金融计量中的条件异方差模型

1. 条件均值与条件方差（Conditional Mean and Conditional Variance）#

条件方差（Conditional Variance）：给定时刻 $t-1$ 已知信息集 $\mathcal I_{t-1}$ 后，随机扰动 $u_t$ 的方差。若条件均值为零，则有

这里的 $\mathcal I_{t-1}$ 可以包含过去的收益率、解释变量和残差，$\sigma_t^2$ 是随信息集变化的随机过程。均值方程描述收益率的可预测部分，方差方程描述在给定信息下的风险水平。金融时间序列的条件异方差模型同时估计这两个部分：

其中 $x_t$ 为均值方程的解释变量，$\phi$ 为均值参数，$z_t$ 满足 $E(z_t\mid\mathcal I_{t-1})=0$ 和 $E(z_t^2\mid\mathcal I_{t-1})=1$。正态分布是最大似然估计的一种选择，不是条件异方差模型成立的定义条件。

2. 波动聚集与金融风险（Volatility Clustering）#

波动聚集（Volatility Clustering）：大幅度变动和小幅度变动分别在时间上成段出现的现象。收益率 $u_t$ 可能接近不相关，而 $u_t^2$ 或 $|u_t|$ 仍表现出显著的正相关。于是，线性均值模型的残差可以近似为白噪声，但残差的条件方差仍具有动态结构。

高频金融数据中的这种结构具有直接的风险含义。条件标准差 $\sigma_t=\sqrt{\sigma_t^2}$ 可以用于波动率预测，进一步进入期权定价、保证金、压力测试和 VaR 计算。条件方差较高表示给定信息下未来收益分布更分散，并不表示下一期收益必然为负，也不构成收益方向的因果预测。

对均值方程估计后，应分别检查 $\hat u_t$ 与 $\hat u_t^2$ 的相关性。前者仍有自相关时，均值方程需要调整；后者有自相关而前者近似无自相关时，条件方差模型具有明确的估计对象。

上图用固定的 GARCH(1,1) 参数和一组确定性冲击序列生成教学路径，不代表任何真实市场样本。大冲击使条件标准差上升，随后由参数共同决定的递推关系使波动率逐步回落；收益创新的符号变化不会改变这条方差递推的基本机制。

1. ARCH 模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）#

ARCH 模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）：条件方差由过去扰动平方的有限个滞后项决定的条件异方差模型。ARCH($p$) 的均值方程和方差方程组成一个完整模型系统：

$\omega$ 是常数项，$\alpha_i$ 衡量第 $i$ 个滞后冲击平方对当前条件方差的影响。为保证每期方差非负，通常要求

ARCH(1) 是最简单的情形：

大的过去冲击会提高当前条件方差，$\alpha_1$ 越大，方差对新信息越敏感。该模型把冲击的符号暂时压缩掉，因为正负冲击在平方后产生同样的数值。

2. 平稳性与无条件方差（Stationarity and Unconditional Variance）#

在 ARCH($p$) 中，方差动态的特征多项式可写为

弱平稳性要求 $a(z)=0$ 的全部根位于单位圆之外。对于满足非负系数约束的常用设定，$\sum_{i=1}^{p}\alpha_i<1$ 是有限无条件二阶矩的充分条件。取无条件期望可得

因此，$\omega$ 决定长期方差的基准水平，$\sum_i\alpha_i$ 决定冲击记忆的强弱。若系数和接近 1，冲击影响衰减缓慢；若系数和达到或超过 1，不能再把该模型解释为具有有限无条件方差的普通平稳 ARCH 模型。

当所有 $\alpha_i=0$ 时，$\sigma_t^2=\omega$ 为常数，模型退化为条件同方差模型。此时 $u_t^2=\omega+\varepsilon_t$，其中 $\varepsilon_t=u_t^2-\omega$ 是平方扰动相对于其条件均值的偏差。

3. 平方扰动的自回归表示（Autoregressive Representation of Squared Innovations）#

由 $\varepsilon_t=u_t^2-\sigma_t^2$ 和 ARCH 方差方程可得

因此，$u_t^2$ 具有类似 AR($p$) 的滞后结构。这个表示解释了为什么残差自身可以近似不相关，而残差平方仍具有显著自相关。它不是把 $u_t^2$ 当作普通同方差 AR 模型来估计：$\varepsilon_t$ 的条件方差仍会随 $u_t$ 变化，且方差方程的参数需要结合均值方程和条件分布进行估计。

样本中通常以 $\hat u_t^2$ 的 ACF 作为初步诊断。显著的平方残差相关支持 ARCH 效应，但 ACF 图本身不能替代正式检验，也不能决定最终应采用 ARCH 还是 GARCH。

