差分方程、滞后运算与动态模型

1. 差分方程与一阶差分方程#

差分方程（Difference Equation）：描述离散时间变量当前值与其一个或多个滞后值之间函数关系的方程；方程还可以包含常数项、确定性项或随机扰动项。

线性差分方程（Linear Difference Equation）：因变量及其各阶滞后项以线性形式进入方程的差分方程。

随机差分方程（Stochastic Difference Equation）：含有随机扰动或创新项的差分方程。

一阶差分方程（First-order Difference Equation）：因变量的最大滞后阶数为 1 的差分方程。基本的一阶线性随机差分方程写为：

其中：

• $y_t$：第 $t$ 期变量。
• $c$：常数项。
• $\alpha$：一阶滞后系数。
• $\varepsilon_t$：第 $t$ 期创新，满足相对于过去信息集的条件均值为零。

若只研究初值和冲击的传播，可令 $c=0$：

$\alpha$ 决定上一期偏离在下一期传递多少；无新增冲击时，连续传播 $h$ 期后的响应系数为 $\alpha^h$。$\varepsilon_t$ 是第 $t$ 期新增的不可预测部分。

2. 差分运算与差分算子#

差分运算（Differencing）：用相邻时期或相隔若干时期的观测值之差构造新序列的运算。

一阶差分（First Difference）：当前值与前一期值之差：

差分算子（Difference Operator）：对时间序列实施差分运算的算子，记为 $\Delta$。

二阶差分（Second Difference）：对一阶差分序列再次进行一阶差分：

对一阶差分方程

两边减去 $y_{t-1}$，可得：

3. 一阶差分方程的条件均值#

若 $\varepsilon_t$ 为相对于 $\mathcal F_{t-1}$ 的创新，则：

因此：

一阶差分方程由上一期状态决定可预测部分，由当期创新决定不可预测部分。

1. 反复迭代法#

反复迭代法（Successive Substitution）：将差分方程中的滞后变量反复用其自身方程代入，直到当前变量表示为初始条件与历期创新的函数。

令 $c=0$，则：

一般地：

其中，$\alpha^t y_0$ 为初值项，$\alpha^i$ 为距当前 $i$ 期的创新 $\varepsilon_{t-i}$ 的动态权重。

2. 初值影响与因果表示#

把初始时点继续向过去推进 $m+1$ 期，可得：

当 $|\alpha|<1$，且远期初值不以超过 $|\alpha|^{-(t+m+1)}$ 的速度增长时：

因果表示（Causal Representation）：当前变量仅表示为当前及过去创新的函数，而不依赖未来创新的时间序列表示。此处“因果”是时间序列滤波意义上的时间方向条件，不表示经济因果关系。对上述一阶模型，在 $|\alpha|<1$ 时有：

该级数收敛时，越久远的创新具有越小的权重。

3. 长期均值与均值回复#

恢复常数项：

若 $|\alpha|<1$、$E(\varepsilon_t)=0$ 且存在不随时间变化的有限均值，则：

从而：

长期均值（Long-run Mean）：稳定线性动态模型在无条件均值存在时所具有的不随时间变化的均值 $\mu$。

将模型写成均值偏离形式：

在未来创新条件期望为零时：

其中 $E_t(\cdot):=E(\cdot\mid\mathcal F_t)$。

均值回复（Mean Reversion）：变量偏离长期均值后，其条件期望随预测期距增加而趋向长期均值的动态性质。对上述一阶模型，$|\alpha|<1$ 时：

4. 滞后系数与动态路径#

一阶模型的动态性质由 $\alpha$ 决定：

随机游走（Random Walk）：当前值等于前一期值与当期创新之和的随机过程：

随机游走对应 $\alpha=1$。当 $\alpha=-1$ 时，AR 滞后多项式的根为 $-1$，该根位于单位圆上，但该过程不是通常定义的随机游走。

下图在相同初值和相同创新实现下比较不同 $\alpha$ 的样本路径。四个稳定/边界面板均令 $y_0=0.5$，并使用固定种子 20260906 生成、幅度限制在 $[-0.30,0.30]$ 的同一组伪随机冲击，因此路径差异只来自 $\alpha$；折线仅连接离散整数时点。爆炸情形单独绘制前 20 期，以避免统一纵轴压缩稳定路径；$\alpha=1.2$ 同号扩张，$\alpha=-1.2$ 正负交替扩张。

