投资组合理论

1. 从单项资产收益到组合矩#

• 单期简单总收益率（Single-period Simple Total Return）：资产在一个持有期内的价格变动与现金分配之和相对于期初价格的比率；总收益率包含股息等现金收入，不是只有价格收益率。
• 期望收益率（Expected Return）：在给定信息集和持有期下，未来收益率概率分布的一阶矩；它是事前总体参数，不能用一段历史样本的算术平均值无条件替代。
• 协方差（Covariance）：两项收益率相对各自期望值的共同变动程度；正负号表示共同变动方向，数值大小受两项收益率单位影响。
• 方差（Variance）：收益率偏离其期望值的平方的期望；标准差是方差的平方根，与收益率使用相同单位。

资产 $i$ 从 $t$ 到 $t+1$ 的单期简单总收益率为：

其中：

• $P_{i,t}$：资产 $i$ 的期初除息价格。
• $P_{i,t+1}$：同一持有期的期末除息价格。
• $D_{i,t+1}$：持有期内取得的现金分配。
• $r_{i,t+1}$：该持有期的简单总收益率；对未使用杠杆的普通股，理论下限为 $-100\%$。

把同一持有期内 $N$ 项资产的收益率写成列向量，组合收益率及其一阶、二阶矩为：

其中：

• $\mathbf r$：$N\times1$ 单期简单收益率随机向量，所有分量具有相同期限和口径。
• $\boldsymbol\mu=E(\mathbf r)$：$N\times1$ 事前期望收益率向量。
• $\boldsymbol\Sigma=\operatorname{Cov}(\mathbf r)$：$N\times N$ 收益率协方差矩阵，元素单位是收益率的平方。
• $\mathbf w$：$N\times1$ 资产权重向量；是否完全投资、允许卖空或包含现金由具体优化问题另行规定。
• $r_P$、$\sigma_P$：组合的单期简单收益率和标准差。

这三条关系不要求收益率服从正态分布。$\boldsymbol\Sigma$ 必须是对称半正定矩阵；解析解使用 $\boldsymbol\Sigma^{-1}$ 时还要求矩阵可逆。样本协方差维数接近样本长度、条件数过高或出现非正定数值误差时，求逆会放大估计噪声，实务中通常采用因子结构、收缩估计或正定化。

2. 正态、对数正态与均值—方差边界#

多元正态分布（Multivariate Normal Distribution） 用期望向量和协方差矩阵完全刻画联合分布。若假设 $\mathbf r\sim N(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma)$，任何线性组合仍为正态分布：

正态假设便于组合分析，却会给简单收益率低于 $-100\%$ 的事件分配正概率，也无法描述股票收益常见的偏度、厚尾、跳跃和时变波动。单期简单收益率即使为正态，多期复合收益率也不再是正态，因为两期复合项包含 $r_1r_2$。

对数正态收益模型（Lognormal Return Model） 假设总回报倍数的对数 $\ln(1+r)$ 服从正态分布。它保证 $1+r>0$，并使跨期复利保持同类分布；但多个对数正态资产的加权和通常不服从对数正态分布，组合解析不再像正态模型一样封闭。

均值—方差只用一阶和二阶矩形成决策。在收益服从椭圆分布，或投资者的偏好可由二次效用准确表示时，它可以完整排序组合；在厚尾、流动性枯竭或路径依赖显著时，它只是基准模型，还需配合压力情景、集中度、回撤和流动性限制。正态分布是便利假设，不是把风险定义为标准差的充分理由。

3. 相关性如何产生分散化#

• 相关系数（Correlation Coefficient）：协方差经两项标准差标准化后的无量纲共同变动指标，取值范围为 $[-1,1]$；相关系数不等于因果关系。
• 分散化（Diversification）：利用不完全正相关的收益来源，使组合风险低于相同权重下各项风险的线性加权；它降低可相互抵消的风险，不能保证共同因子风险消失。

