交易成本与组合实施

1. 从目标持仓到交易订单#

目标持仓（Target Holding）：在给定预测、风险、成本和投资约束下，组合决策希望达到的交易后头寸。实际持仓（Actual Holding）：由已成交订单、价格变化和资金流形成的当前头寸。组合优化决定最终持仓，执行优化决定如何从实际持仓接近它；成本又取决于执行方式，两项决策需要使用一致的流动性与期限假设。¹

设决策时点为 $t$，交易前和目标总权重分别为 $\mathbf w_t^{pre},\mathbf w_t^{tgt}\in\mathbb R^{N\times1}$。权重交易量为

$q_{i,t}>0$ 表示买入，负值表示卖出。交易前权重已经包含价格漂移和资金流，不能直接用相邻目标权重相减。无外部现金流且使用完整资产集合时，漂移关系为

$w_{i,t-1}^{post}$ 是上次成交后的权重，$r_{i,t}$ 是其后至本次交易前的简单总收益率；公司行动、现金分配和股票池变化须先统一处理。组合换手只汇总交易规模，不能区分不同股票、参与率与执行路径的成本。

2. 费用分类与成本函数#

交易成本（Transaction Cost）：实施投资决策使实际财富相对同一基准下无摩擦纸面财富发生的差额。事前成本是条件估计，事后差额受价格冲击影响，不必为正。

按能否直接记账，交易成本分为两类：

• 显性成本（Explicit Cost）：佣金、交易税费和结算费用等直接支出。
• 隐性成本（Implicit Cost）：成交价格和成交进度偏离无摩擦基准造成的损失，包括价差、市场冲击、延迟与未成交机会损失。²

买卖价差成本（Bid–ask Spread Cost）：主动成交价相对同时点买卖中间价的不利差额。在报价不变、按最优报价足量成交的简化下，一次主动买入或卖出承担半价差，立即往返承担整个价差。

市场冲击（Market Impact）：订单本身改变价格路径的部分。它需要与“没有该订单时”的反事实比较；成交后价格变动还可能来自共同市场消息，不能全部归为冲击。机会成本（Opportunity Cost）：延迟或未成交使实际头寸偏离纸面头寸而产生的收益差额；价格有利变动可使其事后为负。

用同一组合净值作分母，一期成本的局部近似为

$\boldsymbol\theta\in\mathbb R^{N\times1}$ 是每单位成交额的比例成本，逐项非负；$\boldsymbol\Psi\in\mathbb R^{N\times N}$ 是对称半正定冲击矩阵，将权重平方换算为组合收益率损耗。非对角项描述交叉冲击，不能直接拿收益相关系数代替。二次函数是便于优化的近似，不是所有交易规模下的经验定律。

若股票价格为 $P_i$，每股佣金为 $k_i$、完整报价价差为 $s_i$，则比例系数为 $\theta_i=(k_i+s_i/2)/P_i$。按股收费属于比例成本；按每张订单收取固定金额的费用可写为 $F_i\mathbf1_{\{q_i\ne0\}}$，其中 $F_i$ 是该笔固定费用除以组合净值后的费率；这通常需混合整数或其他非凸处理，不能与绝对值线性成本混称。

自拟例：统一分母。 买入金额占净值的 $5\%$，成交额成本率为 $20\text{ bp}$，组合损耗为 $5\%\times20\text{ bp}=1\text{ bp}$。若另有等额卖单且费率相同，合计损耗为 $2\text{ bp}$。这里 $100\text{ bp}=1\%$，成本不因买卖净额为零而消失。

3. 决策价、到达价与实施差额#

实施差额（Implementation Shortfall, IS）：投资决策按决策价立即足额成交的纸面财富减去实际执行财富，包含已成交价格差、未成交机会损失和显性费用。²

在同币种、忽略期间股息和融资的单笔母单中，设绝对订单数量为 $Q>0$，买卖方向为 $d\in\{1,-1\}$，决策价为 $p_0$，成交数量、价格为 $Q_j,p_j$，截止评价价为 $p_T$，显性费用为 $F$。未成交数量 $Q_u=Q-\sum_jQ_j\ge0$，则