4. ARCH-LM 检验（ARCH Lagrange Multiplier Test）#

ARCH-LM 检验（ARCH Lagrange Multiplier Test）：检验均值方程残差的条件方差是否包含指定滞后阶数 ARCH 结构的拉格朗日乘数检验。给定均值方程残差 $\hat u_t$，对平方残差进行辅助回归：

原假设和备择假设为

若辅助回归的样本量为 $T$，决定系数为 $R^2$，则在原假设成立且常规正则条件满足时，

$T$ 应使用辅助回归实际保留的观测数，而不是原始数据长度。拒绝 $H_0$ 表明残差平方仍含有可预测的动态结构，支持进一步估计 ARCH 族模型。检验前应先合理设定均值方程，否则均值误设造成的残差结构可能被误判为 ARCH 效应。

在条件外生性成立时，异方差通常不会使 OLS 系数估计失去无偏性或一致性，但会使按同方差假设计算的标准误、显著性检验和效率结论失效。因此，ARCH-LM 的用途是识别方差动态，不能替代对均值方程和推断方法的检查。

1. GARCH 模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）#

GARCH 模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）：在 ARCH 方差方程中加入条件方差自身的滞后项，以有限阶递推表示长记忆波动的条件异方差模型。本章统一采用 $p$ 表示 ARCH 滞后阶数、$q$ 表示 GARCH 滞后阶数：

GARCH(1,1) 为

$\alpha$ 表示新冲击对方差的即时作用，$\beta$ 表示既有波动状态的延续作用。课件采用的某些软件界面把括号中的阶数顺序写成 GARCH 阶数在前、ARCH 阶数在后；本文以方程中的 $\alpha$ 和 $\beta$ 下标为准，避免同一符号在不同软件中的含义相反。

2. GARCH 与 ARCH(∞)（ARCH-Infinity Representation）#

对 GARCH(1,1) 方差方程应用滞后算子，可得

当 $|\beta|<1$ 时，展开 $(1-\beta L)^{-1}$ 得

因此，GARCH(1,1) 等价于对过去无限多个平方冲击赋予几何递减权重的 ARCH(∞)。$\beta$ 使模型以较少参数表达长时间的波动记忆。若 $\alpha+\beta$ 较大，近期冲击对未来方差的影响衰减得更慢。

左图固定即时冲击系数，只比较 $\beta=0.5$ 和 $\beta=0.9$ 时历史平方冲击权重的衰减速度。右图把长期方差归一化为 1、把第一期预测设为 4，比较持久性 $P=\alpha+\beta$ 对多步预测回归速度的影响。两图中的曲线由正文给出的几何递推关系直接生成。

3. 平稳性、正性与持久性（Stationarity, Positivity, and Persistence）#

在非负系数设定下，常用的 GARCH($p,q$) 条件为

对有限无条件方差，$\sum_{i=1}^{p}\alpha_i+\sum_{j=1}^{q}\beta_j<1$ 是常用的充分条件。更一般的高阶模型应检查相应随机递推方程的根或矩条件，不能仅凭某一个系数的显著性判断平稳性。GARCH(1,1) 的无条件方差为

定义 $P=\alpha+\beta$ 为一阶 GARCH 的波动持久性。$P$ 越接近 1，波动冲击的半衰期

越长。当 $P$ 接近 1 时，样本内波动可能看起来具有长期记忆，但这不等同于已经证明存在真正的长记忆过程。若 $P=1$，模型处于 IGARCH 型边界，长期无条件方差的上述表达式不再有限。

4. 条件分布与估计（Conditional Distribution and Estimation）#

GARCH 方程给出条件方差递推关系，还需要为标准化创新 $z_t=u_t/\sigma_t$ 指定条件分布以构造似然。常见选择如下：

若 Student-$t$ 的自由度记为 $\nu$，应取 $\nu>2$ 才有有限方差，并通过尺度变换使 $E(z_t^2)=1$。

在给定均值方程和方差递推后，通常使用最大似然或准最大似然估计。条件分布的选择改变似然函数和尾部概率，不改变 ARCH、GARCH、阈值项的动态定义。模型比较应同时检查对数似然、AIC/BIC、参数约束、优化收敛和标准化残差诊断，不能仅因某个分布的拟合优度较高就忽略方差动态是否遗漏。

1. 过滤方差与条件标准差（Filtered Variance and Conditional Volatility）#

给定估计参数 $(\hat\omega,\hat\alpha,\hat\beta)$ 和历史残差，可递推得到每个样本时点的过滤方差：

初始方差可设置为无条件方差、样本方差或采用模型的 backcast 规则。初始值对早期观测有影响，但在持久性小于 1 且样本足够长时，影响会逐步衰减。条件波动率用

