时间序列初步

1. 横截面数据、随机过程与时间序列#

横截面数据（Cross-sectional Data）：在同一时点或同一较短时期内，对多个个体的同一组指标进行观测所得的数据。横截面数据的主要索引为个体索引 $i$。

例如，在同一交易日记录多只股票的市盈率，所得数据属于横截面数据。

随机过程（Stochastic Process）：定义在同一概率空间上、以参数集合为指标的一族随机变量。以时间为指标时，通常记为：

其中，$\mathcal T$ 为时间指标集，$Y_t$ 为时点 $t$ 对应的随机变量。

时间序列（Time Series）：按照时间先后顺序排列的一族随机变量。在离散时间条件下，可记为：

时间序列是随机过程在离散时间指标集上的一种情形。时间顺序是其定义的一部分，改变观测顺序会改变原有的动态关系。

样本路径（Sample Path / Realization）：随机过程在一次随机试验或一次实际观测中取得的一组实现值。有限样本期内记为：

其中，$y_t$ 是随机变量 $Y_t$ 在该次实现中的观测值。

时间序列数据（Time-series Data）：对某一时间序列在有限时间区间内进行观测所得、并按照时间先后顺序排列的数据。其样本可写为：

因此，随机过程和时间序列属于理论随机对象；样本路径和时间序列数据属于观测对象。

2. 金融时间序列#

金融时间序列（Financial Time Series）：以金融变量为随机变量、按照时间先后顺序排列形成的时间序列。常见变量包括资产价格、收益率、汇率、利率、交易量、信用利差和波动率等。

金融时间序列数据（Financial Time-series Data）：金融时间序列在有限样本期内的实际观测值序列。

金融时间序列中的变量按计量时点可分为时点量和时期量。

时点量（Stock Variable）：在某一确定时点测量的数量。例如收盘价格、货币存量和资产负债表余额。

时期量（Flow Variable）：在某一时间区间内累计或发生的数量。例如成交额、季度利润和年度现金流量。

时点量与时期量的统计口径不同，建模时应保持时间单位和观测频率一致。

3. 时间索引与数据频率#

时间索引（Time Index）：用于标明时间序列中各随机变量或观测值所处时间位置的指标，通常记为 $t$。

数据频率（Sampling Frequency）：相邻时间序列观测之间的时间间隔或单位时间内的观测次数。金融数据常见频率包括日、周、月、季、年以及日内高频。

建立时间序列样本时，应明确时间间隔是否规则、非交易日如何处理、不同市场时间戳是否同步，以及价格是否已经进行分红、拆股或合约换月调整。同一变量采用不同频率后，其自相关、波动率和季节性等统计性质可能发生变化。

1. 价格序列与简单收益率#

价格序列（Price Series）：资产价格按照时间先后顺序形成的时间序列，记为 $\{P_t\}$。

简单收益率（Simple Return）：资产在一个持有期内的价格变动与现金分配之和，相对于期初资产价格的比率。若第 $t$ 期现金分配为 $D_t$，则：

其中：

• $P_{t-1}$：持有期期初价格。
• $P_t$：持有期期末价格。
• $D_t$：持有期内取得的现金分配。
• $R_t$：第 $t$ 个持有期的简单收益率。

若不存在现金分配，或 $P_t$ 已采用总回报口径，则：

多期简单收益率满足复利关系：

因此，多期简单收益率一般不能直接由各单期简单收益率相加得到。

下图使用固定教学价格序列说明价格水平与逐期简单收益率的对应关系。右图中的每个收益率点均由左图相邻两个价格点计算得到，不代表真实市场数据。

2. 对数收益率#

对数收益率（Log Return）：一个持有期总回报倍数的自然对数。若简单收益率为 $R_t$，则定义为：

当不存在现金分配时：

简单收益率与对数收益率满足：

时间可加性

例如，某资产价格由 100 上升至 105，再升至 110，期间无现金分配，则 $\ln(105/100)+\ln(110/105)=\ln(110/100)$，两期对数收益率之和恰好等于整个持有期的对数收益率。一般地，在相同总回报口径下，$\sum_{j=0}^{k-1}r_{t-j}=\ln\!\left(\prod_{j=0}^{k-1}(1+R_{t-j})\right)$。

连续复利解释

例如，一个持有期的简单收益率为 $10\%$，则对数收益率为 $\ln(1.10)\approx9.531\%$，即同一持有期按连续复利口径计量的收益率为 $9.531\%$。

涨跌对称性

例如，价格由 100 上升至 200 时，对数收益率为 $\ln 2\approx69.315\%$；价格由 100 下降至 50 时，对数收益率为 $\ln 0.5=-\ln 2\approx-69.315\%$。互为倒数的价格变动对应幅度相同、符号相反的对数收益率。