各成交量取非负数，方向只通过 $d$ 处理。除以 $Qp_0$ 得母单成本率，除以决策时组合净值才得到组合收益率拖累。

若订单到达市场时的价格为 $p_a$，已成交部分还可分解为

第一项衡量已成交数量对应的决策至到达延迟，第二项衡量到达后的成交滑点；后者仍不全是因果冲击。决策价、到达价和评价时点应事前固定，不能事后选择更有利的基准。

自拟例：部分成交。 买入 $1{,}000$ 股，决策价 100 元；800 股以 100.20 元成交，截止价 100.50 元，费用 20 元，则

母单成本为 $28\text{ bp}$，其中未成交损失为 100 元。只保留成交记录会漏掉这部分；要识别该偏差，必须保留原订单、取消、修改和部分成交记录。

1. 以增量效用统一成本决策#

设风险资产交易前权重为 $w_0$，其余资金配置现金，暂不限制卖空与杠杆。同一预测期限的现金超额收益预测为 $\alpha$、方差为 $\sigma^2>0$，风险惩罚系数为 $\lambda>0$。定义 $a=\lambda\sigma^2$，比例与二次成本系数分别为 $\theta,\psi\ge0$。所有预测都是决策时估计值，省略帽号只为简化公式。

交易后权重 $w=w_0+q$ 的目标为

展开二次项并减去不交易效用，得到

$m_0$ 是当前持仓的边际无成本效用，包含预测收益与边际风险惩罚；判断是否交易不能只比较 $|\alpha|$ 和费用。因为 $\Delta U(0)=0$，只要不交易仍可行，最优解的增量效用就不应为负。

2. 二次成本的连续收缩#

仅有二次成本时，令导数 $m_0-(a+2\psi)q$ 为零，可得

$\widetilde w$ 是无成本目标，收缩比例位于 $(0,1]$。$\psi\to0$ 恢复无成本交易，$\psi\to\infty$ 时交易趋近零。只要 $m_0\ne0$ 且 $\psi$ 有限，仍会有交易：二次成本在零交易处的边际成本为零，不会单独形成有宽度的不交易区。

3. 线性成本与软阈值#

不交易区（No-trade Region）：在给定风险与约束下，任何允许的小幅调仓均不足以补偿交易成本的一组状态。绝对值函数在零点不可微，其次梯度为 $[-1,1]$；混合成本的一阶最优性条件为

目标严格凹，因此该条件也是充分条件。分买入、零交易、卖出三种情况求解：

等价地，$q^*=\operatorname{sgn}(m_0)(|m_0|-\theta)_+/(a+2\psi)$，其中 $(v)_+=\max(v,0)$。线性成本决定是否跨过阈值，二次成本继续缩小阈值外的交易。由于二次成本在零点的导数为零，增加 $\psi$ 不改变此模型的不交易条件 $|m_0|\le\theta$。

仅有线性成本时，不交易条件也可写成 $|\widetilde w-w_0|\le\theta/a$。买入分支用 $\alpha-\theta$ 形成目标，卖出分支用 $\alpha+\theta$ 形成目标；不能对所有股票统一减去费用后直接优化。

图 12-1 固定 $a=0.20,\theta=0.005,\psi=0.05$，只改变无成本目标交易。纯线性模型的权重阈值为 $2.5$ 个百分点，纯二次模型的收缩比例为 $2/3$；参数均为自拟。

线性成本使阈值内交易精确为零，混合成本在阈值外进一步收缩。单资产无额外约束时，成本后的交易不会越过无成本目标或反转方向。

4. 净收益与净效用的数值比较#

自拟例：同一目标函数下比较。 取 $\alpha=0.03,a=0.20,w_0=0.10,\theta=0.005,\psi=0.05$，则 $m_0=0.01$，最优交易为

