投资组合理论

1. 单期收益与信息集#

第一章的持仓例说明，同一个相对收益预测可以用不同幅度的偏离基准来表达。要从候选权重进一步找到最优权重，必须能对每个候选组合计算预期收益和风险。这里先建立这种计算方法，再决定如何在两者之间取舍；本章给定的收益和协方差是优化的输入，不由优化器自己证明有效。

单期简单总收益率（Single-period Simple Total Return）：资产在一个持有期内的价格变动与现金分配之和相对于期初投入的比率。将现金分配留至期末、不计期间再投资时，资产 $i$ 从 $t$ 到 $t+1$ 的收益率为：

$P_{i,t}$、$P_{i,t+1}$ 为期初、期末除息价格，$D_{i,t+1}$ 为期间现金分配。存在分红再投资时，应使用相应总回报序列，不能同时把分红计入复权价格和现金收入。

上式只能在期末价格和现金分配确定后计算实现收益，交易却必须在此前决定。比较今天的候选持仓，需要先描述“在今天已经知道的信息下，下一期还可能出现哪些结果，各有多大可能性”。将这些已知资料记为信息集 $\mathcal F_t$；条件期望中的竖线 $\mid\mathcal F_t$，就是要求使用同一个决策时点的判断，而不是把后来发生的结果倒填进来。

用两只股票的自拟情景说明怎样从这一判断取得优化输入。下表的四种情景互斥且穷尽，每行是两只股票同一期的联合结果；概率是教学模型根据期初信息作出的假设，不是已实现收益的频数，也不代表经过验证的预测：

条件期望收益率（Conditional Expected Return）：按给定信息下各可能收益的概率加权得到的平均收益率。它把多种未来结果压缩成一项用于比较预期回报的输入，并不保证某一期实现这个平均数。表中每只股票上涨、下跌的概率都各为一半，因而资产 1 的期望收益为 $0.5\times28\%+0.5\times(-12\%)=8\%$，资产 2 为 $0.5\times42\%+0.5\times(-18\%)=12\%$。

只知道这两个平均数，还无法比较持仓风险。资产 1 在各情景中相对其平均值偏离 $\pm20\%$，资产 2 偏离 $\pm30\%$；自己的平方偏离决定单股方差，两只股票在同一情景中的偏离乘积则记录它们是否一起承受冲击。

条件协方差矩阵（Conditional Covariance Matrix）：在同一信息集下，将各资产收益偏离其条件均值的乘积作概率加权后排成的矩阵；对角元素为单股方差，非对角元素为两资产协方差。设情景索引为 $s$，其概率为 $p_{s\mid t}$、收益列向量为 $\mathbf r^{(s)}$，则上述两项输入由同一组情景构造：

本例的方差分别为 $0.20^2=0.04$、$0.30^2=0.09$。同涨同跌时偏离乘积为 $0.06$，一涨一跌时为 $-0.06$，所以协方差为 $0.06(1/3-1/6-1/6+1/3)=0.02$。得到：

$\boldsymbol\mu$ 决定持仓的预期回报，$\boldsymbol\Sigma$ 决定同一持仓的风险；第二、三节继续使用这组输入。若另一种期初信息使四个情景的概率依次改为 $(1/6,1/3,1/3,1/6)$，两只股票各自的均值和方差仍不变，协方差却变成 $-0.02$。等权持仓在两种判断下都预期赚 10%，其波动率却分别约为 20.6155% 和 15%。条件信息可以改变组合风险，而不改变任何单股的平均收益或波动率。 后文会用这两组协方差实际重新求解持仓，检验这个差别怎样进入决策。

写出 $E(\cdot\mid\mathcal F_t)$ 只规定预测对象，没有替我们估计情景及概率。实际研究使用历史数据或预测模型得到它们的估计；根据估计概率计算的均值和协方差也只是估计量。第三章将从历史收益与因子结构构造风险输入，而不是把“给定信息”当成未来分布已知的证明。