两项资产的相关系数和组合方差分别为：

其中：

• $\rho_{12}$：资产 1 与资产 2 同期收益率的相关系数。
• $\sigma_1$、$\sigma_2$：两项资产收益率的标准差。
• $w_1$、$w_2$：两项资产的权重；完全投资时 $w_1+w_2=1$。

令 $\mathbf D_\sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_N)$，则相关矩阵为 $\mathbf C=\mathbf D_\sigma^{-1}\boldsymbol\Sigma\mathbf D_\sigma^{-1}$。协方差保留波动率尺度，相关矩阵只保留标准化后的共同变动，二者不能互换。

若 $N$ 项资产波动率都为 $\sigma$、权重都为 $1/N$、任意两项的相关系数都为 $\rho$，组合方差可写成：

其中 $N$ 是资产数量，$\rho$ 是相同的两两相关系数。$\rho=0$ 时，$\sigma_P=\sigma/\sqrt N$；$\rho>0$ 且 $N$ 增大时，组合波动率趋近于 $\sigma\sqrt\rho$，共同风险形成无法仅靠增加持股数量消除的下限。真实股票的波动率和相关性并不相同，压力期相关性上升还会使常态样本高估分散化效果。

例：相关性改变等权组合风险

已知两项假设资产的权重均为 $50\%$，单期波动率均为 $20\%$，求相关系数分别为 $1$、$0$ 和 $-1$ 时的组合波动率。

代入三个相关系数，组合波动率依次为 $20\%$、$14.14\%$ 和 $0$。最后一个结果是在波动率相等、相关系数恒为 $-1$ 且权重精确匹配的模型条件下形成的完全对冲，不表示真实市场中该组合长期无风险。

1. 目标、偏好与可行集#

• 全局最小方差组合（Global Minimum-Variance Portfolio, GMV）：在给定资产集合和约束下，使组合方差达到全局最低值的可行组合；它不使用预期收益率输入。
• 均值—方差最优组合（Mean–Variance Optimal Portfolio）：在给定预期收益率、协方差、约束和风险厌恶程度下，使“预期收益率减方差惩罚”最大的组合。
• 风险厌恶系数（Risk-aversion Coefficient）：均值—方差目标中方差的惩罚强度；在收益率期限和计量尺度固定时，系数越大，最优风险头寸越小。
• 最小方差边界（Minimum-Variance Frontier）：每一个可达到的目标预期收益率所对应的最低方差组合集合。
• 有效前沿（Efficient Frontier）：最小方差边界中位于 GMV 上方、在相同风险下提供最高预期收益率的分支；下方分支不是有效前沿。

在允许卖空、要求风险资产完全投资且 $\boldsymbol\Sigma$ 可逆的条件下，GMV 问题及其解析解为：

其中：

• $\mathbf w$：$N\times1$ 风险资产总权重向量，分量允许为负。
• $\boldsymbol\Sigma$：$N\times N$ 单期收益率协方差矩阵；解析解要求其正定且可逆。
• $\mathbf1$：$N\times1$ 全 1 列向量，预算约束要求总权重为 1。
• $\mathbf w_{GMV}$：满足预算约束的全局最小方差权重。

记 $A=\mathbf1^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf1$，则 $\sigma_{GMV}^2=1/A$。加入 $w_i\geq0$、持仓上限或行业边界后，问题变为带不等式约束的二次规划；逐项截断负权重后再归一化通常不是约束最优解。

2. 现金把证券选择与风险规模分开#

切点组合（Tangency Portfolio） 是仅由风险资产构成、使预期风险溢价与波动率之比最大的组合方向。若允许按同一无风险收益率自由借贷，投资者共享同一风险资产方向，再用现金权重调整总风险规模。

