非平稳金融时间序列模型

1. 弱平稳与非平稳（Weak Stationarity and Nonstationarity）#

弱平稳时间序列（Weakly Stationary Time Series）：二阶矩存在，且均值为常数、方差为常数、自协方差只取决于滞后阶数而不取决于具体时点的随机过程。

对随机过程 $\{Y_t\}$，弱平稳要求存在常数 $\mu$、$\sigma^2<\infty$ 以及函数 $\gamma(k)$，使得：

非平稳时间序列（Nonstationary Time Series）：不满足所采用平稳性定义的随机过程。若均值随时间变化、方差随时间变化，或自协方差还依赖具体时点，则序列不满足弱平稳条件。

图形只能提供非平稳性的线索。持续趋势、路径逐渐发散、波动范围随样本时间扩大，都需要结合数据生成过程和统计检验判断。单条样本路径不能严格证明或否定平稳性。

2. 确定性趋势与趋势平稳（Deterministic Trend and Trend Stationarity）#

确定性趋势模型（Deterministic Trend Model）：由一个确定性时间函数和一个弱平稳随机扰动相加形成的模型。

线性确定性趋势模型为：

其中：

• $c$ 是截距；
• $\beta$ 是确定性线性趋势的斜率；
• $U_t$ 是均值为零的弱平稳过程。

因此：

且 $Y_t$ 的自协方差仍由 $U_t$ 的动态结构决定。只要 $\beta\neq0$，$Y_t$ 的无条件均值就随时间变化，原序列不满足弱平稳。

若确定性趋势为多项式，可以写为：

趋势平稳过程（Trend-stationary Process）：去除正确设定的确定性趋势后得到弱平稳过程的时间序列。线性趋势模型中，若 $c$ 与 $\beta$ 已知，则：

实际应用通常先用最小二乘法估计趋势：

再对残差序列 $\widehat U_t$ 检查序列相关、异方差和结构变化。估计出一条趋势线并不能自动证明剩余项平稳，趋势函数的形式也必须由经济背景和残差诊断共同支持。

课件中的中国真实 GDP 拟合结果可作为二次确定性趋势回归的示例：1952—2013 年样本中，包含常数、$T$ 和 $T^2$ 的回归报告 $R^2=0.865127$，但 Durbin–Watson 统计量仅为 $0.061905$。高 $R^2$ 只说明趋势项解释了样本内水平变动，极低的 Durbin–Watson 统计量提示残差仍存在强序列相关，不能据此把该回归当作完整的平稳扰动模型。

上图是固定种子 $202610061$ 生成的理论模拟：$t=1,\ldots,120$，确定性部分为 $2+0.06t$，扰动满足 $U_t=0.5U_{t-1}+\varepsilon_t$ 且 $\varepsilon_t\sim N(0,1)$。图中同时给出真实趋势和同一模拟样本的 OLS 线性拟合；拟合线用于展示估计误差，不代表真实 GDP 数据。去趋势后的残差是否平稳仍需结合残差诊断。

3. 随机趋势与随机游走（Stochastic Trend and Random Walk）#

随机趋势模型（Stochastic Trend Model）：趋势由过去创新的累积决定，单个冲击对未来水平的影响不随时间消失的非平稳过程。

最基本的随机趋势模型是带漂移的随机游走：

其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是均值为零、方差为 $\sigma_\varepsilon^2$ 的白噪声，$c$ 为每期确定性漂移。反复迭代得到：

在 $Y_0$ 为固定初值且创新相互不相关时：

方差随 $t$ 增长，说明未来水平的不确定性不断扩大。令 $c=0$ 时得到无漂移随机游走：

其一阶差分为：

因此一次差分后的序列是白噪声，在该设定下属于弱平稳过程。随机游走的水平序列含有一个单位根，通常称为一阶单整过程，记为 $I(1)$。

若 $j\geq0$ 且 $j<t$，无漂移随机游走的有限样本自协方差为：

对应的相关系数为：

这个相关系数依赖 $t$，所以随机游走不满足弱平稳的“只依赖滞后阶数”条件。高持久性平稳 AR(1) 的理论 ACF 则是 $\rho_j=\alpha^j$，只依赖 $j$ 并按几何速度衰减。二者的样本 ACF 都可能在低阶保持较大，不能只凭一张 ACF 图区分。