期初将资本的 $w_i$ 投入资产 $i$，其收益对组合的贡献为 $w_ir_i$。用期初已经确定的权重计算单期买入持有收益时，期望可以穿过求和：先对各资产求期望再加权，等于直接对组合求期望。风险也从同一个加权和出发，但要先把收益中心化、平方，再取期望：

$E_t$ 和 $\operatorname{Var}_t$ 表示给定时点 $t$ 信息后的期望和方差，$\mu_i=E_t(r_i)$，$\Sigma_{ij}=\operatorname{Cov}_t(r_i,r_j)$。当 $i=j$ 时是该资产自己的方差；当 $i\ne j$ 时是两项收益共同偏离均值的部分，不能在平方展开时删掉。

把所有资产的收益、权重和期望按相同顺序排成列向量，把协方差排成矩阵，就能用一次矩阵运算完成这些求和。对期初已确定、持有期内不交易的权重，组合构建使用以下输入与关系：¹

$\mathcal F_t$ 为时点 $t$ 已知信息；$\mathbf r_{t+1}$、$\boldsymbol\mu$、$\mathbf w$ 均为 $N\times1$ 列向量，$\boldsymbol\Sigma$ 为 $N\times N$ 矩阵。所有资产采用相同币种、期限和总回报口径；收益率以小数输入，协方差的单位为其平方。后文在单期问题中省略时间下标。

例如等权时，两种算法必须一致：先算每个情景的组合收益再求方差，与直接算 $\mathbf w'\boldsymbol\Sigma\mathbf w$，都得到 $0.0425$；若四个情景改用前述另一组概率，结果变为 $0.0225$。矩阵表示只是把同一项计算推广到更多资产，没有增加新的概率假设。

这些组合矩关系只要求二阶矩存在，不要求正态分布。对称性来自 $\operatorname{Cov}(r_i,r_j)=\operatorname{Cov}(r_j,r_i)$；半正定表示任意权重的方差 $\mathbf w'\boldsymbol\Sigma\mathbf w\geq0$。这是一项可用来拒绝错误输入的检查，而不只是矩阵分类名称。例如误填 $\boldsymbol\Sigma=\begin{pmatrix}0.04&0.08\\0.08&0.09\end{pmatrix}$，权重 $(1,-1)'$ 会得到方差 $-0.03$，说明这些风险输入不可能来自同一个收益分布，不能继续优化。正定进一步要求每个非零头寸方向的方差严格为正；后文使用唯一逆矩阵解时采用这一条件，完全对冲或资产重复导致的零风险方向则需另行处理。

为推导给定输入下的选择，后文简写 $\boldsymbol\mu$ 和 $\boldsymbol\Sigma$；实务中代入的是预测估计 $\widehat{\boldsymbol\mu}_{t+1\mid t}$ 与 $\widehat{\boldsymbol\Sigma}_t$。最优持仓是这些输入的函数，不是对输入准确性的检验。

2. 正态与对数正态的不同封闭性#

均值和方差足以计算下面的均值—方差目标，却不足以确定亏损概率。例如前述四情景中，等权组合只有在共同下跌时亏损，概率为 $1/3$。改用与它均值、协方差完全相同的另一种分布，这个概率仍可能不同。因此，只有要把风险尺度进一步转换成概率、分位数或特定效用时，才需要增加分布假设。

多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）：任意线性组合均为一元正态分布的联合分布。若假设资产收益 $\mathbf r\sim N(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma)$，期初权重为 $\mathbf w$，则：

等权例的均值为 $0.10$、标准差为 $\sqrt{0.0425}$。在这个替代的正态模型中，将零收益减去均值、再除以标准差，得到 $-0.10/\sqrt{0.0425}\approx-0.4851$；查标准正态累计概率，亏损概率约为 $31.38\%$，不等于四情景模型的 $33.33\%$。差别来自分布假设，不是方差算法。第三章计算正态 VaR 时也会调用这种“标准化后取分位数”的转换。