表示。应区分 $\hat\sigma_t^2$、$\hat\sigma_t$ 和标准化残差

前两者是方差或波动率估计，后者用于检验模型是否已经解释了条件异方差。

2. 多步波动预测（Multi-step Volatility Forecast）#

在时点 $T$ 已知 $\hat u_T$ 和 $\hat\sigma_T^2$ 时，GARCH(1,1) 的一步预测为

对于 $h\ge2$，未来创新的条件期望满足 $E_T(u_{T+h-1}^2)=\hat\sigma_{T+h-1\mid T}^2$，因此

若 $P=\hat\alpha+\hat\beta<1$，递推预测收敛于长期方差：

波动率预测的收敛速度由 $P$ 决定，而不是由 $\omega$ 单独决定。对多日风险进行计算时，应使用逐期递推得到的方差或完整的预测分布，不能在存在条件异方差时机械地把单日标准差乘以 $\sqrt{\Delta t}$。

1. GARCH-in-Mean 模型（GARCH-in-Mean）#

GARCH-in-Mean 模型（GARCH-M）：在条件均值方程中加入条件风险函数，使均值参数可以反映收益与风险的条件关联。一个常见形式为

$g(\sigma_t^2)$ 可以取 $\sigma_t^2$、$\sigma_t$ 或 $\log(\sigma_t^2)$。$\gamma$ 衡量条件均值与所选风险指标的统计关联：$\gamma>0$ 表示高风险状态伴随较高的条件均值，$\gamma<0$ 表示二者呈负向关联。这个系数描述模型中的条件关系，不能单独推出风险导致收益变化的因果结论。由于风险变量由方差方程同时生成，均值和方差方程需要联合估计。

2. 门限 GARCH 模型（TGARCH / GJR-GARCH）#

门限 GARCH 模型（Threshold GARCH）：用冲击符号的指标变量区分正、负冲击对条件方差影响的模型。令

TGARCH(1,1) 或 GJR-GARCH(1,1) 可写为

正冲击的即时系数为 $\alpha$，负冲击的即时系数为 $\alpha+\gamma$。在 $\gamma>0$ 时，同等绝对大小的负冲击会提高更多条件方差，这种不对称反应常被称为杠杆效应。杠杆效应是经济含义上的一种不对称性，文献中“TGARCH”的记法并不完全统一，本文的方差形式也常称为 GJR-GARCH；模型中出现阈值系数并不自动证明资产负债表杠杆机制。

图中固定上一期条件方差项，只改变上一期冲击的大小和符号。对称 GARCH 对 $u_{t-1}$ 的正负冲击给出相同的平方响应；加入阈值项后，负冲击曲线位于正冲击对应的响应之上。

为保证方差非负，常用约束为

在冲击符号对称且 $E(u_t^2)$ 有限的简单情形下，$\alpha+\gamma/2+\beta<1$ 是有限无条件方差的常用充分条件；一般情形仍应检查模型对应的矩条件。若估计结果显示 $\gamma$ 显著为正，且标准化残差的平方相关性得到改善，才有理由保留阈值项。

3. 指数 GARCH 模型（EGARCH）#

指数 GARCH 模型（Exponential GARCH）：对条件方差的对数建模，并使用标准化冲击的绝对值与符号项表示规模效应和非对称效应的模型。EGARCH(1,1) 的常用中心化写法为

$\alpha$ 描述冲击绝对大小的影响，$\gamma$ 描述符号不对称性。若采用上式的符号约定，$\gamma<0$ 时负的标准化冲击会提高对数方差更多。由于模型直接对 $\log(\sigma_t^2)$ 建模，$\sigma_t^2$ 自动为正，不需要像 TGARCH 那样对 $\omega,\alpha,\gamma$ 施加非负约束。常见的一阶持久性条件为 $|\beta|<1$，更高阶模型应检查相应的动态稳定条件。

TGARCH 在方差水平上区分正负冲击，参数具有直接的即时效应解释；EGARCH 在对数方差上建模，适合表达乘法性波动和不对称响应。两者的参数不能直接按数值大小比较，应比较预测方差、似然和标准化残差诊断。