尺度不变性

例如，价格由 100 上升至 105 与由 1000 上升至 1050 的对数收益率均为 $\ln(1.05)$。价格单位整体按同一比例缩放不会改变对数收益率。

小收益近似

例如，当简单收益率为 $1\%$ 时，对数收益率为 $\ln(1.01)\approx0.995\%$，二者非常接近。一般地，当 $|R_t|$ 较小时，有 $r_t\approx R_t$。

3. 例：简单收益率与对数收益率#

已知某资产期初价格为 100，期末价格为 103，期间无现金分配。

简单收益率为：

对数收益率为：

两种收益率描述同一持有期的价值变化，但采用不同的计量口径。

1. 信息集、条件均值与创新#

信息集（Information Set）：在某一时点已经可以获得并用于统计推断或预测的全部信息的集合，记为 $\mathcal F_t$。

条件均值（Conditional Mean）：在给定信息集条件下随机变量的数学期望。对时间序列 $\{Y_t\}$，一期条件均值为：

创新（Innovation）：实际随机变量与其基于过去信息的条件均值之间的差额，即在 $t-1$ 时点无法预测的新信息：

由条件期望的定义可得：

于是时间序列可以形式化分解为：

2. 条件方差与波动聚集#

条件方差（Conditional Variance）：在给定过去信息集条件下，随机变量围绕其条件均值的方差：

条件均值用于描述变量水平的可预测部分，条件方差用于描述给定已有信息后的不确定性大小。二者是不同的动态对象。

波动聚集（Volatility Clustering）：金融收益率中大幅波动倾向于相互邻近、小幅波动也倾向于相互邻近的经验现象。波动聚集主要表现为条件方差的时间持续性，不等同于收益率方向本身具有强可预测性。

3. 金融时间序列的常见统计特征#

图形只能用于识别可能存在的统计特征，不能代替平稳性、相关性或模型设定的统计检验。

1. 一元与多元时间序列#

一元时间序列（Univariate Time Series）：每一时点只包含一个随机变量的时间序列，通常记为 $\{Y_t\}$。

多元时间序列（Multivariate Time Series）：每一时点包含两个或两个以上随机变量组成的随机向量的时间序列，通常记为 $\{\boldsymbol Y_t\}$。

一元时间序列主要研究单个变量自身的动态结构；多元时间序列还研究不同变量之间的动态相互关系。

2. 严平稳与弱平稳时间序列#

自协方差（Autocovariance）：同一时间序列在两个时点对应随机变量之间的协方差，两个时点可以相同。对二阶矩存在的时间序列 $\{Y_t\}$，一般记为 $\gamma(t,s):=\operatorname{Cov}(Y_t,Y_s)$。

严平稳时间序列（Strictly Stationary Time Series）：任意有限个时点的联合分布在统一时间平移后保持不变的时间序列。即对任意正整数 $m$、任意时点 $t_1,\ldots,t_m$ 和任意允许的时间位移 $h$，有 $(Y_{t_1},\ldots,Y_{t_m})\overset{d}{=}(Y_{t_1+h},\ldots,Y_{t_m+h})$。

弱平稳时间序列（Weakly Stationary Time Series）：二阶矩存在，并且均值不随时间变化、自协方差仅取决于时间间隔而不取决于具体时点的时间序列。对 $\{Y_t\}$，存在常数 $\mu$ 和函数 $\gamma(k)$，使任意 $t$ 与滞后 $k$ 满足 $E(Y_t)=\mu$、$\operatorname{Var}(Y_t)=\gamma(0)<\infty$ 以及 $\operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-k})=\gamma(k)$。其中，$\gamma(k)$ 只由滞后阶数 $k$ 决定。

弱平稳只约束总体的一、二阶矩结构，本身不保证样本路径具有均值回复。均值回复需要由具体动态模型及参数条件判断。

平稳性（Stationarity）：时间序列在时间平移下保持规定概率结构不变的性质。若规定全部有限维联合分布不变，称为严平稳；若只规定一阶、二阶矩结构不变，称为弱平稳。本课程基础线性模型主要使用弱平稳性。

非平稳时间序列（Nonstationary Time Series）：不满足所采用平稳性定义的时间序列。相对于弱平稳定义，只要均值、有限方差或自协方差结构不满足相应条件，即属于弱非平稳。

从时间图看，平稳序列通常围绕相对稳定的水平波动，整体离散程度不会随观察时点系统改变；持续趋势、结构突变、随机趋势以及随季节位置重复变化的均值都可能提示非平稳。图 1-2A～D 展示四类常见的非平稳图形特征。

图 1-2A 为带确定性线性趋势的序列。随机波动的离散程度基本不变，但序列的均值随时间持续上升，因此不满足弱平稳要求的常数均值条件。去除确定性趋势后，剩余部分才可能满足平稳性条件。