各股票单独服从正态分布，不足以保证联合正态。正态简单收益还允许低于 $-100\%$ 的结果，不能精确表示未加杠杆、有限责任普通股的全部收益分布；偏斜、厚尾或跳跃也不能只靠修改这两个矩完整表达。前述离散情景不是正态样本，后文的组合矩与优化推导不依赖把它改成正态。

对数收益率（Log Return）：总回报倍数的自然对数，$g=\ln(1+r)$，要求 $1+r>0$。引入它是为了把跨期财富倍数的连乘改成加法，而不是替换组合横截面的简单收益加权。若 $g$ 正态，则 $1+r$ 对数正态，$r$ 是平移后的对数正态变量；这一假设保证总回报倍数为正，但不保证股票组合的收益也具有同一分布。

跨期复利与对数加总满足：

$H$ 为持有期包含的单期数，$R_H$ 为累计简单收益率。若各期对数收益联合正态，其和仍正态，累计总回报倍数仍对数正态；独立正态是充分条件之一，仅有各期边际正态则不够。反之，多个对数正态总回报倍数的加权和通常不再对数正态。正态模型便于横截面组合，对数收益便于跨期加总，两种封闭性不能互换。

3. 算术平均、几何平均与期限转换#

算术平均收益率（Arithmetic Mean Return）：样本单期简单收益率的平均值。

几何平均收益率（Geometric Mean Return）：每期以同一收益率复利、能够复制该样本终值的收益率。对 $L$ 期样本且各期 $1+r_s>0$：

不等式来自正总回报倍数的算术—几何平均不等式，收益率各期相同时取等号。自拟路径先上涨 $25\%$、再下跌 $20\%$，终值倍数为 $1.25\times0.8=1$：算术平均为 $2.5\%$，几何平均为零；对数收益相加同样得到 $\ln1.25+\ln0.8=0$。

这一区别决定数值应放进哪一步：复述已经取得的财富增长，要用累计倍数或几何平均；为后面的单期期望收益目标提供估计，在相应的样本代表性假设下可用算术均值，不能把几何平均直接填成 $\mu_i$。否则即使资产的单期期望收益未变，也会因为其波动较大而先扣掉一项增长拖累，随后优化器又按方差惩罚风险，改变了原来要解的问题。

几何平均为什么会低于算术平均，可以从对数的弯曲程度理解。在 $r=0$ 附近保留泰勒展开的二阶项，有 $\ln(1+r)\approx r-r^2/2$；平均后，$E(r^2)=\mu^2+\sigma^2$，因此平均对数增长约为 $\mu-(\mu^2+\sigma^2)/2$。再将指数展开到同阶，把对数增长转回简单收益，$\mu^2/2$ 项抵消，留下近似 $\mu-\sigma^2/2$。减去的方差项反映复利中涨跌不对称的影响，不是实际扣收的费用。

若对数收益满足大数定律，即足够长样本的平均对数收益收敛到其期望，长期几何增长率趋于 $\exp\{E[\ln(1+r)]\}-1$。单期收益和波动较小、上述二阶展开有效时，才可进一步用 $\mu-\sigma^2/2$ 近似；它不是任意分布、任意期限下的恒等式，也不能在正态简单收益可能低于 $-1$ 时直接作无限期复利证明。

期限转换同样取决于收益口径。设各期简单收益独立同分布，均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$。一个总回报倍数的期望为 $1+\mu$，二阶矩为 $(1+\mu)^2+\sigma^2$。独立性使不同期的乘积期望等于期望的乘积；先算累计倍数的一阶、二阶矩，再用“二阶矩减均值平方”求方差，得到：

因此，简单复合收益的波动率不严格等于 $\sqrt H\sigma$。若各期均值、方差相同但存在自相关 $\rho(k)=\operatorname{Corr}(r_s,r_{s+k})$，对复利乘积在各期均值附近作一阶展开，可得：

