协整与误差修正模型

1. 伪回归#

伪回归（Spurious Regression）：两个没有稳定统计关系的非平稳序列进行水平回归后，产生高拟合度、显著回归系数和显著检验统计量的现象。

考虑水平回归：

若两个序列分别由相互独立的随机游走产生，

普通最小二乘法仍可能给出较大的 $R^2$ 和显著的 $t$ 统计量，但这些结果主要反映两个序列共同随时间漂移，不代表稳定经济关系。低 Durbin–Watson 统计量、残差正自相关以及结果对样本区间高度敏感，都是伪回归的警示。它们不能单独证明伪回归，仍须检查单整阶数和残差平稳性。

2. 单整过程与协整定义#

平稳过程（Stationary Process）：概率分布或所需低阶矩不随时间平移而改变的随机过程。金融计量中常用的弱平稳要求均值为常数、自协方差只依赖滞后阶数而不依赖具体时点，并且方差有限。

零阶单整过程（Integrated Process of Order 0, $I(0)$）：本章采用常规短记忆 $I(0)$ 的概念：在适当处理确定性成分后，序列具有有限二阶矩，依赖关系足够弱，且长期方差有限。平稳 ARMA 过程是典型例子；一般平稳过程与 $I(0)$ 不能无条件画等号。若序列含确定性截距或趋势，单整阶数的判断应说明确定性成分的处理方式。

$d$ 阶单整过程（Integrated Process of Order $d$, $I(d)$）：经过 $d$ 次差分后成为 $I(0)$，但少于 $d$ 次差分仍不是 $I(0)$ 的过程：

其中 $\Delta=1-L$，$L$ 为滞后算子。最常见的非平稳水平序列是 $I(1)$，其一阶差分平稳。单整阶数表示达到平稳所需的差分次数，不能直接等同于增长率、趋势强度或因果方向。

协整（Cointegration）：若向量 $\mathbf y_t=(Y_{1t},\ldots,Y_{kt})'$ 的每个分量均为 $I(d)$，且存在非零向量 $\boldsymbol\beta$ 使

则称 $\mathbf y_t$ 具有 $CI(d,b)$ 协整关系，$\boldsymbol\beta$ 称为协整向量。最常用的 $CI(1,1)$ 表示各变量水平为 $I(1)$，但至少一个线性组合为 $I(0)$。本章聚焦每个候选水平变量均为 $I(1)$ 的常规设定；包含 $I(0)$ 变量时需要调整秩的解释，$I(2)$ 系统不能直接套用标准 $I(1)$ 处理。

3. 协整向量与均衡误差#

两个变量的长期关系可写成

协整的核心条件是 $e_t\sim I(0)$。两个水平序列可以各自漂移，但偏离 $e_t$ 保持平稳，因此长期关系具有统计意义。两变量协整向量只在非零比例倍数下确定，通常固定一个系数为 $1$ 以规范化。多变量时，$\boldsymbol\beta H$ 与 $\boldsymbol\beta$ 张成相同协整空间，其中 $H$ 是非奇异方阵。

图 9-1 是固定种子的理论模拟。两组共享 $X_t$ 和长期基准 $1+1.5X_t$；协整组的偏离满足 $u_t=0.6u_{t-1}+0.4z_t$，非协整组的偏离为随机游走 $v_t=v_{t-1}+0.4z_t$。上排的同向趋势不能单独判断协整，下排显示协整偏离保持稳定尺度，而随机游走偏离会扩散。图中路径用于解释数据生成机制，不是现实经济变量的实证结果。

协整关系是长期统计约束，不能单凭检验推出因果关系。均衡误差平稳也不保证每个变量以相同速度调整。

图 9-2 复用同一条理论长期关系。把协整向量所有系数乘以 $-2$ 只会把残差变成 $-2e_t$，长期直线不变；把斜率误设为 $1.2$ 则留下 $0.3X_t+u_t$，随机趋势没有被消除。错误候选残差不平稳，不能据此否定变量之间存在正确的协整向量。

