第一节 权重约束与行业内外分解# 1. 总权重、主动权重与可行集# 投资组合约束（Portfolio Constraint） ：对持仓、风险暴露或交易施加的可验证限制。全部限制共同确定优化器能够选择的可行集（Feasible Set） 。
决策时点 t t t N × 1 N\times1 N × 1
h t = w t − w b , t , r A , t + 1 = h t ′ r t + 1 . \mathbf h_t=\mathbf w_t-\mathbf w_{b,t},
\qquad
r_{A,t+1}=\mathbf h_t^{\prime}\mathbf r_{t+1}. h t = w t − w b , t , r A , t + 1 = h t ′ r t + 1 . N N N r t + 1 \mathbf r_{t+1} r t + 1 r A , t + 1 r_{A,t+1} r A , t + 1 t t t
主动资金中性（Dollar Neutrality） ：主动权重和为零，即 1 ′ h = 0 \mathbf1^{\prime}\mathbf h=0 1 ′ h = 0
仅多头约束（Long-only Constraint） ：每只股票的总权重非负。持仓区间约束（Range Constraint） ：每只股票的持仓必须落在指定上下界之间。两者转换到主动权重后分别为
w i ≥ 0 ⟺ h i ≥ − w b , i , w ‾ i ≤ w i ≤ w ‾ i ⟺ w ‾ i − w b , i ≤ h i ≤ w ‾ i − w b , i . w_i\geq0\iff h_i\geq-w_{b,i},
\qquad
\underline w_i\leq w_i\leq\overline w_i
\iff
\underline w_i-w_{b,i}\leq h_i\leq\overline w_i-w_{b,i}. w i ≥ 0 ⟺ h i ≥ − w b , i , w i ≤ w i ≤ w i ⟺ w i − w b , i ≤ h i ≤ w i − w b , i . w ‾ i , w ‾ i \underline w_i,\overline w_i w i , w i h i < − w b , i h_i<-w_{b,i} h i < − w b , i w b , i = 0 w_{b,i}=0 w b , i = 0
2. 行业中性与其他暴露约束# 行业中性（Sector Neutrality） ：每个行业的主动权重和为零，使组合的行业资金权重与基准一致。允许行业主动权重落在窄区间内属于行业偏离限制，不是严格中性。
市场 beta 中性（Market-beta Neutrality） ：主动组合的市场 beta 暴露为零，即 β ′ h = 0 \boldsymbol\beta^{\prime}\mathbf h=0 β ′ h = 0 β \boldsymbol\beta β
把所需预算与暴露列组成 A ∈ R N × K \mathbf A\in\mathbb R^{N\times K} A ∈ R N × K A ′ h = 0 \mathbf A^{\prime}\mathbf h=\mathbf0 A ′ h = 0 K K K
前面各章形成的 alpha 预测和风险模型是组合构建的输入；行业去均值只是信号变换，不保证最终持仓中性。只有在相应映射保留行业内零和结构时，两者才一致。经过异方差缩放、协方差加权或持仓限制后，仍须直接检查 A ′ h \mathbf A^{\prime}\mathbf h A ′ h
3. 选股收益与行业配置收益# 设 r ˉ s \bar r_s r ˉ s s s s H s = ∑ i ∈ s h i H_s=\sum_{i\in s}h_i H s = ∑ i ∈ s h i
r A = ∑ s ∑ i ∈ s h i ( r i − r ˉ s ) + ∑ s H s r ˉ s . \begin{aligned}
r_A
&=\sum_s\sum_{i\in s}h_i(r_i-\bar r_s)
+\sum_s H_s\bar r_s.
\end{aligned} r A = s ∑ i ∈ s ∑ h i ( r i − r ˉ s ) + s ∑ H s r ˉ s . 第一项度量相对行业代表收益的选股贡献，第二项度量行业配置贡献。改变行业代表收益的定义会改变两部分的归属，但不改变加总；严格行业中性使第二项为零。该恒等式不意味着中性化必然增加收益。1
预测评价还可以分解风险调整后预测与实现收益的内积。令 F s i F_{si} F s i R s i R_{si} R s i N s N_s N s F ˉ s , R ˉ s \bar F_s,\bar R_s F ˉ s , R ˉ s
∑ s ∑ i F s i R s i = ∑ s ∑ i ( F s i − F ˉ s ) ( R s i − R ˉ s ) + ∑ s N s F ˉ s R ˉ s . \begin{aligned}
\sum_s\sum_i F_{si}R_{si}
&=\sum_s\sum_i(F_{si}-\bar F_s)(R_{si}-\bar R_s)
+\sum_sN_s\bar F_s\bar R_s.
\end{aligned} s ∑ i ∑ F s i R s i = s ∑ i ∑ ( F s i − F ˉ s ) ( R s i − R ˉ s ) + s ∑ N s F ˉ s R ˉ s . 行业内一项衡量相对选股，行业间一项保留行业均值预测。令 π s = N s / N \pi_s=N_s/N π s = N s / N F ˉ , R ˉ \bar F,\bar R F ˉ , R ˉ
∑ s N s F ˉ s R ˉ s = N [ Cov π ( F ˉ s , R ˉ s ) + F ˉ R ˉ ] . \sum_sN_s\bar F_s\bar R_s
=N\left[\operatorname{Cov}_{\pi}(\bar F_s,\bar R_s)+\bar F\bar R\right]. s ∑ N s F ˉ s R ˉ s = N [ Cov π ( F ˉ s , R ˉ s ) + F ˉ R ˉ ] . Cov π \operatorname{Cov}_{\pi} Cov π π s \pi_s π s
自拟教学例题：选股正确而行业方向错误。 两个行业各有两只股票，直接用原始收益、预测分数和资金中性权重 h i = 0.01 F i h_i=0.01F_i h i = 0.01 F i
行业 股票 分数 F i F_i F i 随后收益 r i r_i r i 甲 A − 2 -2 − 2 4 % 4\% 4% 甲 B 0 0 0 6 % 6\% 6% 乙 C 0 0 0 − 6 % -6\% − 6% 乙 D 2 2 2 − 4 % -4\% − 4%
两个行业的分数均值为 − 1 , 1 -1,1 − 1 , 1 5 % , − 5 % 5\%,-5\% 5% , − 5%
选股贡献 = 0.01 × 0.04 = 0.04 % = 4 bp , 行业贡献 = 0.01 × ( − 0.20 ) = − 0.20 % = − 20 bp , r A = − 16 bp . \begin{aligned}
\text{选股贡献}&=0.01\times0.04=0.04\%=4\text{ bp},\\
\text{行业贡献}&=0.01\times(-0.20)=-0.20\%=-20\text{ bp},\\
r_A&=-16\text{ bp}.