该式要求波动足够小、局部展开有效；小收益且无序列相关时才进一步接近平方根时间缩放。对数收益之和的方差则可直接按协方差加总，无须复利的一阶近似。

1. 相关性改变组合风险#

相关系数（Correlation Coefficient）：协方差除以两项正标准差得到的无量纲线性关联指标。对同一期两项资产：

$r_i$、$\sigma_i>0$ 分别为资产 $i$ 的收益率与波动率。前述协方差 $0.02$ 除以 $0.20\times0.30$，得到 $\rho=1/3$。这样的标准化把共同变动与单股波动幅度分开，才可以比较不同资产对的关联强弱。若风险输入分别提供波动率与相关矩阵 $\mathbf C$，计算持仓风险前还须恢复尺度：令 $\mathbf D_\sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_N)$，便有 $\boldsymbol\Sigma=\mathbf D_\sigma\mathbf C\mathbf D_\sigma$。把 $\mathbf C$ 直接代入 $\mathbf w'\boldsymbol\Sigma\mathbf w$，相当于将所有资产的波动率错设为 1。

分散化（Diversification）：利用不同收益来源之间不完全同步的变动，降低组合相对于各头寸单独风险之和的风险。两资产权重为 $w_1,w_2$ 时：

在 $w_1,w_2\geq0$ 时，三个边界为：

固定非负权重时，相关性下降会降低方差。对一多一空头寸，$w_1w_2<0$，交叉项方向相反；不能把“低相关更好”无条件套用于多空对冲。

以下图形及两资产计算共用一组自拟单期参数，不代表历史估计或交易建议：

先取等权且 $\rho=1/3$。协方差为 $(1/3)\times0.20\times0.30=0.02$，组合期望收益为 $0.5\times8\%+0.5\times12\%=10\%$。风险则是：

两项自身方差加权部分为 $0.0325$，共同变动额外贡献 $0.01$。交叉项前面的 2 来自平方展开中的两项：资产 1 偏离乘资产 2 偏离，以及顺序相反的乘积。完全忽略相关会低估风险；直接把波动率加权成 $25\%$，则相当于隐含完全同向变动。相关系数正是在这两项单股波动率之外，还必须提供的输入。

图 2-1 固定上述收益与波动率，令 $w_1\in[0,1]$、$w_2=1-w_1$，比较相关系数 $1$、$1/3$、$-1$。

同一期望收益对应同一组权重，相关性越低，该点越向左移动。$\rho=-1$ 时取 $w_1=0.6$、$w_2=0.4$，两项风险幅度均为 $0.12$，模型方差为零；这是严格负相关的奇异边界，不适用后文的正定矩阵求逆解。

2. 持股数量与共同风险下限#

若 $N$ 项资产等权、波动率都为 $\sigma$，且任意两项相关系数都为 $\rho$，将 $N$ 项方差与 $N(N-1)$ 项协方差分别加总：

$\rho=0$ 时，$\sigma_P=\sigma/\sqrt N$；固定 $\rho>0$ 时，$N\to\infty$ 的波动率下限为 $\sigma\sqrt\rho$。等相关矩阵可行还要求 $-1/(N-1)\leq\rho\leq1$，不能固定一个负相关系数并任意增加资产数量。

分散化也不等于必然产生再平衡利润。自拟两期路径中，资产 1 先涨 $25\%$ 再跌 $20\%$，资产 2 顺序相反：买入并持有等权组合最终收益为零，每期恢复等权则每期收益为 $2.5\%$、累计为 $5.0625\%$。差异来自具体路径与再平衡交易；更换路径或计入交易成本后不能保证该增益存在。

3. 预算约束下的最小方差解#

全局最小方差组合（Global Minimum-Variance Portfolio, GMV）：在指定资产集合和约束下，使收益方差最低的可行组合。它不使用预期收益输入；若允许持有无风险现金且无其他限制，全现金组合已经达到零方差。因此，风险资产 GMV 需要明确排除现金。