以下全部以组合净值的基点计量，并用同一混合成本评价，不把不同成本假设下的目标值直接比较。

最优方案的预测净收益为 $35-0.9722=34.0278\text{ bp}$；再扣风险惩罚才是净效用。机械执行无成本目标虽然预测净收益较高，却降低当前目标函数。若比例成本提高至 $\theta\ge0.01$，最优决策变为不交易；这些结果是给定参数的理论计算，不是未来收益保证。

1. 风险相关与交叉冲击#

固定本次决策的基准权重 $\mathbf w_b$，令主动权重 $\mathbf h=\mathbf w-\mathbf w_b$、交易前主动权重 $\mathbf h_0=\mathbf w^{pre}-\mathbf w_b$，则 $\mathbf q=\mathbf h-\mathbf h_0$。各向量均为 $N\times1$。设 $\boldsymbol\alpha$ 为同一期限的相对收益预测，$\boldsymbol\Sigma$ 为资产收益协方差矩阵，主动风险方差为 $\mathbf h'\boldsymbol\Sigma\mathbf h$。

成本系数 $\boldsymbol\theta\ge0$、对称半正定矩阵 $\boldsymbol\Psi$ 及 $\lambda>0$ 都在决策时给定。定义

净效用增量为

仅有二次成本且无额外约束时，一阶条件 $\mathbf H\mathbf q^*=\mathbf m$ 给出

$\mathbf H\succ0$ 保证唯一解；求解时优先用 Cholesky 等方法解线性方程，并检查条件数，而非显式求逆。风险与冲击矩阵都对角、且没有共同约束时，才能按股票独立使用单资产公式。

无约束解不自动满足资金中性。组合与基准均全额投资时应加入 $\mathbf1'\mathbf h=0$；一般线性约束和持仓边界沿用投资约束的总权重口径。仅多头要求 $\mathbf w_b+\mathbf h\ge0$，不要求主动权重非负。

2. 多资产不交易条件与买卖拆分#

无共同约束时，混合成本的最优性条件为

当 $q_i^*\ne0$ 时，$v_i=\operatorname{sgn}(q_i^*)$；当 $q_i^*=0$ 时，$v_i\in[-1,1]$。$\odot$ 表示逐项乘积。当前组合完全不交易的充要条件是所有 $|m_i|\le\theta_i$，但有交易时，其他资产通过 $\mathbf H\mathbf q$ 改变每只股票的边际效用，不能逐项独立软阈值。

若只有资金约束 $\mathbf1'\mathbf q=0$，且不交易可行，则不交易的充要条件改为：存在标量乘子 $\nu$，使所有 $|m_i-\nu|\le\theta_i$。投资限制已被突破时，零交易可能不可行，费用再高也不能直接套用不交易结论。

为使用标准凸二次规划，令非负买卖向量为 $\mathbf b,\mathbf s\in\mathbb R^{N\times1}$，并定义

$\mathbf u$ 为 $2N\times1$，$\mathbf P$ 为 $N\times2N$。相应目标为

增广 Hessian 为 $\mathbf P'\mathbf H\mathbf P\succeq0$。即使 $\mathbf H$ 正定，增广矩阵仍因同时增加等量买卖而奇异；这是冗余表示，不应任意修改交叉块来消除奇异性。

当 $\theta_i>0$，且限制只依赖净交易或允许减少买卖总量时，同时减少 $b_i,s_i$ 不改变持仓却降低成本，最优解自动满足 $b_is_i=0$。零费率时该表示可能不唯一，但可净额化为同一最优持仓；无需添加非凸互斥条件。

资金、单边换手和总权重边界可写为

$\tau$ 是买卖平衡、无外部现金流时的单边换手上限；$\mathbf l,\mathbf u_w$ 是总权重下上限。成本仍按买卖两侧实际成交量收取。现金用于支付费用时，精确资金平衡还需将费用计入现金腿；上述权重约束采用小额成本、冻结净值的近似。

3. 两资产再平衡与换手预算#

自拟例：共同资金约束。 两只股票的当前及基准权重都是 $50\%$，取

资金约束使交易只能为 $\mathbf q=(d,-d)'$。预测差为 $0.008$，买卖两腿的比例成本相加为 $0.003|d|$；风险与冲击合计二次项为 $0.2d^2$。因此