\end{aligned} 选股贡献 行业贡献 r A = 0.01 × 0.04 = 0.04% = 4 bp , = 0.01 × ( − 0.20 ) = − 0.20% = − 20 bp , = − 16 bp . 行业去均值后的分数为 ( − 1 , 1 , − 1 , 1 ) (-1,1,-1,1) ( − 1 , 1 , − 1 , 1 ) 4 bp 4\text{ bp} 4 bp
4. 截面离散度与跨期风险不是同一对象# 给定非负截面权重 p i p_i p i ∑ i p i = 1 \sum_i p_i=1 ∑ i p i = 1 P s = ∑ i ∈ s p i > 0 P_s=\sum_{i\in s}p_i>0 P s = ∑ i ∈ s p i > 0 R ˉ s = ∑ i ∈ s p i R i / P s \bar R_s=\sum_{i\in s}p_iR_i/P_s R ˉ s = ∑ i ∈ s p i R i / P s R ˉ = ∑ i p i R i \bar R=\sum_i p_iR_i R ˉ = ∑ i p i R i
∑ i p i ( R i − R ˉ ) 2 = ∑ s ∑ i ∈ s p i ( R i − R ˉ s ) 2 + ∑ s P s ( R ˉ s − R ˉ ) 2 . \sum_i p_i(R_i-\bar R)^2
=\sum_s\sum_{i\in s}p_i(R_i-\bar R_s)^2
+\sum_s P_s(\bar R_s-\bar R)^2. i ∑ p i ( R i − R ˉ ) 2 = s ∑ i ∈ s ∑ p i ( R i − R ˉ s ) 2 + s ∑ P s ( R ˉ s − R ˉ ) 2 . 前一项是行业内离散度，后一项是行业间离散度；等权时 p i = 1 / N p_i=1/N p i = 1/ N
选股与行业配置形成的两条主动收益序列若记为 a t s t o c k , a t s e c t o r a_t^{stock},a_t^{sector} a t s t oc k , a t sec t or
Var ( a t s t o c k + a t s e c t o r ) = Var ( a t s t o c k ) + Var ( a t s e c t o r ) + 2 Cov ( a t s t o c k , a t s e c t o r ) . \operatorname{Var}(a_t^{stock}+a_t^{sector})
=\operatorname{Var}(a_t^{stock})+\operatorname{Var}(a_t^{sector})
+2\operatorname{Cov}(a_t^{stock},a_t^{sector}). Var ( a t s t oc k + a t sec t or ) = Var ( a t s t oc k ) + Var ( a t sec t or ) + 2 Cov ( a t s t oc k , a t sec t or ) . 不能因为截面去均值就删除跨期协方差。评价行业中性应分别估计两条收益序列的均值、风险和依赖，随后在相同风险、股票池与成本口径下比较组合。行业内有效的价值或反转规则未必能预测行业轮动；这种能力差异需要单独的样本外证据。
第二节 基准集中度与卖空空间# 1. 基准权重的可复现模型# 基准集中度（Benchmark Concentration） ：基准总权重集中于少数成分股的程度。它会改变仅多头下每只股票能够低配的幅度，但不直接说明这些股票的预测技能。
用 N N N
p i = 1 − i − 0.5 N , z i = Φ − 1 ( p i ) , v i = exp ( c z i ) , w b , i = v i ∑ j v j . \begin{aligned}
p_i&=1-\frac{i-0.5}{N},\qquad z_i=\Phi^{-1}(p_i),\\
v_i&=\exp(cz_i),\qquad
w_{b,i}=\frac{v_i}{\sum_jv_j}.
\end{aligned} p i v i = 1 − N i − 0.5 , z i = Φ − 1 ( p i ) , = exp ( c z i ) , w b , i = ∑ j v j v i . Φ \Phi Φ c ≥ 0 c\geq0 c ≥ 0 i i i c = 0 c=0 c = 0 c c c
归一化保证 ∑ i w b , i = 1 \sum_iw_{b,i}=1 ∑ i w b , i = 1 ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
2. 无约束解何时要求实际卖空# 固定当期预测后，最优权重是确定的；“形成空头的概率”描述重复信号情景中的结果。设无区间约束主动权重的边际分布为
h i ∼ N ( 0 , s i 2 ) , w i = w b , i + h i . h_i\sim N(0,s_i^2),\qquad w_i=w_{b,i}+h_i. h i ∼ N ( 0 , s i 2 ) , w i = w b , i + h i . s i s_i s i
h i = σ ∗ F i N σ i , s i = σ ∗ N σ i , E ( F i 2 ) = 1. h_i=\frac{\sigma_*F_i}{\sqrt N\,\sigma_i},
\qquad
s_i=\frac{\sigma_*}{\sqrt N\,\sigma_i},
\qquad E(F_i^2)=1. h i = N σ i σ ∗ F i , s i = N σ i σ ∗ , E ( F i 2 ) = 1. σ i > 0 \sigma_i>0 σ i > 0 σ ∗ \sigma_* σ ∗ E ( ∑ i σ i 2 h i 2 ) = σ ∗ 2 E(\sum_i\sigma_i^2h_i^2)=\sigma_*^2 E ( ∑ i σ i 2 h i 2 ) = σ ∗ 2
独立高斯分数不会自动满足资金中性。相同 σ i \sigma_i σ i N / ( N − 1 ) \sqrt{N/(N-1)} N / ( N − 1 ) s i s_i s i
给定上述高斯边际分布，实际卖空的概率为
P ( w i < 0 ) = Φ ( − w b , i s i ) . P(w_i<0)=\Phi\left(-\frac{w_{b,i}}{s_i}\right). P ( w i < 0 ) = Φ ( − s i w b , i ) . 基准权重越小，或允许的主动权重波动越大，越容易需要负总权重；基准外股票在对称连续分布下的概率为 50 % 50\% 50%
图 11-1 使用无量纲比值 w b , i / s i w_{b,i}/s_i w b , i / s i b i = w b , i b_i=w_{b,i} b i = w b , i
仅多头边界上方可行；基准权重相对主动权重波动越小，禁止卖空删除的负向表达空间越大。面板 B 是信号情景概率，不是市场中的实际卖空频率。
3. 空头概率、平均规模与长短敞口# 多头敞口（Long Exposure） ：所有正总权重之和，记为 L = ∑ i max ( w i , 0 ) L=\sum_i\max(w_i,0) L = ∑ i max ( w i , 0 ) 空头敞口（Short Exposure） ：所有负总权重绝对值之和，记为 S = ∑ i max ( − w i , 0 ) S=\sum_i\max(-w_i,0) S = ∑ i max ( − w i , 0 )
全额投资时，净敞口与总敞口分别满足
L − S = 1 , G = L + S = 1 + 2 S . L-S=1,\qquad G=L+S=1+2S. L − S = 1 , G = L + S = 1 + 2 S . G G G 长短比例（Long/Short Ratio） ：将多头和空头规模并列报告的持仓口径，例如 125/25 表示 L = 125 % L=125\% L = 125% S = 25 % S=25\% S = 25% 100 % 100\% 100% 150 % 150\% 150% L / S L/S L / S
在正态模型中，令 b = w b , i b=w_{b,i} b = w b , i s = s i s=s_i s = s i ϕ \phi ϕ
S ˉ i = E [ max ( − w i , 0 ) ] = − ∫ − ∞ − b ( b + x ) 1 s ϕ ( x / s ) d x = s ϕ ( b / s ) − b Φ ( − b / s ) . \begin{aligned}
\bar S_i
&=E[\max(-w_i,0)]\\
&=-\int_{-\infty}^{-b}(b+x)\frac1s\phi(x/s)\,dx\\
&=s\phi(b/s)-b\Phi(-b/s).