设投资者对下一持有期的风险资产预期收益率为 $\boldsymbol\mu$，同期限无风险收益率为 $r_f$。风险资产权重的均值—方差问题为：

其中：

• $\boldsymbol\mu$：$N\times1$ 同一持有期的事前预期收益率向量；实务中它是带估计误差的预测输入。
• $r_f$：与预测期限匹配的无风险收益率。
• $\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1$：$N\times1$ 预期超额收益率向量。
• $\lambda>0$：风险厌恶系数。
• $\mathbf w^*$：风险资产最优权重；现金权重为 $w_0^*=1-\mathbf1^{\prime}\mathbf w^*$，允许借款时可为负。

$\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1)$ 决定共同的切点方向，$1/\lambda$ 决定沿该方向持有多少风险。若不允许以 $r_f$ 自由借贷、存在融资价差或加入持仓约束，不同投资者不再只靠缩放同一方向完成配置。

当资产之间不相关时，第 $i$ 项资产的权重和局部敏感性简化为：

该近似只适用于输入变化较小且 $\mu_i-r_f$ 不接近零的情形。预期超额收益率的相对变化近似一比一传到权重，波动率的相对变化则约以两倍反向传到权重；存在相关性时，其他资产的预测也会通过逆协方差共同改变 $w_i^*$。这解释了均值—方差权重为何会对微小预测误差和高相关资产之间的相对预测异常敏感。

3. 完全投资组合与双曲线边界#

若不持有现金并要求 $\mathbf1^{\prime}\mathbf w=1$，一阶条件和最优权重为：

其中：

• $A=\mathbf1^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf1$。
• $B=\mathbf1^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu$。
• $\gamma$：完全投资约束的拉格朗日乘子，可解释为放松一单位预算约束的边际目标价值。

该解可拆成 GMV 与资金中性预测倾斜之和：

括号内权重之和为零。若所有资产的预期收益率同时增加同一个常数，完全投资组合的最优权重不变；若 $\lambda\to\infty$，预测倾斜消失，解收敛到 GMV。

令目标预期收益率为 $m$，再定义：

当 $D>0$ 时，目标收益率 $m$ 对应的最小方差为：

$m=B/A$ 时到达 GMV，方差为 $1/A$；$m>B/A$ 的上半支才是有效前沿。该双曲线来自给定的事前输入，是模型可行集，不是历史回测轨迹。协方差与预期收益率都需估计，输入误差可能把平滑的理论边界变成不稳定持仓。

1. 主动空间中的最优组合与单期信息比率#

• 基准（Benchmark）：用于定义主动权重、主动收益和主动风险的可投资参照组合；名称相同但权重版本、再平衡规则或币种不同，便不是同一基准。
• 主动权重（Active Weight）：组合总权重减去基准权重，$\mathbf h=\mathbf w-\mathbf w_b$；组合与基准都完全投资时，$\mathbf1^{\prime}\mathbf h=0$。
• 主动收益（Active Return）：组合实现收益率减去同期限基准实现收益率，$r_A=r_P-r_b$；它可能为负，不等于相对现金的超额收益。
• 跟踪误差（Tracking Error, TE）：主动收益率的标准差，用于衡量相对指定基准的主动风险，不是总组合波动率。
• 阿尔法（Alpha）：相对于指定定价模型、基准、信息集和预测期限的异常预期收益率；本节的 $\boldsymbol\alpha$ 是事前预测向量，不是已实现的成本后收益。

忽略交易成本和不等式约束时，完全投资主动组合的单期优化问题为：

其中：

• $\mathbf h$：$N\times1$ 主动权重向量。
• $\boldsymbol\alpha$：$N\times1$ 同一持有期的事前 alpha 预测向量。
• $\boldsymbol\Sigma$：$N\times N$ 资产收益率协方差矩阵；$\mathbf h^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf h$ 是主动收益方差。
• $\lambda>0$：主动风险的惩罚强度。

完整的一阶条件解为：

$\widetilde{\boldsymbol\alpha}$ 是按风险内积移除资金方向后的预测。只有当 $\mathbf1^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\alpha=0$ 时，才可省略 $\gamma_A$ 并直接写成 $\mathbf h^*\propto\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\alpha$。