对两项风险资产，令 $w_2=1-w_1$，方差成为 $w_1$ 的二次函数。求导并令其为零得到：

分母为 $\operatorname{Var}(r_1-r_2)$，此解要求其为正。只允许两资产、全额投资且仅多头时，可将这个一维极小点限制在 $[0,1]$ 内；该一维结论不能推广为多资产逐项截断权重。

取前述波动率与 $\rho=1/3$，协方差为 $0.02$：

图 2-2 使用同一协方差，扩展权重范围以显示卖空头寸；竖线之间才是仅多头可行区间。

最低点位于两资产之间，风险低于任一单独资产。超出仅多头区间并不必然降低风险；在这组输入下，允许卖空并不改变 GMV。

两资产时可以把 $w_2$ 消掉，只剩一个变量；股票很多时，逐项消元容易掩盖对称结构。等式约束优化使用的拉格朗日乘子，把“增加这一头寸的风险代价”与“占用一单位预算的共同代价”放在同一条件中比较。

先展开方差 $\sum_i\sum_jw_iw_j\Sigma_{ij}$。单独对 $w_i$ 求导时，凡是含该权重的乘积都要计入；协方差对称使结果为 $2\sum_j\Sigma_{ij}w_j$。将这些偏导排成向量，就是 $2\boldsymbol\Sigma\mathbf w$。若从股票 $j$ 转移少量权重到股票 $i$，预算保持不变，方差的一阶变化取决于两项偏导之差。没有权重边界时，最小点上任何这样的小额转移都不能改善目标，所以各项偏导必须相等，而不是分别为零。

对 $N$ 项风险资产，设 $\mathbf1$ 为 $N\times1$ 全 1 向量，$\boldsymbol\Sigma\succ0$，允许卖空而要求 $\mathbf1'\mathbf w=1$。用 $\eta$ 表示半方差的这个共同边际值，将预算违约量乘以 $\eta$ 从目标中扣除，就得到拉格朗日函数；对权重和 $\eta$ 分别求导，分别恢复边际条件与预算等式：

$\eta$ 为预算约束乘子。令 $A=\mathbf1'\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf1>0$，得到：

正定性保证目标严格凸，因此一阶条件给出唯一全局最小值。多资产仅多头、行业边界和持仓上限需要重新求解受约束问题，不能先求上述解、删掉负权重后宣称仍然最优。

1. 目标函数与输入条件#

最小方差组合忽略了收益预测：即使资产 2 的预期收益更高，只要协方差不变，GMV 仍保持原权重。愿意为额外预期收益承受风险的投资者，需要在这个低风险起点上决定偏离多少，而不是直接选择预期收益最高的股票。

均值—方差优化（Mean–Variance Optimization）：在给定收益预测、协方差和可行约束下，以期望收益与收益方差之间的权衡选择组合的优化方法。将收益与风险合成一个可比较的目标，就是为额外方差规定代价：一项调仓的预期收益改善必须大于其风险惩罚增量，才值得执行。最大化期望收益减方差惩罚，是其一种标量化形式：

$\mathbf w,\boldsymbol\mu$ 为 $N\times1$ 权重与单期预期收益列向量，$\boldsymbol\Sigma\succ0$ 为 $N\times N$ 同期协方差。

风险厌恶系数（Risk-aversion Coefficient）：目标中方差的惩罚强度，记为 $\lambda>0$；此处明确包含 $1/2$。收益率换单位后必须同步调整 $\lambda$，否则对应不同偏好。

这里直接把该目标设为单期决策准则，不要求收益正态，也不据此声称均值和方差完整刻画了投资者的所有偏好。$\lambda$ 用来比较两个候选组合：若某项调仓增加预期收益 $0.002$、增加方差 $0.001$，在 $\lambda=2$ 时目标增加 $0.002-2\times0.001/2=0.001$；在 $\lambda=6$ 时却减少 $0.001$。同一预测可以因风险偏好不同而被接受或拒绝，这个系数不是从收益数据中自动算出的预测能力。以下解析解暂不计税费、交易成本、借券和不等式约束；尾部、流动性或路径依赖也不是此目标已经评价过的风险。