\end{aligned} S ˉ i = E [ max ( − w i , 0 )] = − ∫ − ∞ − b ( b + x ) s 1 ϕ ( x / s ) d x = s ϕ ( b / s ) − b Φ ( − b / s ) . 它不同于“已经处于空头状态时”的平均规模：
E [ − w i ∣ w i < 0 ] = S ˉ i Φ ( − b / s ) . E[-w_i\mid w_i<0]=\frac{\bar S_i}{\Phi(-b/s)}. E [ − w i ∣ w i < 0 ] = Φ ( − b / s ) S ˉ i . 条件均值不能直接跨股票相加充当整个组合的平均空头敞口，因为每只股票发生空头的概率不同。组合层面应相加无条件期望：
E ( S ) = ∑ i S ˉ i , E ( L ) = 1 + E ( S ) , E ( G ) = 1 + 2 E ( S ) . E(S)=\sum_i\bar S_i,\qquad E(L)=1+E(S),\qquad E(G)=1+2E(S). E ( S ) = i ∑ S ˉ i , E ( L ) = 1 + E ( S ) , E ( G ) = 1 + 2 E ( S ) . 期望加总不要求各股票独立；逐期净敞口等于 1 仍须由预算约束保证。
自拟教学计算。 取 N = 400 N=400 N = 400 σ ∗ = 2.5 % \sigma_*=2.5\% σ ∗ = 2.5% σ i = 25 % \sigma_i=25\% σ i = 25% s i = 0.5 % s_i=0.5\% s i = 0.5% 0.20 % 0.20\% 0.20%
P ( w i < 0 ) = Φ ( − 0.4 ) ≈ 34.46 % , S ˉ i ≈ 0.1152 % = 11.52 bp , E [ − w i ∣ w i < 0 ] ≈ 0.3344 % = 33.44 bp . \begin{aligned}
P(w_i<0)&=\Phi(-0.4)\approx34.46\%,\\
\bar S_i&\approx0.1152\%=11.52\text{ bp},\\
E[-w_i\mid w_i<0]&\approx0.3344\%=33.44\text{ bp}.
\end{aligned} P ( w i < 0 ) S ˉ i E [ − w i ∣ w i < 0 ] = Φ ( − 0.4 ) ≈ 34.46% , ≈ 0.1152% = 11.52 bp , ≈ 0.3344% = 33.44 bp . 11.52 bp 11.52\text{ bp} 11.52 bp 33.44 bp 33.44\text{ bp} 33.44 bp b = 0 b=0 b = 0 s / 2 π s/\sqrt{2\pi} s / 2 π s 2 / π s\sqrt{2/\pi} s 2/ π
4. 集中度、风险尺度与分数分布# 在相同 s > 0 s>0 s > 0
∂ S ˉ i ∂ b = − Φ ( − b / s ) , ∂ 2 S ˉ i ∂ b 2 = ϕ ( b / s ) s > 0 , ∂ S ˉ i ∂ s = ϕ ( b / s ) > 0. \frac{\partial\bar S_i}{\partial b}=-\Phi(-b/s),\qquad
\frac{\partial^2\bar S_i}{\partial b^2}=\frac{\phi(b/s)}s>0,\qquad
\frac{\partial\bar S_i}{\partial s}=\phi(b/s)>0. ∂ b ∂ S ˉ i = − Φ ( − b / s ) , ∂ b 2 ∂ 2 S ˉ i = s ϕ ( b / s ) > 0 , ∂ s ∂ S ˉ i = ϕ ( b / s ) > 0. 基准权重越大，负向观点越容易通过低配表达；凸性说明，在总权重固定、各股票 s s s
图 11-2 使用 N = 400 N=400 N = 400 25 % 25\% 25% c = 0 , 0.8 , 1.2 c=0,0.8,1.2 c = 0 , 0.8 , 1.2
集中度提高会使累计权重更快向头部聚集；相同风险尺度下，图示集中基准需要更多平均空头敞口。风险尺度为零时，全部曲线回到纯基准的 100 % 100\% 100%
正态尾部不是所有分数的通用性质。若标准化排名分数改为 F i ∼ U [ − 3 , 3 ] F_i\sim U[-\sqrt3,\sqrt3] F i ∼ U [ − 3 , 3 ] [ − a , a ] [-a,a] [ − a , a ] a = 3 s i a=\sqrt3s_i a = 3 s i b ≥ 0 b\geq0 b ≥ 0
P ( w i < 0 ) = { ( a − b ) / ( 2 a ) , 0 ≤ b < a , 0 , b ≥ a , S ˉ i = { ( a − b ) 2 / ( 4 a ) , 0 ≤ b < a , 0 , b ≥ a . P(w_i<0)=
\begin{cases}
(a-b)/(2a),&0\leq b<a,\\
0,&b\geq a,
\end{cases}
\qquad
\bar S_i=
\begin{cases}
(a-b)^2/(4a),&0\leq b<a,\\
0,&b\geq a.