买入与卖出各占净值 $1.25\%$，目标权重为 $51.25\%,48.75\%$，双边成交量为 $2.5\%$。预测毛收益增量为 $1\text{ bp}$，比例费用、冲击成本和风险惩罚分别为 $0.375,0.15625,0.15625\text{ bp}$，净效用增加 $0.3125\text{ bp}$。

加入单边换手上限后，$d^*(\tau)=\min(\tau,0.0125)$。图 12-2 的每一点都重新求解同一净效用问题，风险惩罚系数固定，而非把实现风险固定在同一水平。

放宽预算提高最优净效用，超过 $1.25\%$ 后预算不再约束解；不应为用满预算而继续交易。高维问题中，单只股票的交易量、方向或名单不必随预算单调变化。

4. 不能预先锁定无成本买卖方向#

自拟反例：相关资产与异质费用。 在无资金约束、现金承接余量、二次成本为零的模型中，取

无成本交易为 $\mathbf H^{-1}\mathbf m=(0.02,-0.005)'$；计入线性成本后的最优交易却为 $(0,0.006)'$。代入可得边际剩余 $\mathbf m-\mathbf H\mathbf q=(0.00224,0.001)'$：第一项位于不交易带内，第二项等于买入费用，满足全部次梯度条件。

第二只股票由卖出变成买入。风险相关性使减少第一只股票的昂贵交易改变了第二只股票的对冲需求；“先按无成本解划分买卖，再锁定方向优化”可能排除真正最优解。正确解仍改善总体效用，但不保证每个坐标都与无成本交易同向。

5. 重复一期优化形成持仓递推#

为隔离成本的持久性作用，暂令基准、风险与成本不变，忽略期际价格漂移和资金流，并只保留二次成本。此时可用上一期持仓作为下一期交易前持仓。设

决策时预测记为 $\boldsymbol\alpha_t$，反复应用一期解得到

矩阵乘法不能交换，不能把所有 $\mathbf B$ 移至和式最左侧。若 $\lambda\boldsymbol\Sigma\succ0$ 且 $\boldsymbol\Psi\succeq0$，$\mathbf A$ 相似于 $\mathbf H^{-1/2}(2\boldsymbol\Psi)\mathbf H^{-1/2}$，其特征值位于 $[0,1)$，初值影响逐步消失。

成本使不同特征方向保留不同比例的旧持仓。若进一步用向量自回归描述预测序列，系数只能用已可得历史数据估计；还需检验旧信号与随后收益的滞后 IC。预测自身持久不等于旧信息仍有预测力，应与信号衰减和换手联合评价。

该递推是重复一期优化的结果，不是已经考虑未来信号、流动性和约束的多期动态规划。真实迭代必须恢复漂移后的交易前持仓，并在每期更新当时可得的预测、风险与费用版本。

1. 完成比例与实施风险#

执行路径（Execution Path）：在目标交易给定时，描述累计成交量随时间变化的函数。令带符号总交易为 $x\ne0$，时间区间为 $[0,T]$，累计完成比例为 $z(t)$，满足 $z(0)=0,z(T)=1$。实际相对目标的权重偏离为 $-x[1-z(t)]$；单向执行还要求 $\dot z(t)\ge0$，端点条件本身不保证单调。

在短执行期内冻结净值，假设无冲击的资产现金超额收益增量满足

$\mu$ 为单位时间条件收益预测，$\sigma^2$ 为单位时间方差，$W_t$ 为标准布朗运动。先讨论在期初确定的路径及常参数；独立增量使未完成头寸的累计损失方差可按时间积分。

记累计实施价格损失为 $S=\int_0^T x[1-z(t)]\,dR_t$，则

$\mu x>0$ 时延迟损失为正，买入上涨资产和卖出下跌资产都倾向加速；$\mu x<0$ 时该项奖励等待。实施风险衡量未完成头寸相对立即成交目标的偏离，不等于目标组合本身的风险。

