向量自回归（VAR）模型

1. 向量时间序列与创新（Vector Time Series and Innovations）#

向量时间序列（Vector Time Series）：由同一时点的多个随机变量组成、按时间索引排列的随机向量序列。令 $n$ 个变量组成：

大写字母表示随机对象，小写字母表示观测值。变量的频率、样本区间和单位必须一致。

向量创新（Vector Innovation）：在给定滞后信息后仍未被模型解释的 $n\times1$ 随机向量，记为 $\varepsilon_t$。标准 VAR 要求：

其中 $\Omega$ 是不随时间变化的对称正定矩阵。$\Omega$ 的非对角元素可以非零；向量白噪声排除跨期相关，不排除同一时点不同方程创新相关。

2. VAR(p) 模型（Vector Autoregression）#

向量自回归模型（Vector Autoregression, VAR(p)）：用向量自身的 $p$ 个滞后值和向量创新描述当前向量的多元线性动态模型：

$C$ 是 $n\times1$ 截距向量，$\Phi_j$ 是 $n\times n$ 滞后系数矩阵，$p$ 是最大滞后阶数。令 $\mathcal I_{t-1}$ 表示历史信息，则：

第 $i$ 个方程回归所有变量的 $p$ 个滞后值，因此模型描述的是联合动态关系。条件均值系数是预测关系，不自动构成结构因果参数。

3. 二变量 VAR(1) 展开#

令 $Y_t=(Y_{1t},Y_{2t})^{\prime}$，则：

等价于：

$\phi_{12}$ 与 $\phi_{21}$ 描述跨变量的滞后反馈；即使它们为零，当期创新仍可能因 $\Omega_{12}\ne0$ 而相关。两者不能混为一谈。

图 8-1把滞后反馈与当期创新分开画出：Φ_j 作用于历史向量，Ω 描述同一期创新的协方差。

4. 滞后多项式与参数数量（Lag Polynomial and Parameter Count）#

矩阵滞后多项式（Matrix Lag Polynomial）：以滞后算子 $L$ 为自变量、以系数矩阵为系数的矩阵多项式：

每个方程有 $np+1$ 个回归系数，整个系统有：

个系数。参数数量随变量数的平方和滞后阶数增长，短样本中较大的 $n$ 或 $p$ 会明显消耗自由度。

1. VAR 的弱平稳条件（Weak Stationarity）#

向量弱平稳（Vector Weak Stationarity）：向量过程的一阶矩为常数，且任意滞后 $j$ 的交叉协方差矩阵只依赖 $j$ 而不依赖具体时点。记：

稳定 VAR 且创新有有限二阶矩时，过程存在唯一的因果弱平稳解。长期均值为：

2. 特征根条件（Characteristic-root Condition）#

令：

VAR 稳定性条件：矩阵滞后多项式行列式的全部零点满足：

这里的 $z$ 是滞后多项式根，不是伴随矩阵特征值。根在单位圆外意味着有限初值和有限冲击的影响衰减；单位圆上的根表示单位根边界；根在单位圆内会导致爆炸动态。不能通过逐个比较 $\Phi_j$ 的元素是否小于 1 判断多变量系统稳定性。

3. VAR(p) 的伴随 VAR(1) 表示（Companion Form）#

伴随表示（Companion Form）：把 $p$ 阶向量递推改写为一阶高维状态递推。令：

则 $X_t=FX_{t-1}+V_t$，其中：

伴随特征值（Companion Eigenvalue）：矩阵 $F$ 的特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_{np}$。稳定的等价条件为：

根 $z_j$ 与非零特征值满足 $z_j=1/\lambda_j$。因此“多项式根在单位圆外”和“伴随特征值在单位圆内”是同一条件的两种表达。

图 8-2使用固定的二变量 VAR(1) 参数作几何示意；左侧对象是 F 的特征值 λ，右侧对象是滞后多项式根 $z=1/\lambda$。两幅图都以同一单位圆为边界，避免把“根在外”与“特征值在内”混成一个判据。