\end{cases} P ( w i < 0 ) = { ( a − b ) / ( 2 a ) , 0 , 0 ≤ b < a , b ≥ a , S ˉ i = { ( a − b ) 2 / ( 4 a ) , 0 , 0 ≤ b < a , b ≥ a . 有界分数存在完全不需要卖空的阈值；正态模型在任意有限 b / s i b/s_i b / s i
第三节 区间约束的优化与最优性# 1. 风险惩罚与风险上限# 均值—方差优化（Mean–Variance Optimization） ：在预测收益与收益方差之间权衡，以给定可行集选择组合权重的决策模型。固定时点，将 alpha 预测 α ^ t + 1 ∣ t \widehat{\boldsymbol\alpha}_{t+1\mid t} α t + 1 ∣ t α ∈ R N × 1 \boldsymbol\alpha\in\mathbb R^{N\times1} α ∈ R N × 1
令 Σ ∈ R N × N \boldsymbol\Sigma\in\mathbb R^{N\times N} Σ ∈ R N × N h \mathbf h h A ∈ R N × K \mathbf A\in\mathbb R^{N\times K} A ∈ R N × K l , u \mathbf l,\mathbf u l , u λ > 0 \lambda>0 λ > 0
max h U ( h ) = α ′ h − λ 2 h ′ Σ h , s.t. A ′ h = 0 , l ≤ h ≤ u . \begin{aligned}
\max_{\mathbf h}\quad
U(\mathbf h)&=\boldsymbol\alpha^{\prime}\mathbf h
-\frac\lambda2\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h,\\
\text{s.t.}\quad
\mathbf A^{\prime}\mathbf h&=\mathbf0,\qquad
\mathbf l\leq\mathbf h\leq\mathbf u.
\end{aligned} h max U ( h ) s.t. A ′ h = α ′ h − 2 λ h ′ Σ h , = 0 , l ≤ h ≤ u . λ \lambda λ
只保留共同等式、不设持仓区间时，一阶条件给出
ν U = ( A ′ Σ − 1 A ) − 1 A ′ Σ − 1 α , h U = λ − 1 Σ − 1 ( α − A ν U ) . \begin{aligned}
\boldsymbol\nu_U
&=(\mathbf A^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf A)^{-1}
\mathbf A^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\alpha,\\
\mathbf h_U
&=\lambda^{-1}\boldsymbol\Sigma^{-1}
(\boldsymbol\alpha-\mathbf A\boldsymbol\nu_U).
\end{aligned} ν U h U = ( A ′ Σ − 1 A ) − 1 A ′ Σ − 1 α , = λ − 1 Σ − 1 ( α − A ν U ) . ν U \boldsymbol\nu_U ν U U U U
若委托目标是“不超过 σ ∗ \sigma_* σ ∗
max h α ′ h , h ′ Σ h ≤ σ ∗ 2 , A ′ h = 0 , l ≤ h ≤ u . \max_{\mathbf h}\ \boldsymbol\alpha^{\prime}\mathbf h,
\qquad
\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h\leq\sigma_*^2,
\quad \mathbf A^{\prime}\mathbf h=\mathbf0,
\quad \mathbf l\leq\mathbf h\leq\mathbf u. h max α ′ h , h ′ Σ h ≤ σ ∗ 2 , A ′ h = 0 , l ≤ h ≤ u . 跟踪误差（Tracking Error, TE） ：组合相对基准的主动收益标准差；这里的 h ′ Σ h \sqrt{\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h} h ′ Σ h
有区间限制时，固定 λ \lambda λ
2. KKT 条件与边界乘子# Karush–Kuhn–Tucker 条件（Karush–Kuhn–Tucker Conditions, KKT） ：由平稳性、原始可行性、对偶可行性和互补松弛组成的一阶最优性条件。在上述凹目标、线性约束问题中，它们足以证明全局最优；不能只检查权重是否越界。
对固定风险惩罚问题，采用拉格朗日函数
L = α ′ h − λ 2 h ′ Σ h − ν ′ A ′ h − ( η + ) ′ ( h − u ) − ( η − ) ′ ( l − h ) . \begin{aligned}
\mathcal L
=&\ \boldsymbol\alpha^{\prime}\mathbf h
-\frac\lambda2\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h
-\boldsymbol\nu^{\prime}\mathbf A^{\prime}\mathbf h\\
&-(\boldsymbol\eta^+)^{\prime}(\mathbf h-\mathbf u)
-(\boldsymbol\eta^-)^{\prime}(\mathbf l-\mathbf h).
\end{aligned} L = α ′ h − 2 λ h ′ Σ h − ν ′ A ′ h − ( η + ) ′ ( h − u ) − ( η − ) ′ ( l − h ) . ν ∈ R K \boldsymbol\nu\in\mathbb R^K ν ∈ R K η + , η − ∈ R N \boldsymbol\eta^+,\boldsymbol\eta^-\in\mathbb R^N η + , η − ∈ R N
α − λ Σ h − A ν − η + + η − = 0 , \boldsymbol\alpha-\lambda\boldsymbol\Sigma\mathbf h
-\mathbf A\boldsymbol\nu-\boldsymbol\eta^+
+\boldsymbol\eta^-=\mathbf0, α − λ Σ h − A ν − η + + η − = 0 , A ′ h = 0 , l ≤ h ≤ u , η + , η − ≥ 0 , \mathbf A^{\prime}\mathbf h=\mathbf0,\quad
\mathbf l\leq\mathbf h\leq\mathbf u,\quad
\boldsymbol\eta^+,\boldsymbol\eta^-\geq\mathbf0, A ′ h = 0 , l ≤ h ≤ u , η + , η − ≥ 0 , η i + ( h i − u i ) = 0 , η i − ( l i − h i ) = 0. \eta_i^+(h_i-u_i)=0,\qquad