随机趋势与确定性趋势的差别在于冲击的长期作用。确定性趋势模型中的 $U_t$ 若平稳，某期冲击只通过 $U_t$ 的动态结构逐步衰减；随机游走中的 $\varepsilon_t$ 会进入所有后续水平值，冲击影响永久保留。

上图使用固定种子 $202610062$ 比较 $\alpha=0.9$ 的平稳 AR(1) 与 $Y_0=0$ 的无漂移随机游走，横轴为 $t=0,\ldots,80$。AR(1) 从无条件平稳分布初始化，理论区间宽度保持有界；随机游走的逐时点 95% 区间为 $\pm1.96\sigma_\varepsilon\sqrt{t}$，随时间按平方根扩张。阴影是逐时点边际区间，不是覆盖整条路径的同时置信带。

4. 两类趋势的比较#

确定性趋势和随机趋势可能产生相似的上升或下降图形。仅凭时间图、样本自相关函数或回归的 $R^2$ 不能可靠区分两者，必须结合模型设定和单位根检验。

1. 差分算子与单整阶数（Differencing and Integration Order）#

一阶差分算子（First-difference Operator）：将序列当前值减去上一期值的线性算子，记为 $\Delta=1-L$，满足：

二阶差分为：

更一般地，$\Delta^d=(1-L)^d$。

$I(d)$ 过程（Integrated Process of Order $d$）：经过 $d$ 次差分后成为弱平稳过程、且少于 $d$ 次差分仍未达到该条件的过程，其中 $d\in\{0,1,2,\ldots\}$ 是差分阶数，不是 AR 阶数或 MA 阶数。该记号主要用于描述随机趋势或单位根导致的差分平稳过程；含确定性趋势的趋势平稳序列虽然水平值的均值随时间变化，去除趋势后的扰动仍属于 $I(0)$，不能仅因水平序列非平稳就记为 $I(1)$。

若 $Y_t$ 是 $I(1)$，则 $\Delta Y_t$ 平稳。若 $Y_t$ 是 $I(2)$，则 $\Delta^2Y_t$ 平稳，而一次差分通常仍非平稳。单整阶数必须结合检验、经济含义和模型诊断确定，不能因为一阶差分看起来波动较小就直接认定为 $I(1)$。

对带漂移随机游走：

一次差分后：

差分消除了随机水平积累，但保留了漂移对应的常数均值。

2. ARIMA 模型（Autoregressive Integrated Moving-average Model）#

ARIMA 模型（Autoregressive Integrated Moving-average Model）：原序列经过 $d$ 次差分后，其平稳序列服从 ARMA 模型的动态过程。

用滞后多项式写为：

其中：

这里采用 AR 多项式的负号约定和 MA 多项式的正号约定。若模型包含常数或漂移，可在右侧加入常数项；若包含确定性趋势，可把确定性项写成 $c+\gamma t$，并在估计和检验中保持同一设定。

因此记为 $ARIMA(p,d,q)$：

• $p$ 是差分后平稳序列的 AR 阶数；
• $d$ 是使序列达到平稳所需的差分次数；
• $q$ 是差分后平稳序列的 MA 阶数。

当 $d=0$ 时，ARIMA 模型退化为 ARMA 模型。当原序列的 AR 滞后多项式包含一个单位根时，可以写成：

从而：

这说明原序列的一阶差分具有较低阶的 ARMA 表示。更高阶单位根需要相应的 $(1-L)^d$ 因子，但差分次数不能只靠形式分解决定，还要检查差分后序列是否仍含单位根以及是否过度差分。若把含单位根的原始 AR 多项式总阶数记为 $r$，一次因子化后剩余 AR 阶数为 $r-1$。标准记号 $ARIMA(p,d,q)$ 中的 $p$ 指差分后平稳过程的 AR 阶数，不能把原始多项式的总阶数和 ARIMA 记号中的 $p$ 混用。