2. 现金吸收预算差额#

设同期无风险收益率 $r_f$ 在期初已知，现金权重为 $w_0$，允许按同一利率借贷且允许股票卖空。预算与目标为：

代入 $w_0=1-\mathbf1'\mathbf w$ 后，期望收益变成 $r_f+\mathbf w'(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1)$。增加一单位股票资金，就少获得一单位现金收益，所以需要比较的是股票超额收益，而不是股票总收益。去掉不影响选择的常数 $r_f$，令 $\mathbf e=\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1$。

先只看一只股票，目标是 $we-\lambda w^2\sigma^2/2$，导数为 $e-\lambda w\sigma^2$：增加持仓的预期收益保持为 $e$，风险代价却随已有仓位 $w$ 增长。二者相等时 $w^*=e/(\lambda\sigma^2)$。这解释了为什么收益预测加倍会令头寸加倍，而波动率加倍会令头寸缩至四分之一；其他条件及这一无约束模型须保持不变。

多只互不相关的股票可以分别作同样计算；有共同变动时，增加股票 $i$ 的风险代价还取决于其余持仓。利用上一节的二次型求导，将单股的 $w\sigma^2$ 换成 $\sum_j\Sigma_{ij}w_j$，就得到每只股票的边际平衡。现金已经吸收预算差额，股票权重不再受权重和等于一的约束，一阶条件合并为 $\mathbf e-\lambda\boldsymbol\Sigma\mathbf w=0$，故：

$\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf e$ 决定风险资产方向，$1/\lambda$ 决定头寸规模。$w_0^*<0$ 表示借款，不能再解释成普通现金配置；$\lambda\to\infty$ 时风险资产头寸趋于零。若 $\lambda=0$ 且 $\mathbf e\ne\mathbf0$，不限制借贷或卖空的目标无有限最优值。

沿用两资产参数，取 $r_f=2\%$、$\lambda=4$：

先解 $\boldsymbol\Sigma\mathbf x=\mathbf e$，得到 $\mathbf x=(1.0625,0.875)'$，再缩放：

最后两项分别由 $r_f+\mathbf w^{*'}\mathbf e$ 和 $\sqrt{\mathbf w^{*'}\boldsymbol\Sigma\mathbf w^*}$ 计算。现金使总风险低于风险资产 GMV，并未改变同一股票池的风险资产最低方差边界。

第一节算出的条件均值和条件协方差，现在已经成为这组权重的直接输入。为分别观察两者的作用，保持股票池、$r_f=2\%$、$\lambda=4$ 及借贷条件不变，每次只改变一类判断：

第二行只是对预测均值的受控扰动，可由将各情景的资产 2 收益都提高 4 个百分点实现，协方差不变。把新的超额收益 $(0.06,0.14)'$ 代入 $\boldsymbol\Sigma\mathbf w=\mathbf e/4$，便得该行结果；由于两项收益共享风险，资产 2 的预测改善也改变了资产 1 的仓位。

第三行沿用第一节四个情景，只把概率换成 $(1/6,1/3,1/3,1/6)$，因此预期收益仍为 8%、12%，方差仍为 0.04、0.09，但协方差从 0.02 变成 −0.02。重新解同一个方程后，两项股票头寸都增加：这次增加不是因为预期回报更高，而是同持时的风险抵消更强。三行是不同输入假设下的最优选择，不证明更乐观或更低相关的估计必然准确；实际采用哪一组，仍须接受后续数据检验。