\eta_i^-(l_i-h_i)=0. η i + ( h i − u i ) = 0 , η i − ( l i − h i ) = 0. 活跃约束（Active Constraint） ：在最优点恰好取到边界的不等式约束。内部持仓 l i < h i < u i l_i<h_i<u_i l i < h i < u i l i = u i l_i=u_i l i = u i
对风险上限问题，把风险项写为 − λ ( h ′ Σ h − σ ∗ 2 ) / 2 -\lambda(\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h-\sigma_*^2)/2 − λ ( h ′ Σ h − σ ∗ 2 ) /2 λ \lambda λ
λ ≥ 0 , h ′ Σ h ≤ σ ∗ 2 , λ ( h ′ Σ h − σ ∗ 2 ) = 0. \lambda\geq0,\qquad
\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h\leq\sigma_*^2,\qquad
\lambda(\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h-\sigma_*^2)=0. λ ≥ 0 , h ′ Σ h ≤ σ ∗ 2 , λ ( h ′ Σ h − σ ∗ 2 ) = 0. 满足适当约束资格条件时这些条件也是必要的；作为凸问题的最优性证书时，它们仍充分。λ = 0 \lambda=0 λ = 0 1 / λ 1/\lambda 1/ λ
3. 对角风险下的数值求解# 在因子收益与特质收益条件不相关的模型中，Σ = X F X ′ + D \boldsymbol\Sigma=\mathbf X\mathbf F\mathbf X^{\prime}+\mathbf D Σ = XF X ′ + D X ∈ R N × M \mathbf X\in\mathbb R^{N\times M} X ∈ R N × M M M M F ∈ R M × M \mathbf F\in\mathbb R^{M\times M} F ∈ R M × M D = diag ( σ i 2 ) \mathbf D=\operatorname{diag}(\sigma_i^2) D = diag ( σ i 2 ) F \mathbf F F X ′ h = 0 \mathbf X^{\prime}\mathbf h=\mathbf0 X ′ h = 0
在该特例中，固定 λ > 0 \lambda>0 λ > 0 ν \boldsymbol\nu ν
h i = clip ( α i − A i ν λ σ i 2 , l i , u i ) , h_i=\operatorname{clip}\left(
\frac{\alpha_i-\mathbf A_i\boldsymbol\nu}{\lambda\sigma_i^2},
l_i,u_i\right), h i = clip ( λ σ i 2 α i − A i ν , l i , u i ) , 其中 A i \mathbf A_i A i i i i clip ( x , l , u ) = min ( u , max ( l , x ) ) \operatorname{clip}(x,l,u)=\min(u,\max(l,x)) clip ( x , l , u ) = min ( u , max ( l , x )) ν \boldsymbol\nu ν
仅有资金中性时，等式乘子退化为标量 ν \nu ν
g ( ν ) = ∑ i clip ( α i − ν λ σ i 2 , l i , u i ) = 0. g(\nu)=\sum_i\operatorname{clip}\left(
\frac{\alpha_i-\nu}{\lambda\sigma_i^2},l_i,u_i\right)=0. g ( ν ) = i ∑ clip ( λ σ i 2 α i − ν , l i , u i ) = 0. g g g ∑ i l i ≤ 0 ≤ ∑ i u i \sum_i l_i\leq0\leq\sum_i u_i ∑ i l i ≤ 0 ≤ ∑ i u i
活跃集法（Active-set Method） ：交替确定哪些持仓固定在边界、哪些持仓自由，并在自由变量上解等式约束子问题的方法。设自由集合为 I \mathcal I I B \mathcal B B λ \lambda λ
[ λ Σ I I A I A I ′ 0 ] [ h I ν ] = [ α I − λ Σ I B h B − A B ′ h B ] . \begin{bmatrix}
\lambda\boldsymbol\Sigma_{\mathcal I\mathcal I}&\mathbf A_{\mathcal I}\\
\mathbf A_{\mathcal I}^{\prime}&\mathbf0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\mathbf h_{\mathcal I}\\\boldsymbol\nu\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\alpha_{\mathcal I}
-\lambda\boldsymbol\Sigma_{\mathcal I\mathcal B}\mathbf h_{\mathcal B}\\
-\mathbf A_{\mathcal B}^{\prime}\mathbf h_{\mathcal B}
\end{bmatrix}. [ λ Σ II A I ′ A I 0 ] [ h I ν ] = [ α I − λ Σ I B h B − A B ′ h B ] . 求解后应把越界自由变量移入边界集合，并释放乘子符号不正确的边界；退化或秩不足时使用适当的数值处理。一般问题也可使用成熟的二次规划或内点算法，不必强行套用对角简化。
给定风险上限且其绑定时，可在外层调整 λ \lambda λ λ \lambda λ
4. 同风险惩罚：重新优化与裁剪的区别# 自拟三股票例题。 三只股票的基准、年度 alpha 预测和年度协方差为
w b = ( 0.60 , 0.30 , 0.10 ) ′ , α = ( 0.06 , 0.02 , − 0.08 ) ′ , Σ = 0.04 I 3 . \mathbf w_b=(0.60,0.30,0.10)^{\prime},\quad
\boldsymbol\alpha=(0.06,0.02,-0.08)^{\prime},\quad
\boldsymbol\Sigma=0.04\mathbf I_3. w b = ( 0.60 , 0.30 , 0.10 ) ′ , α = ( 0.06 , 0.02 , − 0.08 ) ′ , Σ = 0.04 I 3 . 即每只股票波动率为 20 % 20\% 20% λ = 10 \lambda=10 λ = 10
无区间约束时 ∑ i α i = 0 \sum_i\alpha_i=0 ∑ i α i = 0
h U = α 10 × 0.04 = ( 0.15 , 0.05 , − 0.20 ) ′ . \mathbf h_U=\frac{\boldsymbol\alpha}{10\times0.04}