3. 差分与确定性去趋势的区别#

若数据生成过程为：

其中 $U_t$ 平稳，则一阶差分为：

差分后的序列通常平稳，但它改变了研究对象，并把原来平稳扰动的相邻项组合成新的动态误差。若研究目标是估计水平中的长期趋势，回归去趋势通常比差分更直接：

课件将差分法主要安排给随机趋势序列，将去趋势法主要安排给确定性趋势序列。更准确的表述是：确定性趋势序列的一阶差分在平稳扰动条件下也可能平稳，但差分会丢失水平信息，常常不是研究确定性趋势参数的首选方法。

上图使用固定种子 $20261006$ 生成带漂移随机游走 $Y_t=Y_{t-1}+0.15+\varepsilon_t$，展示水平、OLS 线性去趋势残差和一阶差分三种对象。线性去趋势只移除了样本内拟合的直线，不能把随机趋势转化为趋势平稳过程；一阶差分才满足 $\Delta Y_t=0.15+\varepsilon_t$。

二者的适用场景不同：

4. HP 滤波（Hodrick–Prescott Filter）#

HP 滤波（Hodrick–Prescott Filter）：通过在拟合原序列与惩罚趋势曲率之间进行权衡，提取平滑趋势的双侧滤波方法。

将观测序列分解为：

其中 $\tau_t$ 是趋势成分，$C_t$ 是周期偏离。给定平滑参数 $\lambda>0$，HP 滤波选择 $\{\tau_t\}_{t=1}^{T}$ 使下式最小：

第一项控制观测值偏离趋势的程度，第二项惩罚趋势斜率的变化。$\lambda$ 越大，趋势越平滑。极端情形为：

• $\lambda=0$ 时，最小化结果为 $\tau_t=Y_t$；
• $\lambda\to\infty$ 时，趋势的二阶差分趋近于零，趋势趋向线性函数。

课件给出的常用参考值为：

这些数值属于经验约定，不是由单位根检验推导出的唯一参数。HP 滤波使用全样本的双侧信息，样本末端会有明显边界效应。实时预测或政策分析还需要说明是否使用单侧滤波，以及趋势估计是否会因新增观测而修订。

上图使用固定种子 $20261007$ 生成长度为 $T=144$ 的人工教学序列，并直接求解 $(I+\lambda D^\top D)\tau=Y$。图中比较 $\lambda=0,100,1600$ 与 OLS 线性趋势；$\lambda=0$ 时 $\tau_t=Y_t$，较大的 $\lambda$ 使趋势更平滑。图形用于说明参数敏感性，不代表真实金融或宏观历史数据；课件中的月度参考值 $14400$ 保留在表格中但未在图中绘制。

1. DF 检验的基本模型（Dickey–Fuller Test）#

单位根检验（Unit-root Test）：检验自回归动态中是否存在模为 1 的特征根，从而判断序列是否含随机趋势的统计检验。

DF 检验从 AR(1) 模型开始：

若 $\alpha=1$，则模型含单位根。令 $\phi=\alpha-1$，移项得到：

原假设和备择假设写为：

DF 检验的统计量通常是 $\widehat\phi$ 的 t 型统计量，但在 $H_0$ 下不服从常规 t 分布。实际判断应使用单位根检验专用的临界值或相应的 MacKinnon 近似 p 值。不能把普通回归输出中的 t 分布 p 值直接当作 DF 检验 p 值。