1. 长期关系与短期调整#

误差修正模型（Error-correction Model, ECM）：同时包含短期差分和滞后均衡误差，用于描述协整系统在冲击后向长期关系调整的动态模型。

设 $e_t=Y_t-\alpha_0-\alpha_1X_t$，一个双变量 ECM 为

$\delta_1$ 是短期效应，$\lambda$ 是调整速度。若 $\lambda>0$，则 $e_{t-1}>0$ 时修正项压低 $\Delta Y_t$，$e_{t-1}<0$ 时修正项提高 $\Delta Y_t$。$\lambda=0$ 表示该方程不对上一期偏离作系统调整，$\lambda<0$ 通常使偏离扩大。含滞后差分的模型可写成

差分项系数描述短期动态，均衡关系系数描述长期约束，二者不能混为长期弹性。

2. 从 ADL(1,1) 到 ECM#

从

出发，减去 $Y_{t-1}$ 并使用 $X_t=\Delta X_t+X_{t-1}$，得

令

可重写为

因此，$\gamma_0$ 是当期短期系数，$\alpha_1$ 是长期斜率，$\lambda$ 衡量上一期偏离的修正速度。$\rho\ne1$ 是长期乘数存在的必要条件；$|\rho|<1$ 给出水平 ADL 自回归部分的基本稳定条件。

3. 调整速度与稳定性#

在只有一个均衡误差、没有额外差分滞后的简化模型中，若将常数、差分驱动项和新冲击置零，偏离的条件响应满足

图 9-3 设 $e_0=1$，只画无新冲击的条件响应：$0<\lambda<1$ 时偏离同方向衰减，$\lambda=1$ 时初始偏离在一步后消除，$1<\lambda<2$ 时偏离交替衰减。若 $\lambda\ge2$ 或 $\lambda\le0$，这个标量递推不满足稳定均值回复条件；完整 ECM 还要检查差分滞后、其他方程和系统特征根。

多变量时，令 $\mathbf y_t$ 为 $k\times1$ 向量，$\boldsymbol\alpha$ 和 $\boldsymbol\beta$ 均为 $k\times r$，误差修正项为

其中 $\boldsymbol\beta'\mathbf y_{t-1}$ 为 $r\times1$ 的平稳均衡误差向量，$\boldsymbol\alpha$ 决定各变量的调整方向和幅度。完整系统的稳定性取决于 $\boldsymbol\beta'\boldsymbol\alpha$ 以及差分动态的净反馈，不能只凭某一个调整系数的正负判断。

图 9-4 取 $e_t=Y_t-1.5X_t$，从 $(X_0,Y_0)=(0,1)$ 出发并关闭新冲击。三组 $\boldsymbol\alpha$ 产生相同的误差根 $0.5$，但收敛方向和最终位置不同；第三组中 $\alpha_Y>0$，仍因 $X$ 的调整更强而收敛到长期直线。这里的 $1.5$ 是水平变量的长期斜率；只有当变量为适当的对数时，才可进一步称为长期弹性。

1. 两步估计与残差单位根检验#

Engle–Granger 残差法（Engle–Granger Residual-based Method）：先估计水平长期方程，再检验其残差是否平稳，以判断特定规范化下的协整关系。

对两个候选 $I(1)$ 序列，程序为：

1. 结合水平与差分单位根检验、确定性项设定及其他诊断，为两个变量同阶的假设提供依据，并记录截距、趋势、滞后和样本范围。
2. 用水平值估计 $Y_t=\alpha_0+\alpha_1X_t+\widehat e_t$，长期方程中的确定性项须由理论决定。
3. 对 $\widehat e_t$ 做残差单位根检验，例如 $$\Delta\widehat e_t=\varphi\widehat e_{t-1} +\sum_{j=1}^{q}\psi_j\Delta\widehat e_{t-j}+v_t.$$

水平回归含截距时，残差的样本均值受约束，检验回归通常不再另加普通截距。对该写法，单位根原假设为 $\varphi=0$，即残差含单位根。必须使用 Engle–Granger/MacKinnon 协整专用临界值或相应有限样本修正，不能把普通 ADF 临界值或普通 ADF $p$ 值直接当作结论，因为残差是第一步估计得到的生成变量。