=(0.15,0.05,-0.20)^{\prime}. h U = 10 × 0.04 α = ( 0.15 , 0.05 , − 0.20 ) ′ . 总权重为 ( 0.75 , 0.35 , − 0.10 ) ′ (0.75,0.35,-0.10)^{\prime} ( 0.75 , 0.35 , − 0.10 ) ′ h C ≥ − 0.10 h_C\geq-0.10 h C ≥ − 0.10 h C = − 0.10 h_C=-0.10 h C = − 0.10
h A + h B = 0.10 , h A − h B = 0.06 − 0.02 10 × 0.04 = 0.10. h_A+h_B=0.10,\qquad
h_A-h_B=\frac{0.06-0.02}{10\times0.04}=0.10. h A + h B = 0.10 , h A − h B = 10 × 0.04 0.06 − 0.02 = 0.10. 解得 h C = ( 0.10 , 0 , − 0.10 ) ′ \mathbf h_C=(0.10,0,-0.10)^{\prime} h C = ( 0.10 , 0 , − 0.10 ) ′ ( 0.70 , 0.30 , 0 ) ′ (0.70,0.30,0)^{\prime} ( 0.70 , 0.30 , 0 ) ′ ν = 0.02 \nu=0.02 ν = 0.02 η C − = 0.06 \eta_C^-=0.06 η C − = 0.06
机械方法则先将负总权重裁为零，再把 ( 0.75 , 0.35 , 0 ) (0.75,0.35,0) ( 0.75 , 0.35 , 0 ) 1.10 1.10 1.10
方法 总权重 A、B、C 预测主动收益 预测 TE 目标效用 U U U 无区间约束 75 % , 35 % , − 10 % 75\%,35\%,-10\% 75% , 35% , − 10% 2.6000 % 2.6000\% 2.6000% 5.0990 % 5.0990\% 5.0990% 1.3000 % 1.3000\% 1.3000% 仅多头重新优化 70 % , 30 % , 0 70\%,30\%,0 70% , 30% , 0 1.4000 % 1.4000\% 1.4000% 2.8284 % 2.8284\% 2.8284% 1.0000 % 1.0000\% 1.0000% 裁剪后再归一化 68.1818 % , 31.8182 % , 0 68.1818\%,31.8182\%,0 68.1818% , 31.8182% , 0 1.3273 % 1.3273\% 1.3273% 2.6096 % 2.6096\% 2.6096% 0.9868 % 0.9868\% 0.9868%
图 11-3 与表格使用同一输入和最优解；三类标记分别表示三种处理，不连接不同股票制造连续关系。
重新优化同时调整 A、B 的资金分配，目标效用比机械裁剪高约 1.32 bp 1.32\text{ bp} 1.32 bp
5. 同风险上限：正 alpha 也可能低配# 沿用相同股票、基准、预测与协方差，改为最大化预测主动收益，统一风险上限 σ ∗ = 3 % \sigma_*=3\% σ ∗ = 3%
h U = 0.03 0.20 α ∥ α ∥ ≈ ( 0.088252 , 0.029417 , − 0.117670 ) ′ . \mathbf h_U=\frac{0.03}{0.20}
\frac{\boldsymbol\alpha}{\|\boldsymbol\alpha\|}
\approx(0.088252,0.029417,-0.117670)^{\prime}. h U = 0.20 0.03 ∥ α ∥ α ≈ ( 0.088252 , 0.029417 , − 0.117670 ) ′ . 仅多头最优解仍使 C 总权重为零。写 h A = x h_A=x h A = x h B = 0.10 − x h_B=0.10-x h B = 0.10 − x h C = − 0.10 h_C=-0.10 h C = − 0.10
0.04 [ x 2 + ( 0.10 − x ) 2 + 0.10 2 ] = 0.03 2 . 0.04\left[x^2+(0.10-x)^2+0.10^2\right]=0.03^2. 0.04 [ x 2 + ( 0.10 − x ) 2 + 0.1 0 2 ] = 0.0 3 2 . 两根中，更大的 x x x
x = 0.20 + 0.06 4 ≈ 0.111237 , h C ≈ ( 0.111237 , − 0.011237 , − 0.10 ) ′ . x=\frac{0.20+\sqrt{0.06}}4\approx0.111237,
\qquad
\mathbf h_C\approx(0.111237,-0.011237,-0.10)^{\prime}. x = 4 0.20 + 0.06 ≈ 0.111237 , h C ≈ ( 0.111237 , − 0.011237 , − 0.10 ) ′ . 同风险方案 预测主动收益 预测 TE 预测 IR 无区间约束 1.529706 % 1.529706\% 1.529706% 3 % 3\% 3% 0.509902 0.509902 0.509902 仅多头最优 1.444949 % 1.444949\% 1.444949% 3 % 3\% 3% 0.481650 0.481650 0.481650
B 的 alpha 为正，却被低配约 1.12 1.12 1.12 λ ≈ 8.164966 \lambda\approx8.164966 λ ≈ 8.164966 ν ≈ 0.023670 \nu\approx0.023670 ν ≈ 0.023670 η C − ≈ 0.071010 \eta_C^-\approx0.071010 η C − ≈ 0.071010
影子价格（Shadow Price） ：最优目标值对某一约束边界的局部敏感度。按本节拉格朗日符号约定，最优值 V V V
∂ V ∂ u i = η i + , ∂ V ∂ l i = − η i − , ∂ V ∂ σ ∗ 2 = λ 2 . \frac{\partial V}{\partial u_i}=\eta_i^+,
\qquad
\frac{\partial V}{\partial l_i}=-\eta_i^-,
\qquad
\frac{\partial V}{\partial\sigma_*^2}=\frac\lambda2. ∂ u i ∂ V = η i + , ∂ l i ∂ V = − η i − , ∂ σ ∗ 2 ∂ V = 2 λ . 最后一式只适用于风险上限问题。乘子较大表示小幅放宽对应边界具有较高模型价值；它不是放宽约束的授权，也不是实际未来收益。跨越活跃集切换点后须重新求解，不能把局部导数外推为大幅调整的收益。
第四节 转移效率与风险配置# 1. 风险空间中的转移系数# 转移系数（Transfer Coefficient, TC） ：理想预测方向与受约束持仓方向在风险内积下的一致程度，用于度量信息从预测到持仓的传递。令 h U , h C ∈ R N × 1 \mathbf h_U,\mathbf h_C\in\mathbb R^{N\times1} h U , h C ∈ R N × 1 Σ \boldsymbol\Sigma Σ
T C = h U ′ Σ h C σ U σ C , σ j = h j ′ Σ h j . TC=\frac{\mathbf h_U^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h_C}