3. 相关性与输入误差如何改变持仓#

协方差为对角矩阵时，单股权重及固定 $\lambda$ 下的局部敏感性为：

相对变化式要求扰动较小且 $e_i\ne0$。它描述局部弹性，不表示波动率上升一倍时权重必然减少两倍。

两资产相关时，对 $|\rho|<1$：

$w_2^*$ 由交换下标得到。第二项调整与另一资产共享的预测和风险，但分母也随相关性改变；不能据交叉项的负号断言“正相关一定减少每只股票或整个组合的权重”。接近完全相关而预测仍有差异时，模型可能选择极大的对冲头寸。

上一小节的预测扰动把资产 2 的超额收益提高了 $0.04$，所以权重变化满足 $\boldsymbol\Sigma\Delta\mathbf w=\Delta\mathbf e/4$。求得 $\Delta\mathbf w=(-0.0625,0.125)'$，与配置表两行之差一致。只改一个预测，却改变两个头寸，正是逆协方差同时处理共同风险的结果。

若预测和协方差都发生小幅变化，先将新输入和新权重代回一阶条件 $(\boldsymbol\Sigma+\Delta\boldsymbol\Sigma)(\mathbf w^*+\Delta\mathbf w^*)=(\mathbf e+\Delta\mathbf e)/\lambda$。减去原条件、忽略两个扰动相乘的二阶项，留下 $\boldsymbol\Sigma\Delta\mathbf w^*+(\Delta\boldsymbol\Sigma)\mathbf w^*=\Delta\mathbf e/\lambda$，从而：

第一项追踪预测变化，第二项追踪同一持仓的风险估计变化。若矩阵包含几乎没有方差的对冲方向，逆运算就可能把很小的输入变化放大成很大的多空头寸。实际检查应当同时小幅改变预测和风险输入、观察权重是否剧烈变动；仅确认矩阵可逆或方程能求解，并不能确认配置稳定。持仓上限和第三章的结构化风险估计，分别约束这种头寸放大及其输入来源。

4. 全额投资解与有效前沿#

取消现金选项后，不能把刚算出的两只股票权重简单按比例放大到总和为一：那会保留原股票方向，却未必满足相同风险偏好下的新最优条件。现在增持一只股票必须减持别的股票，边际收益—风险差只需在股票之间相等，不必分别等于零。

无现金时，$\mathbf1'\mathbf w=1$ 直接约束股票权重。与最小方差问题相同，引入共同预算乘子 $\gamma$，得到 $\boldsymbol\mu-\lambda\boldsymbol\Sigma\mathbf w-\gamma\mathbf1=0$。解出权重后再代回预算：

右边是一个关于 $\gamma$ 的标量等式。预算先决定应扣除多少共同收益项，再决定各股票持仓；把解重排后，可以将承担全部净投资的部分与不增加净资金的预测倾斜分开：

$\gamma$ 为预算乘子，$\mathbf w_{GMV}=\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf1/A$，$\mathbf d$ 是资金中性的预测倾斜方向，满足 $\mathbf1'\mathbf d=0$。所有收益预测同时加上常数，最优权重不变；所有预测相同或 $\lambda\to\infty$ 时，最优组合退化为 GMV。

这里扣掉 $B/A$，不是扣普通的股票收益均值，而是移除“所有股票同时增加同一个预测值”这个不能通过零净额交易利用的方向。在线性代数中，以正定矩阵定义内积 $\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle=\mathbf a'\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf b$，将 $\boldsymbol\mu$ 投影到常数向量 $\mathbf1$ 上，投影系数就是 $\langle\mathbf1,\boldsymbol\mu\rangle/\langle\mathbf1,\mathbf1\rangle=B/A$。扣掉这一部分后，残余在这个内积下与常数方向正交，经 $\boldsymbol\Sigma^{-1}$ 映射成持仓，就满足净权重为零。投影是按指定尺度分离可解释部分的代数操作，不产生新预测信息。

