预测理论与应用

1. 预测信息集与预测期距#

预测信息集（Information Set）：在时点 $T$ 进行预测时，预测者能够使用的全部信息所生成的 $\sigma$-代数，记为 $\mathcal F_T$。单变量信息可以简写为 $\mathcal I_T=\{y_T,y_{T-1},\ldots,y_1\}$，严格写法为 $\mathcal F_T=\sigma(Y_s:s\leq T)$；若模型还使用 $X_t$，则 $\mathcal F_T=\sigma(Y_s,X_s:s\leq T)$。

预测期距（Forecast Horizon）：预测目标时点与信息集截止时点之间的离散期数，记为 $h$。在时点 $T$ 对 $Y_{T+h}$ 的预测称为 $h$ 期预测；$h=1$ 是一步预测，$h>1$ 是多步预测。$h$ 必须结合数据频率解释。

图中的左侧路径只使用 $\mathcal F_T$ 内已经观测的值；越过预测原点后，条件均值逐步回到长期均值，而预测区间随 $h$ 扩张。这一区分适用于后文的 MA、AR 递推预测。

2. 损失函数与最优预测#

预测误差（Forecast Error）：实际未来值与点预测值之差：

最优预测（Optimal Forecast）：在给定信息集和损失函数下，使条件期望损失最小的决策值：

平方损失 $L(y,a)=(y-a)^2$ 下，最优点预测是条件均值：

绝对损失对应条件中位数，分位数损失对应相应条件分位数，因此条件期望只是在平方损失下的最优预测。在平方损失和正确指定的信息集下：

点预测描述条件分布的位置；预测区间还必须描述未来值的离散程度。

1. 线性时间趋势模型#

线性时间趋势模型（Linear Time-trend Model）：用时间索引解释序列条件均值的回归模型：

$t$ 是时间索引，$c$ 是截距，$\beta$ 是单位时间的条件均值变化量，$\varepsilon_t$ 是扰动项。$\beta$ 的符号决定趋势方向；趋势回归后的残差仍需进行自相关和方差诊断。

令 $x_{T+h}=(1,T+h)'$，OLS 点预测为：

2. 均值置信区间与新观测预测区间#

在线性回归误差独立同分布、正态且方差为 $\sigma^2$ 的教学设定下，设设计矩阵为 $X$、残差标准差为 $\widehat\sigma$、自由度为 $\nu$。条件均值的标准误为：

新观测预测区间还要加入未来扰动：

因此，$\widehat y\pm1.96\widehat\sigma$ 只是在忽略参数估计误差并采用正态临界值时的简化近似，不能作为一般的回归预测区间。

3. 中国总人口趋势拟合#

课件给出的 1952—2012 年总人口趋势回归包含 61 个观测值。本文将 TIME 明确解释为索引变量：1952 年取 $t=1$，2012 年取 $t=61$。课件报告的估计式为：

报告结果包括 $R^2=0.991759$、回归标准误 $2335.205$，以及 Durbin—Watson 统计量 $0.045631$。若 2013 年的索引为 $t=62$，点预测为：

该数值与 TPEOPLE 使用相同单位；课件转写未给出单位，不能将其擅自解释为“万人”或“人”。$DW=0.045631$ 显示残差有很强的正相关，因而 $\widehat y\pm1.96\widehat\sigma$ 不能作为严格的 95% 预测区间。线性外推还忽略人口政策、迁移和统计口径变化带来的结构不确定性。

1. MA(q) 模型与创新#

MA(q) 模型（Moving-average Model of Order q）：当前序列由当前及前 $q$ 期创新的有限线性组合构成的模型：

$\mu$ 是均值，$\theta_j$ 是 MA 系数，$\varepsilon_t$ 是创新。白噪声只要求零均值、不相关和有限方差；正态性是额外条件。实际估计时，历史创新用拟合残差 $\widehat\varepsilon_t$ 近似。

2. MA(q) 的点预测与误差方差#

在 $\mathcal F_T$ 下，未来创新的条件期望为零。对 $1\le h\le q$：

若 $h>q$，点预测回到均值：

令 $\theta_0=1$，则：

预测误差方差为 $\operatorname{Var}(e_{T+h\mid T}\mid\mathcal F_T)=\sigma^2\sum_{j=0}^{\min(h-1,q)}\theta_j^2$。

同样的推导可写成有限或无限阶 MA 表示。若 $Y_t=\mu+\sum_{j=0}^{\infty}b_j\varepsilon_{t-j}$， 则：

有限阶 MA(q) 只是 $b_j=0$（$j>q$）的特殊情形。

$h>q$ 时，误差方差达到 $\sigma^2(1+\theta_1^2+\cdots+\theta_q^2)$。高斯创新且参数视为已知时，95% 预测区间可写为：