2. 确定性项的三种设定#

DF 回归中是否包含截距和时间趋势，会改变原假设下的极限分布和临界值。常见设定如下：

无确定性项的设定通常把平稳备择下的长期均值限制为零，只有在该限制具有经济依据时才使用。金融价格或宏观水平变量通常至少需要考虑截距项。是否加入线性趋势应根据变量定义、样本图形、经济理论和稳健性分析决定，不能因为检验结果更显著就事后选择确定性项。

含趋势设定下的单位根原假设不是简单的“普通随机游走”：差分方程中还包含确定性项，水平过程的确定性部分取决于该递推结构。例如在 $\phi=0$ 且 $Y_0$ 固定时，$E(Y_t)=Y_0+ct+\gamma t(t+1)/2$，所以 $\gamma$ 会在水平过程累加为二次确定性项。备择假设的“平稳”应理解为围绕确定性趋势波动的趋势平稳，而不是围绕常数均值的平稳。三种设定不能共用同一组临界值。

3. ADF 检验与滞后差分项（Augmented Dickey–Fuller Test）#

ADF 检验（Augmented Dickey–Fuller Test）：在 DF 回归中加入滞后差分项，以吸收误差项的序列相关并把检验扩展到高阶自回归过程的单位根检验。

从一般 AR(p) 模型出发：

将其改写为：

其中：

ADF 检验仍然检验：

滞后差分项的作用是近似处理短期序列相关，使 $\varepsilon_t$ 更接近白噪声。它们不改变单位根系数的检验目标，但滞后阶数过少会使误差项仍有序列相关，滞后阶数过多则会浪费自由度并降低检验功效。

月度数据可以先设定一个有经济依据的最大滞后阶数，例如 12，再使用 AIC、BIC 或其他准则选择候选阶数。信息准则只提供滞后结构选择规则，不能替代残差诊断和经济解释。

4. 单位根检验的判读规则#

对给定显著性水平 $\alpha$：

1. 若 ADF 统计量比临界值更负，拒绝 $H_0$，数据支持“不存在单位根”的结论。
2. 若 ADF 统计量没有达到临界值，不能拒绝 $H_0$，只能说数据没有提供足够证据否定单位根。
3. 不能拒绝单位根原假设不等于已经证明序列一定含单位根。有限样本功效不足、结构突变、确定性项设定错误和滞后阶数选择都可能导致检验不敏感。
4. ADF 拒绝单位根也只对应当前回归设定和样本区间，不能自动推出因果关系或未来样本一定平稳。

DF 与 ADF 的原假设相同，差别在于 ADF 增加了滞后差分项。实际研究还应结合 KPSS 等以平稳性为原假设的检验，以及结构突变检验，降低单一检验的误判风险。

1. 上证综合指数对数水平序列#

课件将上证综合指数记为 $p_t$，并对其自然对数水平序列进行 ADF 检验。含截距但不含线性趋势的 ADF 方程为：

课件输出的主要统计量如下：

在 5% 显著性水平下，$-3.289952<-2.871806$，因此拒绝“含单位根”的原假设。这个结论只适用于“常数、不含趋势”的检验方程和该样本区间。由于统计量没有达到 1% 临界值，不能写成在 1% 水平上拒绝单位根。

课件回归表中 $\operatorname{LOG(SZZS(-1))}$ 的普通回归系数 p 值为 $0.0011$，与 ADF 输出的 MacKinnon p 值 $0.0163$ 不同。前者是回归系数在常规 t 分布口径下的输出，后者用于单位根统计量的非标准分布近似。单位根检验应使用后者或直接与专用临界值比较。

若经济理论或图形表明价格水平具有确定性趋势，还应估计包含截距和趋势的 ADF 方程，并使用该设定对应的临界值。不能把含截距模型的结果直接用于含趋势模型。

2. 中国总人口对数水平序列#

课件对中国总人口的自然对数水平序列使用了含截距和线性趋势的 ADF 检验，输出为：

统计量远大于临界值，不能拒绝单位根原假设。这个结果支持“在含截距和趋势的设定下，水平序列具有单位根证据”，但不能单凭一次检验把人口序列的经济过程完全归类为随机游走。