1. 条件收益分布与 VaR（Conditional Return Distribution and Value at Risk）#

风险价值（Value at Risk, VaR）：在给定信息集、持有期和置信水平下，损失分布的分位数。采用“损失为正”的约定，若

且 $q_{1-c}$ 是标准化创新 $z_{t+1}$ 的下侧 $1-c$ 分位数，则收益率 VaR 为

若用时点 $t$ 的资产价格 $P_t$ 把收益率损失换算为货币金额，则

该价格换算按简单收益率口径最直接；若 $r_{t+1}$ 使用对数收益率，则 $P_t\times\operatorname{VaR}^{(r)}$ 只是小收益率下的一阶近似，精确价格损失需经过指数变换。

$q_{1-c}$ 必须与所选条件分布一致。正态分布下，单侧 95% 置信水平使用约 $-1.645$，单侧 99% 使用约 $-2.326$；$1.96$ 对应双侧 95% 区间的临界值，不能直接作为单侧 95% VaR 的标准化分位数。若均值方程包含 AR 项或 GARCH-M 项，应使用相应的 $\mu_{t+1\mid t}$，不能默认均值为零。

2. 持有期与 VaR 回测（Holding Period and Backtesting）#

单日 GARCH 预测可以直接给出下一期 VaR。多期 VaR 需要对未来收益的条件均值、条件方差和创新分布进行联合预测。只有在独立同分布、均值可以忽略且方差缩放假设合理时，才可以使用 $\sigma\sqrt{\Delta t}$ 近似。对于具有波动持久性的 GARCH 过程，逐期递推通常更可靠。

VaR 模型应在保留样本之外进行回测。基本检查包括实际损失超过 VaR 的频率是否接近 $1-c$，超越事件是否存在显著的时间聚集，以及不同市场状态下覆盖率是否稳定。覆盖率检验和独立性检验只能评估给定置信水平下的尾部预测，不能证明均值方程或波动方程已经正确识别全部经济机制。

1. 均值方程、方差检验与模型估计（Empirical Workflow）#

条件异方差模型的估计应按以下顺序组织：

1. 将价格转换为简单收益率或对数收益率，并明确交易日索引。价格水平通常含单位根，收益率的均值和方差建模应使用与研究问题相匹配的样本区间。
2. 先用 AR、MA 或 ARMA 等模型描述条件均值。均值方程的阶数选择和残差线性诊断沿用前面章节的 ACF、PACF、Ljung–Box 检验与信息准则。
3. 检查 $\hat u_t$ 和 $\hat u_t^2$ 的 ACF，并对平方残差实施 ARCH-LM 检验。检验的滞后阶数应结合样本频率和研究目的设定，不能为了得到显著结果反复试探而不报告选择过程。
4. 在存在 ARCH 效应时，从 GARCH(1,1) 等低阶模型开始估计。检查参数的正性、持久性、优化收敛和无条件方差条件，再考虑更高阶模型。
5. 比较正态、Student-$t$ 或 GED 条件分布。分布选择应结合尾部拟合和 VaR 回测，不应只比较样本内信息准则。
6. 若标准化残差的平方仍存在相关性，或正负冲击的响应存在经济和统计证据，再估计 TGARCH 或 EGARCH。
7. 计算 $\hat z_t=\hat u_t/\hat\sigma_t$，分别检验 $\hat z_t$ 与 $\hat z_t^2$ 的自相关。理想的方差模型应使二者接近白噪声，并且参数估计满足模型约束。
8. 在样本外生成波动率和 VaR 预测，报告预测区间、分布假设、持有期以及回测结果。

2. 模型选择与诊断结果（Model Selection and Diagnostics）#

课件中的深证成指结果属于旧软件环境下的历史课堂示例。该示例报告的 GARCH 系数约为 $\alpha=0.070015$、$\beta=0.908968$，持久性约为 $0.978983$，说明当时样本中的冲击影响衰减较慢。这里的数值用于说明如何读取 ARCH 系数、GARCH 系数和持久性，不代表当前市场估计，也不能脱离原始样本、收益率定义和均值方程重新解释。

3. 结果报告中的最小信息集（Minimum Reporting Set）#

一份可复核的条件异方差实证报告至少应说明：

• 价格、收益率和交易日处理方式，以及样本起止日期；
• 均值方程的形式、滞后阶数和残差诊断；
• ARCH-LM 的滞后阶数、辅助回归样本量、$TR^2$ 和 $p$ 值；
• 方差模型的参数、标准误、正性与持久性条件；
• 条件创新分布、估计方法和优化收敛信息；
• 过滤方差、标准化残差及其平方的诊断结果；
• 样本外波动率或 VaR 的持有期、置信水平、分布假设和回测结果。

这些信息共同决定模型是否能够被重估、比较和用于风险度量。单独报告一个显著的 GARCH 系数，不能证明模型已经有效刻画了条件波动。