4. VMA(∞) 表示与冲击传播（Vector Moving Average）#

向量移动平均表示（Vector Moving-average Representation, VMA($\infty$)）：稳定 VAR 写成当前及历史创新的无限加权和：

对 VAR(1)，$\Psi_h=\Phi_1^h$。第 $j$ 个创新对第 $i$ 个变量在 $t+h$ 的边际影响是 $\Psi_h$ 的 $(i,j)$ 元素；稳定性使这些系数随 $h$ 衰减。

图 8-3左侧沿 $\Psi_h e_1$ 展示单位约化创新的传播，右侧固定目标变量并比较两种 Cholesky 排序与广义脉冲响应。当前参数下 GIRF 与 [1,2] 排序的第一条路径重合，这是 $\Omega_{11}=1$ 时两种冲击尺度相同的结果，不表示两种识别方法一般等价。曲线只用于解释递推关系，不代表三指数案例的估计结果。

1. 平稳变量与非平稳变量（Stationary versus Nonstationary Variables）#

标准 VAR 的稳定性、残差诊断和常规渐近检验通常要求变量平稳。价格水平和宏观总量常含单位根，不能仅因软件能够估计水平 VAR，就把常规 t 检验、LR 检验或 IRF 当作平稳模型下的结果。

短期互动分析可使用对数收益率；下式假定没有额外现金分配，且价格已按一致的总回报口径复权：

若水平变量为 $I(1)$，可以差分或去趋势；若非平稳变量存在长期均衡关系，应使用 VECM。机械差分可能丢失长期关系，直接估计水平 VAR 又会改变推断分布。协整检验和 VECM 属于第 9 章。

2. 方程逐一 OLS 与高斯 MLE（OLS and Gaussian MLE）#

令 $t=p+1,\ldots,T$，定义：

于是 $Y_t=Bx_t+\varepsilon_t$。逐方程 OLS 可写为：

若创新独立同分布且服从正态分布，系统高斯 MLE 的系数估计与逐方程 OLS 相同，因为每个方程使用同一组滞后解释变量；$\Omega$ 由残差交叉乘积估计。这个结论不要求当期创新互相独立，$\Omega$ 的非对角元素可以非零。

3. 变量和滞后阶数选择（Variables and Lag Order）#

变量选择取决于研究问题、经济理论、样本长度和参数数量。先确定最大候选阶数，再用信息准则、嵌套检验和残差诊断共同决定 $p$。含截距 VAR(p) 的系统参数数目为 $k_p=n^2p+n$，常用准则为：

这里的 $k_p$ 将截距计入系统参数数目；不同软件可能采用自由度修正或把外生变量计入参数项，因此应在同一软件和同一有效样本内比较。对嵌套的 $VAR(p_r)$ 与 $VAR(p_u)$（$p_u>p_r$），系统 LR 统计量可写为：

两种模型应使用相同样本起点和确定性项；$\kappa$ 是有限样本修正。信息准则和 LR 若给出不同阶数，应报告差异并比较稳定性、残差和样本外表现。

4. 三个股票指数收益率的 VAR(3) 案例#

课件案例研究上证综合指数、深证成指和创业板指数，数据为 2010 年 6 月 1 日至 2014 年 5 月 22 日的日线收盘价。对价格取对数差分；课件未进一步说明复权、现金分配和币种，以下数值仅作为模型设定示例：

滞后长度比较最终采用 $p=3$，再对三个收益率方程估计三阶 VAR。不同候选阶数的有效观测数不同，复现实证时应以软件输出为准。该案例展示的建模链为：平稳性检查 → 滞后阶数选择 → 根和残差诊断 → 给定冲击识别后的 IRF 与方差分解。个别系数显著不能替代系统稳定性检查。

1. 根和残差诊断（Roots and Residual Diagnostics）#

估计后检查伴随特征值或 AR 滞后多项式根。伴随特征值模应小于 1；若软件显示 inverse roots of AR characteristic polynomial，则其显示的是倒数，稳定模型的 inverse roots 应位于单位圆内。报告必须说明所展示对象是特征值还是多项式根。