图 1-2B 展示结构突变。左图在样本中段发生均值水平跃迁，右图在均值基本不变的情况下发生方差扩大；两者都使总体矩结构依赖具体时点，从而违反弱平稳的时间不变性要求。

图 1-2C 使用随机游走展示典型随机趋势非平稳。不同样本路径随时间逐渐分散，理论 $95\%$ 区间按 $\sqrt{t}$ 的量级张开；其无条件方差随时间增长，因此不存在固定的长期波动范围。

图 1-2D 展示确定性季节均值。设季节周期为 $s=12$，原序列的条件于季节位置的均值周期性变化，因此总体均值依赖具体时点，不满足弱平稳的常数均值条件；去除已知季节项后，剩余扰动重新围绕稳定中心波动。这里讨论的是确定性季节项造成的非平稳，不能据此把所有具有季节动态的序列都判为非平稳。

这些图形只用于识别非平稳的可能来源。确定性趋势、结构突变、随机趋势和确定性季节项对应不同的数据生成机制，后续处理分别可能涉及去趋势、结构变化建模、差分与单位根方法以及季节调整。

3. 平稳性在时间序列分析中的作用#

弱平稳性使均值、方差和自协方差可以使用不依赖具体时点的参数表示，从而能够利用历史样本估计相对稳定的动态关系。对于非平稳序列，需要根据非平稳来源采用去趋势、差分、单位根模型或协整模型等方法处理。

1. 时间序列分析#

时间序列分析（Time-series Analysis）：利用按时间顺序取得的观测数据，对随机过程的统计特征和动态结构进行识别、估计、检验、解释与预测的方法体系。

基本分析过程包括数据整理、模型识别、参数估计、模型诊断以及应用。

2. 数据整理与初步分析#

时间序列样本首先应统一变量定义、计量单位、数据频率和样本区间，并处理缺失值、停牌、节假日、异常值以及必要的价格复权。

描述统计和时序图用于检查趋势、季节性、极端值、结构变化和波动聚集。图形分析属于模型识别的辅助步骤，不构成统计结论。

3. 模型识别、参数估计与模型诊断#

模型识别（Model Identification）：根据理论约束和样本动态特征，确定候选模型类别、滞后阶数及其他结构形式的过程。

参数估计（Parameter Estimation）：利用样本数据对模型中的未知参数进行估计的过程。

残差（Residual）：在参数估计完成后，观测值与模型拟合值之差。对条件均值模型，通常记为 $\hat\varepsilon_t:=y_t-\hat y_t$。残差是不可观测创新的样本估计结果，二者不能混用。

模型诊断（Model Diagnostics）：利用残差、稳定性条件和其他统计检验考察已估计模型是否仍存在未解释系统结构的过程。

时间序列建模的基本顺序为：

若残差仍存在显著序列相关，说明条件均值模型仍保留可系统解释的线性动态信息；若模型不满足稳定性条件，则其长期动态性质需要重新检验。

4. 样本内与样本外评价#

样本内评价（In-sample Evaluation）：使用参与模型估计的样本对模型拟合结果进行评价。

样本外评价（Out-of-sample Evaluation）：使用未参与模型估计、且在预测时点之后取得的数据评价模型预测性能。

若样本覆盖 $t=1,\ldots,T$，可划分为：

• 估计样本：$1,\ldots,T_0$。
• 评价样本：$T_0+1,\ldots,T$。

时间序列样本外评价必须遵守信息时序，预测 $t+h$ 期变量时不得使用在预测时点尚不可得的信息。

1. 时间序列预测#

时间序列预测（Time-series Forecasting）：根据预测时点已经获得的信息，对未来随机变量的条件分布、条件均值或其他统计量进行推断。

以条件均值预测为例，$t$ 时点对 $Y_{t+h}$ 的预测对象为：

时间序列预测成立的基本统计依据，是数据生成过程在估计期与预测期之间具有足够稳定的动态结构。若模型参数、分布或相关结构发生显著变化，历史估计结果的预测有效性会下降。

2. 自身动态预测与多变量预测#

一元动态模型主要使用变量自身的历史信息：

多变量模型还可以使用其他变量的当前或滞后信息：

预测模型允许利用统计上的先行关系，但预测能力本身不构成因果识别。

3. 预测关系与因果解释#

预测关系（Predictive Relationship）：在给定既有信息后，加入某一变量的信息能够改善另一变量未来值预测的统计关系。

因果解释（Causal Interpretation）：把变量变化解释为另一变量变化原因的结构性结论，需要额外的外生性条件、识别假设或实验设计支持。

因此，时间先后关系和样本预测能力均不能单独证明因果关系。