令 $Q=\widetilde{\boldsymbol\alpha}^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\widetilde{\boldsymbol\alpha}$，则最优组合的事前主动收益率、跟踪误差和单期预期信息比率（Information Ratio, IR）为：

其中 $Q\geq0$ 是资金中性预测在逆协方差度量下的平方长度。改变 $\lambda$ 会同比缩放预期主动收益率与 TE，不会改变这个单期事前 IR，所以无其他约束的主动有效前沿是过原点的射线。它不是用多期样本估计的年化已实现 IR，也没有扣除换手和交易成本。

无约束解的 $\mathbf h^*$ 不显式包含 $\mathbf w_b$，这是可移植 alpha 思想的数学来源。实际总权重必须满足 $\mathbf w_b+\mathbf h\geq\mathbf0$ 等仅多头、容量和行业约束；基准权重会改变可低配空间，交易成本也会改变最优缩放。因此，理论上的基准独立不等于实际组合可以无摩擦移植到任意基准。

2. CAPM 的定价命题与单市场风险结构#

• 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）：在单期、无摩擦、同质预期、可按无风险收益率借贷且投资者使用均值—方差偏好的条件下，以市场组合为唯一系统性风险来源的均衡定价模型。
• 单指数市场模型（Single-index Market Model）：用一个市场收益因子与资产特质残差描述收益共同变动的统计风险模型；它可以用于估计协方差，但本身不推出 CAPM 的均衡必要收益率。
• 贝塔（Beta）：资产超额收益率对市场超额收益率的线性敏感度；它依赖市场代理、估计窗口和收益率频率，不是资产不随条件变化的固有常数。
• 系统性风险（Systematic Risk）：由市场共同冲击通过 beta 传导的收益不确定性，不能仅靠增加持股数量消除。
• 特质风险（Idiosyncratic Risk）：在指定风险模型下未被共同因子解释的残差风险；“特质”是相对于模型而言，不保证残差在真实市场中彼此独立。

原书用单指数市场模型把资产超额收益率分解为市场部分与特质部分：

其中：

• $r_i$、$r_M$：同一单期内资产 $i$ 与市场组合的收益率。
• $r_f$：同期限无风险收益率。
• $\beta_i$：资产 $i$ 相对所选市场组合的 beta。
• $\varepsilon_i$：特质收益，满足 $E(\varepsilon_i)=0$ 且 $\operatorname{Cov}(\varepsilon_i,r_M)=0$。

若进一步假设不同资产的特质收益互不相关，股票协方差矩阵和组合方差可分解为：

其中：

• $\boldsymbol\beta$：$N\times1$ 股票 beta 向量。
• $\sigma_M^2$：市场组合收益率方差。
• $\mathbf S=\operatorname{diag}(\theta_1^2,\ldots,\theta_N^2)$：$N\times N$ 特质方差对角矩阵，$\theta_i$ 是资产 $i$ 的特质波动率。
• $\mathbf w^{\prime}\boldsymbol\beta$：组合 beta；第一项是系统性方差，第二项是特质方差。

该结构把一般协方差矩阵的 $N(N+1)/2$ 个独立元素压缩为 beta、特质方差和市场方差。在特质方差有界且权重足够分散时，增加持股可以降低第二项，却不会自动降低第一项；残差相关、遗漏行业因子和时变 beta 会使单市场结构低估风险。正态分布不是这项方差分解成立的必要条件。

教材级补充：收益生成式只规定风险结构，CAPM 的均衡定价命题还要求必要预期收益率满足：

该式描述事前必要收益率，不保证任一期实现收益率落在证券市场线上。样本回归中的正截距既可能反映预测技能，也可能来自错误市场代理、遗漏因子、非线性暴露或抽样误差，不能直接解释为可实现 alpha。

3. 单市场结构如何修正最优权重#

令 $\mathbf e=\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1$，在上一小节的单市场协方差结构下定义：