2. 速度冲击与变分条件#

设瞬时冲击成本为 $\eta x^2\dot z^2$，其中 $\eta>0$ 是速度冲击系数，与一期成本系数 $\psi$ 不是同一个参数；$c|x|$ 为单位时间持续执行费用，$c\ge0$。目标为

$\lambda\ge0$ 是实施风险惩罚系数。各项积分后都是组合收益率或同尺度效用；时间单位改变时，$\mu,\sigma^2,c,\eta$ 必须一起换算。该连续时间模型只保留局部速度冲击，不包含价格恢复、随机流动性等全部微观结构。¹

$c|x|T$ 是随执行持续时间累积的费用假设，不是按股佣金的恒等式。若只有比例佣金，单向足额执行的费用为 $\theta|x|$，与 $T$ 无关，不能据此声称拆单必然增加佣金。

除以 $x^2$ 不改变最优解。令 $f_x=\mu/x,c_x=c/|x|$，归一化被积函数为

固定端点变分并分部积分：

固定 $T$ 时端点扰动为零。由 $L_z=-f_x+\lambda\sigma^2(z-1)$、$L_{\dot z}=2\eta\dot z$，得到

$s$ 的单位为时间的负二次方，$g$ 的单位为时间的负一次方。固定期限下 $c_xT$ 是常数，不影响路径。二次变分含 $\int[\lambda\sigma^2(\delta z)^2+2\eta(\delta\dot z)^2]dt>0$，故满足边界的驻值解是该无路径约束问题的唯一最小值。

3. 一般解、特例与单向约束#

当 $g>0$ 时，定义 $b=s/g^2$。由双曲函数齐次解和常数特解，端点解可写为

代入 $t=0,T$ 分别得到 0 和 1，二阶导数满足上述微分方程。三个退化情形为

只惩罚速度冲击时匀速最优；同向预测使交易前置，反向预测使交易后置；未完成风险使零预测路径前置。图 12-3 取 $T=1$，比较 $(s,g)=(0,0),(1.6,0),(-1.6,0),(0,4)$，均为满足单向条件的理论路径。

同一执行中点的完成比例可以不同，但所有可行路径必须完成同一笔订单；曲线前置并不代表最终持仓更大。

风险中性路径的速度为

它在整个区间非负的充要条件为 $|s|T^2\le2$。例如 $T=1,s=3,g=0$ 时，$z(5/6)=25/24>1$，结束速度为 $-1/2$，虽满足端点却隐含先多买再卖回。不能简单截断超额部分后称其仍为最优解；应把方向、参与率与持仓边界加入优化，或重新选择期限。

4. 实施成本—风险前沿#

在零预测 $s=0$、固定 $T$ 的路径族中，定义两个积分

$\coth u=\cosh u/\sinh u$，$\operatorname{csch}u=1/\sinh u$。由路径表达式平方并积分即可复算；当 $g\to0$ 时，$I_v\to1/T,I_r\to T/3$，计算时需处理双曲函数项的相消。

还原原始交易规模后，预期执行成本与实施标准差分别为

成本随 $x^2$ 缩放的冲击项不能与标准差随 $|x|$ 缩放混淆。图 12-4 取自拟参数 $x=0.05,T=1$ 个交易日、$\sigma=0.02/\sqrt{\text{交易日}}$、$\eta=0.001$（以交易日为时间单位）、$c=0$，仅改变 $g$，等价于改变风险惩罚系数。

匀速端点的冲击为 $0.025\text{ bp}$、实施标准差约 $5.7735\text{ bp}$。增加风险厌恶使执行更快、实施风险下降而冲击上升；这条前沿是执行路径的模型权衡，不是组合收益率的有效前沿。

1. 自由终点的横截条件#

仍以 $z(t)$ 表示完成比例，$x$ 为带符号订单，$\mu,\sigma^2,\lambda,\eta,c$ 分别为单位时间预测、方差、风险惩罚、速度冲击系数和持续费用。令 $f_x=\mu/x,c_x=c/|x|$，$s=f_x/(2\eta)$、$g^2=\lambda\sigma^2/(2\eta)$。