5. 冲击半衰期#

冲击半衰期（Half-life of a Shock）：在 $0<|\alpha|<1$ 的一阶模型中，一次冲击的绝对响应衰减至初始响应一半所需的期数。

由：

可得：

半衰期把 $|\alpha|$ 转换成与原序列频率一致的时间尺度。典型取值为：$0.5\to1$、$0.8\to3.11$、$0.9\to6.58$、$0.95\to13.51$、$0.99\to68.97$。

$|\alpha|$ 从 $0.9$ 增至 $0.99$ 仅增加 $0.09$，冲击半衰期却由约 $6.6$ 期增至约 $69$ 期。

1. 动态乘数与影响乘数#

动态乘数（Dynamic Multiplier）：第 $t$ 期创新变化一个单位时，对未来第 $t+h$ 期变量产生的边际影响：

对一阶模型：

向前递推：

因此：

影响乘数（Impact Multiplier）：动态乘数在 $h=0$ 时的取值，即冲击对变量当期值的边际影响。上述模型中：

2. 脉冲响应函数#

脉冲响应函数（Impulse Response Function, IRF）：给定一次创新冲击后，变量对该冲击在各未来期距上的动态响应所构成的函数。对一阶模型：

$\operatorname{IRF}(h)$ 给出今天的一次冲击在第 $h$ 期仍留下多少边际影响；它不是变量 $y_t$ 本身的实现路径或预测路径。

若 $\alpha=0.8$，单位冲击的前几期响应为：

不同参数对应：

下图中的每个点均按 $\operatorname{IRF}(h)=\alpha^h$ 在整数期距上计算。稳定/边界组共享 $h\in[0,12]$ 与响应区间 $[-1.1,1.1]$：$\alpha=0.3$ 与 $0.8$ 同号衰减，$\alpha=1$ 的单位冲击永久保留，$\alpha=-0.8$ 产生阻尼振荡。爆炸组单独展示 $\alpha=\pm1.2$，在相同坐标范围 $h\in[0,10]$、$\operatorname{IRF}\in[-7,7]$ 下比较同号扩张与正负交替扩张。

3. 累积脉冲响应与长期乘数#

累积脉冲响应函数（Cumulative Impulse Response Function）：从冲击当期到第 $h$ 期的脉冲响应之和：

当 $\alpha\neq1$ 时：

长期乘数（Long-run Multiplier）：累积脉冲响应在预测期距趋于无穷时的极限。若 $|\alpha|<1$，则：

若 $\alpha=0.8$，则 $C_\infty=5$。该数值表示一次单位冲击在全部未来时期的边际响应总和，不表示变量长期水平必然增加 5 个单位。

累积脉冲响应还等于系统对单位阶跃冲击在第 $h$ 期的响应：若从第 $t$ 期起每一期创新均比基准增加 1，则第 $t+h$ 期变量相对基准的变化为 $C_h$。

1. 高阶差分方程#

$p$ 阶线性随机差分方程（$p$th-order Linear Stochastic Difference Equation）：因变量最大滞后阶数为 $p$，并含随机创新项的线性差分方程：