{\sigma_U\sigma_C},\qquad
\sigma_j=\sqrt{\mathbf h_j^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h_j}. T C = σ U σ C h U ′ Σ h C , σ j = h j ′ Σ h j . 两组风险均非零时，TC 是风险空间夹角的余弦，取值在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ]
信息系数（Information Coefficient, IC） ：同一决策截面的预测与随后指定期限实现收益之间的相关系数。IC 使用随后收益评价预测技能，TC 使用当期风险与持仓评价实现方向；低 TC 不等于信号没有预测能力。
普通 Pearson 相关不是一般的 TC。当 Σ = σ 2 I \boldsymbol\Sigma=\sigma^2\mathbf I Σ = σ 2 I
2. 预测 IR 的比例何时恰好等于 TC# 预测信息比率（Predicted Information Ratio） ：在固定预测模型下，预测主动收益除以预测跟踪误差，即
I R j p r e d = α ′ h j σ j . IR_j^{pred}=\frac{\boldsymbol\alpha^{\prime}\mathbf h_j}{\sigma_j}. I R j p r e d = σ j α ′ h j . α \boldsymbol\alpha α A ′ h j = 0 \mathbf A^{\prime}\mathbf h_j=\mathbf0 A ′ h j = 0 α = λ U Σ h U + A ν U \boldsymbol\alpha=\lambda_U\boldsymbol\Sigma\mathbf h_U+\mathbf A\boldsymbol\nu_U α = λ U Σ h U + A ν U λ U > 0 \lambda_U>0 λ U > 0
α ′ h C = λ U h U ′ Σ h C , I R U p r e d = λ U σ U . \boldsymbol\alpha^{\prime}\mathbf h_C
=\lambda_U\mathbf h_U^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h_C,
\qquad
IR_U^{pred}=\lambda_U\sigma_U. α ′ h C = λ U h U ′ Σ h C , I R U p r e d = λ U σ U . 因此，在这组固定模型与共同约束下有精确关系
I R C p r e d = T C I R U p r e d . IR_C^{pred}=TC\,IR_U^{pred}. I R C p r e d = T C I R U p r e d . 该比例不要求两组头寸风险相同；只有把预测收益之比也解释为 TC 时，才需要相同风险。共同等式含非零目标、两组采用不同 alpha 或风险模型、加入成本后，不能不加调整地使用此证明。
三股票的同 3 % 3\% 3% T C ≈ 0.944593 TC\approx0.944593 T C ≈ 0.944593 0.481650 / 0.509902 0.481650/0.509902 0.481650/0.509902 IR 的保证。
主动管理基本定律进一步用技能与机会数近似理想预测效率：
I R C ≈ T C × I C B R . IR_C\approx TC\times IC\sqrt{BR}. I R C ≈ T C × I C B R . B R BR B R TC 或成本改变时，应直接计算实现收益序列。
3. 相同总风险下的风险迁移# 股票对主动方差的贡献和对主动标准差的贡献分别为
V C i = h i ( Σ h ) i , R C i = V C i σ A , σ A = h ′ Σ h . VC_i=h_i(\boldsymbol\Sigma\mathbf h)_i,
\qquad
RC_i=\frac{VC_i}{\sigma_A},
\qquad
\sigma_A=\sqrt{\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h}. V C i = h i ( Σ h ) i , R C i = σ A V C i , σ A = h ′ Σ h . h \mathbf h h V C i VC_i V C i R C i RC_i R C i σ A 2 \sigma_A^2 σ A 2 σ A \sigma_A σ A V C i VC_i V C i
同风险三股票例采用对角风险，方差份额为 h i 2 / ∑ j h j 2 h_i^2/\sum_jh_j^2 h i 2 / ∑ j h j 2
股票 基准权重 无区间约束方差份额 仅多头方差份额 A 60 % 60\% 60% 34.62 % 34.62\% 34.62% 54.99 % 54.99\% 54.99% B 30 % 30\% 30% 3.85 % 3.85\% 3.85% 0.56 % 0.56\% 0.56% C 10 % 10\% 10% 61.54 % 61.54\% 61.54% 44.44 % 44.44\% 44.44%
两组风险均为 3 % 3\% 3% 100 % 100\% 100%
若各股票拥有相同预测技能、相同风险分布和可交换的独立机会，等数量分组的无约束风险贡献在重复情景平均下可以相等。去掉这些对称假设，等组风险不再是一般最优解；仅多头、规模中性与基准集中度的叠加也可能把风险推向大权重股票。
第五节 策略风险、实施成本与跨期评价# 1. 随机技能为何使 TC 偏离实现 IR 比例# 策略风险（Strategy Risk） ：预测关系或技能随时间变化而给主动收益带来的额外不确定性。固定持仓风险模型若未描述这种变化，目标跟踪误差可能低于跨期实现波动。
用独立教学模型分离技能波动与其他噪声。令 κ t \kappa_t κ t E ( κ t ) = μ κ E(\kappa_t)=\mu_\kappa E ( κ t ) = μ κ Var ( κ t ) = τ κ 2 \operatorname{Var}(\kappa_t)=\tau_\kappa^2 Var ( κ t ) = τ κ 2 IC。设 B B B q ∈ [ 0 , 1 ] q\in[0,1] q ∈ [ 0 , 1 ]
a t = σ ∗ [ q B κ t + ε t ] . a_t=\sigma_*\left[q\sqrt B\,\kappa_t+\varepsilon_t\right]. a t = σ ∗ [ q B κ t + ε t ] . σ ∗ \sigma_* σ ∗ ε t \varepsilon_t ε t q q q
由均值和全方差计算得到
E ( a t ) = σ ∗ q B μ κ , sd ( a t ) = σ ∗ 1 + B q 2 τ κ 2 , I R ( q ) = q B μ κ 1 + B q 2 τ κ 2 . \begin{aligned}
E(a_t)&=\sigma_*q\sqrt B\,\mu_\kappa,\\
\operatorname{sd}(a_t)&=\sigma_*\sqrt{1+Bq^2\tau_\kappa^2},\\
IR(q)&=\frac{q\sqrt B\,\mu_\kappa}
{\sqrt{1+Bq^2\tau_\kappa^2}}.