课件随后对 $\log(\mathrm{TPEOPLE})$ 做一次差分，并继续使用含截距和趋势的设定：

由于 $-3.144731$ 没有比 10% 临界值 $-3.172314$ 更负，在该设定下即使按 10% 水平也不能拒绝单位根原假设。因此，课件的表格不能直接支持“人口对数序列经过一次差分后已经平稳”的确定性结论。还需要重新检查确定性项、滞后阶数、样本长度和结构变化，并使用其他检验或更合适的经济模型。

一次差分回归表中滞后差分项的普通回归 p 值为 $0.0027$，这同样不等于 ADF 单位根检验的 p 值 $0.1058$。判断单位根时应读取 ADF test statistic 与其专用临界值或 MacKinnon p 值。

上图把课件中的三个 ADF 输出放到各自的统计量轴上：左侧越负代表越支持拒绝单位根。上证统计量位于 1% 与 5% 临界值之间；人口水平统计量远在临界值右侧；人口一阶差分统计量略高于 10% 临界值，因此不能把三组结果混用，也不能把普通回归 p 值替代 ADF p 值。

3. 案例中的数据口径#

上证指数案例使用月度对数水平，人口案例使用年度对数水平。正式实证报告还应补充数据来源、原始变量单位、是否经过修订、样本起止日期、缺失值处理和对数变换的可行性。课件中的 EViews 输出属于教学样例，不能在缺少原始数据和完整数据处理记录时复现为新的实证结论。

1. 变换和检验顺序#

对一条金融或宏观时间序列，建议按以下顺序处理：

1. 明确变量口径、频率、样本区间、单位和价格是否复权。
2. 绘制水平序列与必要的差分序列，记录趋势、异常值、结构变化和季节模式。
3. 根据经济含义决定 DF 或 ADF 方程是否包含常数、趋势或更高阶确定性项。
4. 先在水平序列上检验单位根，再在必要的差分序列上重复检验。
5. 选择滞后差分阶数，并检查 ADF 回归残差是否仍有明显序列相关。
6. 以达到平稳所需的最小差分阶数作为 ARIMA 中的候选 $d$，同时检查是否出现过度差分。
7. 对差分后的序列识别 ARMA 阶数，估计模型并进行残差诊断。
8. 在样本外评价预测，保留对确定性项、滞后阶数和差分阶数的稳健性比较。

可将判断关系压缩为：

2. 过度差分与信息损失#

差分会降低随机趋势的阶数，但也会改变长期水平信息。对确定性趋势序列盲目差分，可能把原有的长期关系转化为差分项之间的相关结构。对本身已经平稳的序列继续差分，还可能引入额外的负自相关并增加估计方差。

因此，差分的目标是消除随机趋势，而不是让图形看起来更平滑。$d$ 的选择应同时满足：

• 差分后序列通过平稳性或单位根诊断；
• 更低差分阶数仍不能合理解释非平稳性；
• 更高差分阶数没有造成明显过度差分；
• 差分后的 ARMA 模型残差通过序列相关诊断。

3. 结果表述的边界#

单位根检验是对指定样本、指定确定性项和指定滞后结构的统计检验。研究报告应明确写出：

• 检验的原假设及其确定性项设定；
• ADF 统计量、专用临界值或 MacKinnon p 值；
• 使用的滞后阶数和选择准则；
• 样本区间与有效观测数；
• 对不能拒绝原假设的谨慎表述；
• 是否用其他检验或结构突变方法进行交叉核验。

“检验结果显著”只能说明统计量在某个设定下越过临界值，不能单独证明数据生成过程、长期因果关系或经济变量的真实趋势来源。