其中，$p$ 为差分方程阶数，$\phi_1,\ldots,\phi_p$ 为滞后系数。

高阶模型中，同一冲击可以通过不同滞后路径传播，因此其动态性质由全部滞后系数共同决定。

2. 状态向量与伴随矩阵#

状态向量（State Vector）：为把 $p$ 阶标量差分方程转化为一阶向量方程，将当前变量及其前 $p-1$ 期滞后值按固定顺序组成的向量：

伴随矩阵（Companion Matrix）：与 $p$ 阶标量差分方程对应、用于描述状态向量一期转移关系的 $p\times p$ 矩阵：

冲击向量（Shock Vector）：将标量创新置于状态向量第一维、其余维度置零所形成的向量：

一阶状态表示（First-order State Representation）：利用状态向量和伴随矩阵把 $p$ 阶标量差分方程改写为一阶向量差分方程：

3. 高阶系统的迭代与动态乘数#

向前迭代可得：

令第一维单位向量为：

则第 $t$ 期创新对 $y_{t+h}$ 的动态乘数为：

矩阵幂 $F^h$ 描述状态经过 $h$ 期的传播。高阶系统同时包含多个衰减模式，长期动态通常由模最大的特征值主导。

1. 滞后算子#

滞后算子（Lag Operator）：将时间序列向后移动指定期数的线性算子，记为 $L$。一阶滞后算子定义为：

连续作用 $k$ 次：

其中 $L^0y_t=y_t$。

对常数 $a,b$ 和序列 $x_t,y_t$，滞后算子满足线性关系：

滞后算子的复合满足：

若 $c$ 为不随时间变化的常数，则：

2. 差分算子与滞后算子的关系#

由一阶差分定义：

因此：

3. 滞后多项式#

滞后多项式（Lag Polynomial）：以滞后算子 $L$ 为变量的多项式：

AR 滞后多项式（Autoregressive Lag Polynomial）：与 $p$ 阶自回归型差分方程对应的滞后多项式：

于是：

可写为 $\Phi(L)y_t=\varepsilon_t$。

滞后多项式把整条动态方程压缩成一个多项式；其零点位置直接决定系统是否能够稳定衰减。

若模型含常数项 $c$：

当模型稳定、$E(\varepsilon_t)=0$ 且均值存在时：

该均值公式要求 $\Phi(1)\neq0$，但 $\Phi(1)\neq0$ 本身不是高阶系统稳定的充分条件。

4. 逆滞后算子与无限阶表示#

逆滞后算子（Inverse Lag Operator）：在相应幂级数收敛条件下，与给定滞后多项式算子复合后得到恒等算子 1 的线性算子；其具体表示通常为无限幂级数。

对一阶模型：

当 $|\alpha|<1$：

从而：

该表示与反复迭代所得因果表示一致。

1. 稳定性的定义#

稳定性（Stability）：在不再加入新的外部冲击时，由不同有限初始条件引起的状态差异随时间推移趋于零的动态系统性质。

对一阶齐次方程：

两个初值产生的状态差 $d_t$ 满足：

因此，一阶系统稳定的充要条件为：

稳定性属于动态方程解的性质；平稳性属于随机过程概率分布或矩结构的性质。在线性 AR 模型中，适当创新条件与稳定性共同导出平稳解，但两者定义不能互换。

2. 齐次方程、特征方程与特征根#

齐次差分方程（Homogeneous Difference Equation）：把非齐次项或外部驱动项置为零后所得的差分方程。对 $p$ 阶模型：

设试探解为：

代入齐次方程并约去公共因子，得到：

特征方程（Characteristic Equation）：将指数形式试探解代入线性齐次差分方程后得到的关于 $\lambda$ 的代数方程。

特征根（Characteristic Root）：特征方程的根，记为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$。

$p$ 阶线性系统稳定的充要条件为：

这些 $\lambda_j$ 同时是伴随矩阵 $F$ 的特征值。

谱半径（Spectral Radius）：矩阵全部特征值模的最大值：

因此稳定条件也可写为 $\rho(F)<1$。

稳定意味着有限初值和有限冲击的影响最终消失；特征值模越接近 1，系统遗忘过去越慢。图 2-4 对四个稳定 AR(2) 施加同一个单位创新，之后不再加入新冲击；响应由相同的二阶递推关系生成。特征根的模决定衰减速度，实根符号与复根角度决定路径形状；模最大的根越接近 1，长期衰减越慢。

3. AR 滞后多项式根与单位圆#

把 AR 滞后多项式中的算子 $L$ 替换为复变量 $z$：

AR 滞后多项式根（AR Polynomial Root）：满足 $\Phi(z)=0$ 的复数 $z_j$。

特征方程根与 AR 滞后多项式根互为倒数：

因此稳定条件等价为：

单位圆（Unit Circle）：复平面上满足 $|z|=1$ 的全部复数组成的圆。

对于伴随矩阵特征值，稳定要求全部特征值位于单位圆内；对于 AR 滞后多项式根，稳定要求全部根位于单位圆外。两种判据使用的是互为倒数的两组根。

4. 单位圆边界#

单位根（Unit Root）：AR 滞后多项式中模等于 1 的根，即满足 $\Phi(z)=0$ 且 $|z|=1$ 的根。

一阶模型 $y_t=\alpha y_{t-1}+\varepsilon_t$ 在 $\alpha=1$ 时有 $\Phi(z)=1-z$，因此 $z=1$ 为正单位根，过程为随机游走型非平稳过程。

当 $\alpha=-1$ 时，$\Phi(z)=1+z$，其根为 $z=-1$，同样属于单位根。该过程处于稳定性边界，动态表现为符号交替，不属于通常的 $z=1$ 随机游走。

一般地，复单位根可写为 $z=e^{i\lambda}$。只要 AR 滞后多项式存在单位根，标准稳定性条件即不成立。

5. 例：二阶差分方程的稳定性#

考虑：

特征方程为：

解得：

由于：

该二阶系统稳定。

相应的 AR 滞后多项式为：

其根约为：

两个根的模均大于 1，与伴随矩阵特征值均位于单位圆内的稳定性判据等价。高阶模型的稳定性由全部系数共同决定，不能逐个检查 $|\phi_j|<1$ 代替根条件。