Portmanteau 或 Ljung–Box 检验的原假设是给定滞后范围内残差无序列相关。不能拒绝原假设只表示未发现剩余线性相关，不能证明模型正确；拒绝原假设则提示滞后不足、遗漏变量或结构变化。残差无自相关也不等于同方差，还应对平方残差或 ARCH 效应进行检查。

2. 格兰杰预测关系（Granger Predictive Causality）#

格兰杰非因果关系（Granger Non-causality）：在给定变量自身滞后和其他控制变量后，加入另一个变量的历史值不能改善目标变量条件均值预测的命题。二变量 VAR(p) 中，$y_2$ 不格兰杰导致 $y_1$ 的原假设为：

可使用 Wald、F 或系统 LR 检验。拒绝原假设说明 $y_2$ 的过去值提供了额外的样本内线性预测信息，不等于结构因果关系，也不排除共同冲击和遗漏变量。

3. 股票指数案例的检验读法#

三指数案例的 3 阶 Pairwise Granger 检验为：

在 5% 水平下六个方向均不能拒绝原假设；SZZS 到 CYB 的 p 值为 0.0760，只能在 10% 水平下称为边际拒绝。不能省略显著性水平而直接写成结构因果结论。

1. 单位约化创新脉冲响应（Reduced-form Innovation IRF）#

脉冲响应函数（Impulse Response Function, IRF）：一次给定冲击对未来变量条件均值的边际影响路径。VMA 表示给出：

$\Psi_0=I_n$；$\psi_{ij,h}$ 是第 $j$ 个约化创新增加一个单位时，第 $i$ 个变量在 $t+h$ 的边际响应。IRF 描述响应路径，不是变量自身的水平预测。

2. 单位标准差响应（One-standard-deviation IRF）#

将第 $j$ 个约化残差设为一个标准差的响应为：

该计算把其他约化残差分量设为零；当 $\Omega$ 有非对角元素时，它不产生互相独立的结构冲击，也不消除当期相关。单位标准差只改变冲击规模。

3. 正交脉冲响应与 Cholesky 分解（Orthogonal IRF）#

若 $\Omega$ 非对角，取可逆矩阵 $P$：

正交 IRF 为：

Cholesky 分解通常令 $P$ 为正对角下三角矩阵。变量排列决定当期限制，改变排列会改变正交 IRF；排列必须有经济识别依据。

4. 广义脉冲响应（Generalized IRF）#

广义脉冲响应（Generalized IRF）：利用约化创新协方差结构而不先进行全体正交化的排序不变响应：

它对变量排列不敏感，但不同冲击仍可能相关，因此不是一组相互独立的结构冲击。广义 IRF 解决排序依赖，不能替代结构识别。实证报告应同时说明冲击定义、响应期数和置信区间方法。

1. 预测误差的冲击分解（Forecast-error Decomposition）#

在正交冲击表示下，$h$ 期预测误差为：

若 $u_t$ 各分量互不相关，冲击 $j$ 对变量 $i$ 的预测误差方差贡献率为：

对固定 $i$，所有冲击的贡献率加总为 1。贡献率表示不确定性的来源，不表示平均响应方向，也不等于结构因果效应。

2. 相对方差贡献率（Relative Variance Contribution）#

相对方差贡献率（Relative Variance Contribution, RVC）：某一冲击对目标变量给定期距预测误差方差的占比。在约化创新互不相关的特殊情形：

非对角 $\Omega$ 下必须说明采用 Cholesky、其他正交分解或广义方法，不能直接把各项平方相加。

图 8-4以同一组教学参数和 [1,2] Cholesky 分解计算目标变量 $Y_2$ 的占比。每根柱的高度为 100%，柱内变化表示预测期增加后，不同正交冲击对预测误差不确定性的相对贡献。

3. 三指数案例的方差分解读法#

课件给出的一组正交分解以创业板收益率 RCYB 为目标变量：

这些比例依赖样本、滞后阶数、变量排序和正交分解设定，不能外推为一般市场规律。应改变排序、样本区间和滞后阶数检查稳健性。