\end{aligned} E ( a t ) sd ( a t ) I R ( q ) = σ ∗ q B μ κ , = σ ∗ 1 + B q 2 τ κ 2 , = 1 + B q 2 τ κ 2 q B μ κ . 无约束 q = 1 q=1 q = 1 I R ( 1 ) = μ κ / τ κ 2 + 1 / B IR(1)=\mu_\kappa/\sqrt{\tau_\kappa^2+1/B} I R ( 1 ) = μ κ / τ κ 2 + 1/ B q μ κ B q\mu_\kappa\sqrt B q μ κ B μ κ ≠ 0 \mu_\kappa\ne0 μ κ = 0
I R ( q ) I R ( 1 ) = q 1 + B τ κ 2 1 + B q 2 τ κ 2 . \frac{IR(q)}{IR(1)}
=q\sqrt{\frac{1+B\tau_\kappa^2}{1+Bq^2\tau_\kappa^2}}. I R ( 1 ) I R ( q ) = q 1 + B q 2 τ κ 2 1 + B τ κ 2 . 当 0 < q < 1 0<q<1 0 < q < 1 τ κ > 0 \tau_\kappa>0 τ κ > 0 q q q q = 0 q=0 q = 0 q = 1 q=1 q = 1 q q q IR 均为零，其比例未定义。
自拟教学计算。 设每期 B = 400 B=400 B = 400 μ κ = 0.05 \mu_\kappa=0.05 μ κ = 0.05 τ κ = 0.04 \tau_\kappa=0.04 τ κ = 0.04 σ ∗ = 3 % \sigma_*=3\% σ ∗ = 3% q = 1 q=1 q = 1 3 % 3\% 3% 3.8419 % 3.8419\% 3.8419% IR 约 0.780869 0.780869 0.780869 q = 0.7 q=0.7 q = 0.7 2.1 % 2.1\% 2.1% 3.4384 % 3.4384\% 3.4384% 0.610754 0.610754 0.610754 IR 比例约为 0.782147 0.782147 0.782147 0.7 0.7 0.7
图 11-4 在相同参数下比较恒定技能与随机技能；全部曲线由上述公式生成，不是策略回测。
随机技能降低 IR，并使实现风险随转移效率增加而超过基础风险尺度。q = 0 q=0 q = 0
实际 T C t TC_t T C t E ( T C t κ t ) E(TC_t\kappa_t) E ( T C t κ t ) E ( T C t ) E ( κ t ) E(TC_t)E(\kappa_t) E ( T C t ) E ( κ t ) IC 的跨期标准差，也不能再次加入已经包含在其中的同一抽样噪声。
2. 毛收益、净收益与成本分母# 实现信息比率（Realized Information Ratio, IR） ：相对同一基准的主动收益序列均值与其标准差之比。令 a t g r o s s a_t^{gross} a t g r oss C t C_t C t
a t n e t = a t g r o s s − C t , I R n e t = E ( a t n e t ) sd ( a t n e t ) . a_t^{net}=a_t^{gross}-C_t,
\qquad
IR_{net}=\frac{E(a_t^{net})}{\operatorname{sd}(a_t^{net})}. a t n e t = a t g r oss − C t , I R n e t = sd ( a t n e t ) E ( a t n e t ) . 成本若随机变化，净收益方差满足
Var ( a t n e t ) = Var ( a t g r o s s ) + Var ( C t ) − 2 Cov ( a t g r o s s , C t ) . \operatorname{Var}(a_t^{net})
=\operatorname{Var}(a_t^{gross})+\operatorname{Var}(C_t)
-2\operatorname{Cov}(a_t^{gross},C_t). Var ( a t n e t ) = Var ( a t g r oss ) + Var ( C t ) − 2 Cov ( a t g r oss , C t ) . 只有成本恒定或另有充分近似依据时，净 IR 才能沿用毛收益分母。目标风险、预测风险与实现风险必须分别报告；不能把净收益均值直接除以委托风险上限。
有限卖空的融资成本来自额外多头融资、空头资金回扣及借券安排。采用“额外多头规模等于空头规模 S S S
C s p r e a d = S ( r f i n − r r e b a t e ) . C_{spread}=S(r_{fin}-r_{rebate}). C s p r e a d = S ( r f in − r r e ba t e ) . r f i n r_{fin} r f in r r e b a t e r_{rebate} r r e ba t e
交易成本从漂移后的交易前权重计算。令 q t = w t t g t − w t p r e \mathbf q_t=\mathbf w_t^{tgt}-\mathbf w_t^{pre} q t = w t t g t − w t p r e T O t = 1 2 ∑ i ∣ q i , t ∣ TO_t=\tfrac12\sum_i|q_{i,t}| T O t = 2 1 ∑ i ∣ q i , t ∣
自拟年度成本例。 125/25 组合的融资利差取 1.2 % 1.2\% 1.2% 80 % 80\% 80% 100 % 100\% 100% 30 bp 30\text{ bp} 30 bp
C = 25 % × 1.2 % + 80 % × 0.30 % = 0.54 % = 54 bp . C=25\%\times1.2\%+80\%\times0.30\%
=0.54\%=54\text{ bp}. C = 25% × 1.2% + 80% × 0.30% = 0.54% = 54 bp . 若年度毛主动收益均值为 3 % 3\% 3% 4 % 4\% 4% IR 为 0.75 0.75 0.75 IR 为 ( 3 % − 0.54 % ) / 4 % = 0.615 (3\%-0.54\%)/4\%=0.615 ( 3% − 0.54% ) /4% = 0.615
放宽约束会扩大同一模型的可行集，所以最优模型目标值不会下降；但同风险惩罚下的风险会变化，成本后实现 IR 更无单调保证。额外空头提供的预测收益增量若小于融资、借券、冲击与换手成本增量，继续放宽不再改善净结果。
3. 约束比较的可复现实验# 比较仅多头、有限卖空与无区间约束组合，应固定预测信息、基准、风险模型、评价期限和交易口径，只改变待研究的约束。每期各方案使用相同的预测与随后收益情景，避免随机样本差异冒充约束效果。
有限卖空的单股下界 w i ≥ − s i m a x w_i\geq-s_i^{max} w i ≥ − s i ma x h i ≥ − w b , i − s i m a x h_i\geq-w_{b,i}-s_i^{max} h i ≥ − w b , i − s i ma x s i m a x s_i^{max} s i ma x s i s_i s i 25 % 25\% 25% ∑ i max ( − w i , 0 ) ≤ S m a x \sum_i\max(-w_i,0)\leq S_{max} ∑ i max ( − w i , 0 ) ≤ S ma x L , S , G L,S,G L , S , G
跨期信号可用具有给定持久性的过程生成，例如
F i , t = ρ F F i , t − 1 + 1 − ρ F 2 z i , t , ∣ ρ F ∣ < 1 , F_{i,t}=\rho_FF_{i,t-1}+\sqrt{1-\rho_F^2}\,z_{i,t},
\qquad |\rho_F|<1, F i , t = ρ F F i , t − 1 + 1 − ρ F 2 z i , t , ∣ ρ F ∣ < 1 , 其中 z i , t z_{i,t} z i , t ρ F \rho_F ρ F ρ F \rho_F ρ F
完整比较沿时间顺序完成：用当时可得信息构造分数和 alpha；求解各约束下目标权重并记录 KKT 残差；计入价格漂移、计算实际交易与成本；在随后评价期汇总实现主动收益。换手计算遵循第八章 ，目标持仓到执行路径的细化属于第十二章 。
每种方案同时报告预测与实现跟踪误差、毛与净 IR、TC、边界绑定率、分组风险贡献、总敞口和换手；约束可能降低换手，也可能让风险集中于少数自由头寸，不能仅凭成本下降判定改进。样本 IR 的常见年化为 m a ˉ / s a \sqrt m\,\bar a/s_a m a ˉ / s a m m m
约束方案、成本参数和风险目标应在训练与验证阶段确定，测试阶段冻结；股票池、行业分类、基准成分及借券可得性使用当时信息。放宽模型约束的收益还须经参数扰动、压力情景与样本外净绩效检验；客户授权和硬性风险限制不能仅因影子价格较高就自动解除。