期限 $T$ 可变而终点 $z(T)=1$ 固定时，一阶端点扰动满足 $\delta z(T)=-\dot z(T)\delta T$。代回变分边界项，得到

在终点，未完成头寸及风险项为零，所以

正根来自单向执行约束，不是端点条件自动推出。该横截条件适用于内部、自由期限解；若期限卡在最短/最长限制上，或终点存在活跃路径约束，需相应的乘子条件。

将一般路径的终点速度代入，$g>0$ 时最优期限候选满足

求出正根后仍要检查全路径单调、参与率与目标值；一个代数根不等于已经验证可执行的全局最优。

2. 风险中性期限与订单规模#

当 $g=0$ 时，$1/T-sT/2=p$。若 $c_x+f_x\ge0$ 且分母为正，候选期限为

等式右边同时保留订单方向和 $\sqrt{|x|}$，不能把规模依赖写成 $|x|$。在 $\mu x\ge0$、至少一项等待成本为正，且限于单向执行而无其他限制时，该路径单调且期限有限；订单扩大或冲击系数上升延长期限，同向预测或持续费用提高缩短期限。

若 $c=0$ 且 $\mu x>0$，则

卖出订单分母同样应为正，不能不加方向地对负收益预测开平方。反向预测时还要检查存在性：若 $f_x<-c_x$，在起点长时间等待的单位时间目标为 $f_x+c_x<0$，无限延期能持续降低损失，模型不存在有限最优期限；此时应重新审查交易目标或加入真实期限限制。

仅有持续费用与冲击时，$s=g=0$，匀速路径的目标为

图 12-5 取 $x=0.05,\eta=0.001,c=0.00005$，以交易日计时、以组合净值计成本。最优期限为 1 个交易日，两项成本各为 $0.025\text{ bp}$。

期限过短时速度冲击主导，期限过长时持续费用主导。若同时令 $c=0$，成本只能随 $T\to\infty$ 趋近零，缺少有限最优；比例佣金常数本身不能修复这一退化情形。

3. 零预测但保留实施风险#

当 $s=0,g>0$ 时，终点速度为 $g/\sinh(gT)$，因此

$\operatorname{arsinh}$ 是反双曲正弦，不是 $1/\sinh$。保持其余原始参数不变，增加风险厌恶或资产方差缩短最优期限；$g\to0$ 时恢复上一小节的平方根期限。若 $c=0$，风险虽使路径在初期快速执行，精确完成终点仍只在 $T\to\infty$ 达到极限，不能把近乎完成误称为有限时刻足额完成。

1. 交易方向缩放后的组合目标#

设有交易股票的带符号订单为 $\mathbf x\in\mathbb R^{N\times1}$，删除 $x_i=0$ 的坐标，令 $\mathbf D_x=\operatorname{diag}(\mathbf x)$。完成比例为 $\mathbf z(t)$，满足 $\mathbf z(0)=\mathbf0,\mathbf z(T)=\mathbf1$；实际相对目标的偏离为 $-\mathbf D_x(\mathbf1-\mathbf z)$。

设 $\boldsymbol\mu$ 为单位时间条件收益预测，$\boldsymbol\Sigma$ 为单位时间资产收益协方差，$\boldsymbol\Gamma\succ0$ 为对称速度冲击矩阵，$\mathbf c\ge0$ 为逐资产持续费用系数，$\lambda\ge0$ 为实施风险惩罚。定义

$\boldsymbol\mu_x$ 为 $N\times1$，两个缩放矩阵均为 $N\times N$。这里 $c_x$ 是篮子总费用率，与单资产除以 $x^2$ 后的 $c/|x|$ 不同；本节不做该标量归一化。买卖方向进入协方差和冲击交叉项，费用却必须使用绝对交易量。

目标为

相应 Euler–Lagrange 方程为

高度相关的买卖腿可以相互抵消未完成风险，不同步成交会暂时失去这种对冲；流动性差异又可能要求不同速度。两个作用须放在同一篮子目标中，而非分别求每只股票的最优路径后拼接。