其中：

• $\mathbf e$：$N\times1$ 预期超额收益率向量。
• $\kappa$：市场因子方差相对于股票特质方差的聚合强度，是无量纲标量。
• $\mathbf S^{-1}\boldsymbol\beta$：按特质方差倒数加权的 beta 方向。

先忽略市场共同风险得到“特质风险部分解” $\mathbf w_0^*=\lambda^{-1}\mathbf S^{-1}\mathbf e$，其组合 beta 为 $\beta_0=\boldsymbol\beta^{\prime}\mathbf w_0^*$。加入市场共同风险后的最优权重和组合 beta 为：

当部分解的 beta 为正时，第二项减少高 beta 方向的头寸；部分解的 beta 为负时，调整方向相反。协方差优化不是把每只股票的预测单独除以自身方差，而是在保留预测的同时压低组合对共同市场冲击的无意暴露。

主动组合已经要求资金中性；若还要求 beta 中性，应同时施加 $\mathbf1^{\prime}\mathbf h=0$ 和 $\boldsymbol\beta^{\prime}\mathbf h=0$。令 $\mathbf G=[\mathbf1,\boldsymbol\beta]$，在 $\mathbf G$ 两列线性独立且 $\mathbf S$ 正定时：

其中：

• $\mathbf G$：$N\times2$ 约束暴露矩阵，列分别代表资金方向和市场 beta。
• $\boldsymbol\nu$：$2\times1$ 约束影子价格，用于从原始 alpha 中移除两项受限方向。
• $\mathbf h^*$：同时满足资金中性与 beta 中性的最优主动权重。

beta 中性使单市场模型下的系统性方差项为零，但不会消除行业、风格、非线性和估计误差造成的风险。资金中性只要求多头名义金额等于空头名义金额，不能替代 beta 中性。

4. 特征组合把属性暴露写成最小方差头寸#

特征组合（Characteristic Portfolio） 是对给定股票属性取得单位暴露、并在该等式约束下使方差最小的组合。基础定义不自动包含完全投资、资金中性、beta 中性或仅多头条件；这些条件必须作为额外约束明确加入。

对 $N\times1$ 股票特征向量 $\mathbf c$，基础特征组合及其解析解为：

其中：

• $\mathbf c$：构造时已知的 $N\times1$ 横截面属性或预测向量，方向和标准化口径必须预先固定。
• $\mathbf w_c$：对 $\mathbf c$ 的暴露等于 1 的最小方差权重。
• $\mathbf c^{\prime}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf c$：正定协方差下为正的归一化标量。

$\mathbf c=\mathbf1$ 时，该式退化为 GMV。若 beta 是由基准权重 $\mathbf w_b$ 和同一协方差矩阵定义的 $\boldsymbol\beta=\boldsymbol\Sigma\mathbf w_b/(\mathbf w_b^{\prime}\boldsymbol\Sigma\mathbf w_b)$，beta 特征组合恰好等于该基准；这说明结论依赖 beta 定义与风险模型的一致性。

若要求单位特征暴露、资金中性和 beta 中性，令：

在 $\mathbf H$ 满列秩且 $\boldsymbol\Sigma$ 正定时，约束最小方差解为：

其中 $\mathbf H$ 是 $N\times3$ 暴露矩阵，$\mathbf q$ 是 $3\times1$ 目标暴露向量，$\mathbf h_c$ 满足 $\mathbf c^{\prime}\mathbf h_c=1$、$\mathbf1^{\prime}\mathbf h_c=0$ 和 $\boldsymbol\beta^{\prime}\mathbf h_c=0$。若属性、资金方向与 beta 线性相关，矩阵不可逆，三个目标无法被独立识别。

特征值是组合形成前已知的横截面输入，特征组合收益率是该组合随后实现的结果。不同协方差模型、股票池、中性约束和再平衡规则会产生不同权重，故同名“价值”或“动量”特征组合不必具有相同的因子收益率。组合从理论权重变成可执行交易时，还必须检验换手、成本、借券、容量和数据可得时点。