2. 理论示例与方法边界#

考虑理论数据生成过程

若两类创新为平稳白噪声，则 $X_t$ 和 $Y_t$ 都是 $I(1)$，但 $Y_t-1-1.5X_t=u_t\sim I(0)$，因而存在一条协整关系。这个例子说明识别逻辑，不提供现实经济变量的统计证据。

若可能存在多条协整关系，重复更换被解释变量不能替代系统方法，应使用 Johansen 方法。

1. 从 VAR 到 VECM#

令 $\mathbf y_t$ 为 $k\times1$ 向量，水平 VAR($p$) 为

逐项加减滞后差分后，得到

其中

$\Pi$ 汇总水平变量的长期约束，$\Gamma_i$ 描述差分变量的短期动态。若把 $I_k-\sum_j\Pi_j$ 作为长期矩阵，VECM 前面需另加负号，两种符号约定不能混用。

2. $\Pi$ 的秩与 $\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta'$ 分解#

协整秩（Cointegration Rank）：长期矩阵 $\Pi$ 的矩阵秩，记为 $r=\operatorname{rank}(\Pi)$。以下分类以常规的非爆炸 $I(1)$ 系统为前提；若存在爆炸根、额外季节单位根或 $I(0)$ 变量，秩的解释需要相应调整。在该前提下，$r$ 等于线性无关协整关系的数量。

中间情形可以分解为

其中 $\boldsymbol\alpha$、$\boldsymbol\beta$ 都为 $k\times r$。$\boldsymbol\beta'\mathbf y_{t-1}$ 是 $r\times1$ 的平稳协整关系向量，$\boldsymbol\alpha$ 是调整系数矩阵，乘积维数为 $k\times k$。若 $0<r<k$，实际协整关系数是 $r$，最大为 $k-1$，不能写成“至多 $r-1$”。$\boldsymbol\beta$ 的列空间才是可识别对象，具体系数需要规范化。

3. Trace 与 Max-Eigen 检验#

设典型相关根按

排序。Johansen 检验的是长期矩阵的秩和典型相关结构，不是简单统计正特征根的个数。

迹检验的假设为

统计量为

最大特征根检验的假设为

统计量为

两种检验均从 $r_0=0$ 开始，拒绝后继续增加候选秩，第一次不能拒绝时停止。临界值和 $p$ 值依赖确定性项、滞后阶数、样本量和外生变量，不能直接使用普通 $\chi^2$ 临界值。

4. 滞后阶数、确定性项与规范化#

先在水平 VAR 中选择滞后阶数 $p$，再在 VECM 中使用 $p-1$ 阶差分滞后。信息准则、残差自相关和稳定性检验应共同参与选择。确定性项可放在协整关系内、系统内或同时放置，常见设定还包括趋势项；不同设定改变协整空间和检验分布，必须使用匹配的临界值。含结构突变、季节项或外生变量时，标准临界值可能不再适用。

1. 从数据到 ECM 或 VECM#

1. 明确变量的水平、单位、频率和确定性项，避免把价格、对数价格、收益率和增长率混为同一数据对象。
2. 诊断各水平序列的单整阶数，并记录截距、趋势、滞后和样本范围。
3. Engle–Granger 需确认变量同阶并指定长期方程；可能存在多条协整关系时优先使用 Johansen。
4. 先选择水平 VAR 滞后阶数，再确定 VECM 的确定性项和外生变量。
5. 估计后检查残差自相关、异方差、正态性、参数稳定性和样本外预测表现。
6. 将 $\boldsymbol\beta$ 解释为长期约束、差分系数解释为短期动态、$\boldsymbol\alpha$ 解释为调整方向和速度。

2. 三类对象的区分#

Engle–Granger 是残差两步法，Johansen 是系统协整秩方法，ECM/VECM 是动态模型形式。三者在分析报告中应分开表述。

3. 结果解释中的边界#

若

且方程含 $-\lambda e_{t-1}$，则 $\lambda>0$ 对应正向偏离后的下降修正。若均衡误差改定义为相反数，调整系数符号也会反向，不能脱离误差定义比较不同软件或论文中的系数。

低 $p$ 值只表示在给定原假设和确定性设定下反对原假设的证据较强，不等于经济关系重要、结构稳定或存在因果机制。长期系数的单位、规范化方式和样本期应随估计结果一并报告。