金律水平# 资本的黄金律水平（Golden Rule Level of Capital）对应使稳态人均消费最大化的资本水平。
稳态时：
s f ( k ) = ( n + δ ) k sf(k)=(n+\delta)k s f ( k ) = ( n + δ ) k 人均消费为：
c = f ( k ) − s f ( k ) c=f(k)-sf(k) c = f ( k ) − s f ( k ) 又因稳态时 s f ( k ) = ( n + δ ) k sf(k)=(n+\delta)k s f ( k ) = ( n + δ ) k
c = f ( k ) − ( n + δ ) k c=f(k)-(n+\delta)k c = f ( k ) − ( n + δ ) k 要使 c c c k k k
d c d k = f ′ ( k ) − ( n + δ ) \frac{dc}{dk}=f'(k)-(n+\delta) d k d c = f ′ ( k ) − ( n + δ ) 令 d c d k = 0 \frac{dc}{dk}=0 d k d c = 0
f ′ ( k g o l d ) = n + δ f'(k_{gold})=n+\delta f ′ ( k g o l d ) = n + δ k y , s , c O c 1 c gold c 2 k 1 k gold k 2 f ( k ) s 2 f ( k ) s gold f ( k ) s 1 f ( k ) ( n + δ ) k l 图 8-7：k_gold 处，f(k) 的切线与 (n+δ)k 平行，故 f′(k_gold)=n+δ。 经济学条件是：在 k g o l d k_{gold} k g o l d f ( k ) f(k) f ( k ) ( n + δ ) k (n+\delta)k ( n + δ ) k