3. MA(3) 通货膨胀率例题#

设：

根据实际值减预测值得到历史残差：

以 2019 年末为信息集截止时点：

2023 年及以后点预测为 $100$。由于 $\sigma=5$，95% 正态近似预测区间为：

1. AR(1) 的一步与多步预测#

AR(1) 模型（First-order Autoregressive Model）：当前序列由上一期序列值和当期创新共同决定的模型：

当 $\lvert\alpha\rvert<1$ 时，稳定均值为 $\mu=c/(1-\alpha)$。一步预测为：

多步预测递推为：

其封闭形式为：

因此稳定 AR(1) 的预测值收敛于 $\mu$；$\alpha<0$ 时会出现符号交替的阻尼振荡。

2. AR(1) 预测误差与区间#

预测误差方差随 $h$ 增大并收敛于 $\sigma^2/(1-\alpha^2)$；不确定性增加但存在稳定上限。若 $\alpha=1$，则 $\sigma_h^2=h\sigma^2$，不能套用稳定模型的长期方差。高斯创新、参数已知时，95% 预测区间为：

曲线取 $\theta=(-0.8,0.6,-0.2)$、$\alpha=0.8$ 且创新标准差归一化为 1 的理论值。MA(3) 的预测标准差在有限期后达到平台，稳定 AR(1) 逼近长期上限，而随机游走的 $\sqrt h$ 路径持续增长。

3. AR(p) 与格林函数#

AR(p) 模型（Autoregressive Model of Order p）：当前值由前 $p$ 期值和当期创新决定的模型：

稳定模型的均值为 $\mu=c/(1-\phi_1-\cdots-\phi_p)$。令 $X_t=Y_t-\mu$，滞后多项式为：

格林函数（Green’s Function）：表示一次创新对当前及未来序列影响的系数序列 $\{\psi_j\}_{j\ge0}$，满足：

因此 $X_t=\sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j}$。例如：

稳定条件下，$\psi_j$ 描述的冲击影响逐渐衰减。理论上的 $h$ 期预测和误差分别为：

实际计算通常直接递推 AR(p) 方程；历史创新使用估计残差。

4. AR(2) 消费者物价指数例题#

设：

2020 年 1—3 月观测值为 $101$、$96$ 和 $97.2$。以 3 月为信息集截止时点：

格林函数前几项为 $\psi_0=1$、$\psi_1=0.6$、$\psi_2=0.66$，故：

在参数已知且创新正态的条件下：

1. 静态预测与动态预测#

静态预测（Static Forecast）：每一步进行一步预测，并在下一步使用实际已知的滞后观测值。动态预测（Dynamic Forecast）：从预测起点开始，后续期使用前面已经得到的预测值替代未知实际滞后值。

两者回答的问题不同。真实值尚未出现的未来区间只能生成预测，不能计算预测误差和样本外准确率。

图中的静态路径在每一步重新使用实际滞后值，动态路径从 $T$ 起改用前一期预测值；因此二者的差异是信息可得性差异，不是两个不同的结构方程。

2. 对数差分模型的水平预测#

人口案例中的方程为：

其因变量是 $\Delta\ln P_t$，不是人口水平 $P_t$。动态预测必须先累加：

中位数意义下的水平预测为：

若对数水平预测误差近似正态，目标是条件均值，则需要偏差修正：

其中 $\widehat V_h$ 是对数水平预测误差方差。不能把差分对数的预测值直接命名为人口水平预测。

1. 评价样本与滚动原点#

样本外评价（Out-of-sample Evaluation）：在估计样本之外，用已知实际值与预测值比较模型预测能力的过程。设测试区间为 $t=T+1,\ldots,T+H$：

评价只能使用预测时点已经可获得的信息。常用方式如下：

持久性、样本均值或季节性预测可以作为基准。复杂模型只有在同一测试窗口上相对基准降低误差，才说明其预测增益。

2. 点预测误差指标#

均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）：

平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）：

RMSE 对大误差权重更高；MAE 对异常大误差更稳健。两者只有在同一变量、同一单位和同一测试窗口下才适合比较。

平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）：

当 $y_t=0$ 时 MAPE 不定义；当 $y_t$ 接近零时会严重放大误差。对收益率、利差等接近零或可取负值的金融变量，不能机械使用 MAPE，也不能跨量纲比较。

3. Theil’s U1 与误差分解#

Theil 不等系数 U1（Theil’s Inequality Coefficient U1）：

分母为正时 $0\le U_1\le1$，完全拟合时为 0。令 $\bar{\widehat y}$、$\bar y$ 为均值，$s_{\widehat y}$、$s_y$ 为同一归一化方式计算的标准差，$r$ 为相关系数，则：

因此偏差比、方差比和协方差比为：

三者之和为 1。偏差比反映均值偏离，方差比反映波动幅度偏离，协方差比表示剩余非系统误差；分解不能替代 RMSE、MAE 或具体决策损失。

4. 预测评价表的口径检查#

使用课件人口案例中的评价表前，应检查：

1. Forecast 与 Actual 是否使用相同变换和单位；
2. 评价窗口内的实际值是否在预测时点已经可获得；
3. 动态或静态方式是否与研究问题一致；
4. 调整后的样本区间是否等于预测值与实际值的共同可用区间。

2013—2015 年若只有人口预测而没有实际观测，只能保存预测值和标准误，不能计算 RMSE、MAE、MAPE 或 Theil 指标。对数差分模型也必须先将预测和实际值还原到相同水平口径，再进行水平预测评价。