2. 广义特征模态与共同期限#

在 $\lambda>0,\boldsymbol\Sigma_x\succ0$ 时，常数特解为

特解的预测项为正号，且它本身不满足起终点；还需加入齐次解。为避免对非对称乘积直接作正定性判断，求对称广义特征问题

令 $\mathbf V$ 的列为 $\mathbf v_j$，$\mathbf z-\mathbf z_p=\mathbf V\mathbf y$，则每个模态满足 $\ddot y_j-g_j^2y_j=0$。其端点由 $\mathbf V\mathbf y(0)=-\mathbf z_p$、$\mathbf V\mathbf y(T)=\mathbf1-\mathbf z_p$ 确定，解为

因此组合可以按风险—流动性模态分解，但一般不能按股票分解。协方差奇异、$\lambda=0$ 或存在零模态时，应直接求边值问题或处理零模态极限，不套用不存在的逆矩阵。

允许所有订单共享一个自由期限时，内部终点条件为

此处必须用按交易规模缩放的冲击矩阵。它是一个篮子的标量条件，不是每只股票分别满足一条独立期限公式；不同结束时间和完成后的费用停止规则需要另建模型。

3. 中途约束与离散可行执行#

设执行前总权重为 $\mathbf w^{pre}$，线性暴露矩阵为 $\mathbf E\in\mathbb R^{N\times K}$，希望执行中始终保持 $\mathbf E'\mathbf w=\mathbf b$。在冻结权重计量基数的近似下，路径约束为

起点和目标必须先满足该约束；若二者暴露本就不同，就不能要求全过程保持同一个等式。资金中性用单位向量，beta 中性用 beta 向量，二者不是同一约束；计入费用与随机价格后，还要重新计算现金和实际暴露。

自拟例：终点平衡不代表中途平衡。 买入和卖出各占净值 $5\%$，两只股票 beta 都为 1。若执行中点买单完成 $75\%$、卖单完成 $25\%$，新增净权重及 beta 暴露均为

终点虽买卖平衡，中点仍产生 $2.5$ 个百分点暴露。这个例子只隔离两腿不同步的后果，不是最优执行回测。

固定期限可划分为 $M$ 段，段长 $\Delta t=T/M$，网格完成比例为 $\mathbf z_k$。对连续目标作左端点近似，速度项使用差分：

加入 $\mathbf z_0=\mathbf0,\mathbf z_M=\mathbf1$、逐项 $\mathbf z_{k+1}\ge\mathbf z_k$、每段成交量上限和网格暴露限制，得到凸二次规划。网格越细，连续近似通常越准确，但必须检查收敛；在固定系数、分段线性路径下，网格等式约束可延伸至段内，随机价格下仍需实时校核。整数手数、固定票据费用和限价成交概率不属于这个连续凸近似的自动保证。

4. 预测净收益、实现收益与模型反馈#

在决策时点 $t$，设优化后的主动权重为 $\mathbf h_t^{tgt}$，指定持有期的 alpha 预测为 $\widehat{\boldsymbol\alpha}_{t+1\mid t}$。将交易、融资借券和延迟损失按互不重叠的口径估计，得到

它是预测净收益，不是扣除风险惩罚后的效用，也不是未来一定实现的主动收益。若执行模型已经把延迟和冲击合计为同一成本，就不能再分别重复扣除；完整 IS 也不能在已经按实际成交价格和费用记账的净值上再减一次。

成本参数应由截至当时可得的母单、子单、成交、未成交和报价数据滚动校准，在后续独立区间比较预测成本与实现 IS。订单规模、买卖方向、波动、流动性和参与率应采用事前可得口径；不能用全日最终成交量安排早盘交易，也不能只在成功成交样本中验证成本模型。

实现主动收益按实际组合与同期间基准之差计算，再将偏差分解为预测误差、风险暴露、投资约束、执行损失及其他冲击。若实施成本随订单规模或市场状态持续偏离预测，反馈应进入下一次目标持仓和执行参数，而不是事后修改历史预测或删除未成交订单。