收益与风险为什么也能这样分开，可直接检查交叉项：$\boldsymbol\Sigma\mathbf w_{GMV}=\mathbf1/A$，而 $\mathbf1'\mathbf d=0$，所以 $\mathbf w_{GMV}'\boldsymbol\Sigma\mathbf d=0$。这表示 GMV 收益与该零净额倾斜的收益协方差为零，不是说两组股票互不重叠或经济上独立。

令 $C=\boldsymbol\mu'\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu$、$Q=C-B^2/A\geq0$。展开 $\mathbf d'\boldsymbol\Sigma\mathbf d$ 可得 $Q$，而 $\boldsymbol\mu'\mathbf d$ 同样为 $Q$；前者度量单位倾斜的方差，后者度量它带来的预期收益。于是：

最小方差边界（Minimum-Variance Frontier）：各可达目标期望收益所对应的最低方差组合的集合。对目标收益 $m$，在 $Q>0$ 时用收益约束确定倾斜幅度：

有效前沿（Efficient Frontier）：不存在另一可行组合在风险不更高时提供更高期望收益，或在收益不更低时提供更低风险的组合集合。上述边界只有 $m\geq B/A$ 的上半支有效，下半支被同风险的上半支支配；$Q=0$ 时所有资产预期收益相同，该双曲线表达式不适用。

自拟输入中，$A=28.125$、$B=2.5$、$Q\approx0.01777778$。取 $\lambda=4$，完全投资最优权重为 $(2/3,1/3)'$，预期收益为 $9.33333\%$，波动率约为 $19.14854\%$。这个解从 GMV 的 $(7/9,2/9)'$ 出发，将 $1/9$ 的权重从低预测收益资产转向高预测收益资产；额外方差为 $Q/\lambda^2$，而不是凭空加入一个风险百分比。

保持收益、协方差和 $\lambda=4$ 不变，比较现金条件：

第三行是第一行的风险资产方向，不是相同偏好下第二行问题的最优解。第二行被迫持有更多风险资产后，重新优化会偏向较低风险的资产 1；“没有现金”既改变总风险，也可能改变股票内部的比例。任意候选解是否最优，可用目标增量核验：满足一阶条件的解附近，允许的变化 $\boldsymbol\delta$ 所产生的一阶项为零，剩余增量为 $-\lambda\boldsymbol\delta'\boldsymbol\Sigma\boldsymbol\delta/2<0$。正定性使所有非零可行变化都降低目标，这才把驻点确认为唯一最优点。

配置表第三行虽然不是相同 $\lambda$ 下的全额投资最优解，却有另一个用途：把它作为固定股票组合，再与现金配合，就能还原第一行，并调整总风险而不改变股票内部比例。

资本配置线（Capital Allocation Line, CAL）：固定一个风险资产组合，改变它与无风险资产的配置比例所得的期望收益—总波动率关系。设该股票组合的期望收益、标准差为 $\mu_T,\sigma_T>0$，投入比例为 $a\geq0$，其余 $1-a$ 持有现金；允许 $a>1$ 就是借款投资。于是 $E(r_P)=r_f+a(\mu_T-r_f)$、$\sigma_P=a\sigma_T$。消去 $a$ 后得到一条从无风险收益出发的射线，其斜率为 $(\mu_T-r_f)/\sigma_T$：每多承担一单位波动率，对应多少预期超额收益。

切点组合（Tangency Portfolio）：在自由配置现金的模型中，使这条上方资本配置线斜率最大的全额投资风险资产组合。当 $\mathbf1'\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf e>0$ 时，前述最优风险方向可以归一化为它：

本例的切点权重就是 $(17/31,14/31)'$，其预期收益约为 $9.80645\%$、波动率约为 $20.07271\%$。取 $a=48.4375\%$，将两项股票权重都乘以 $a$、其余资金放现金，恰好还原 $26.5625\%$、$21.8750\%$ 的原最优头寸。所以上述归一化是在分离“股票内部选什么”和“总共拿多少风险”，而不是重新求解禁止现金的问题。

自由按同一利率借贷、无其他限制时，改变正的风险厌恶系数只改变 $a$，不改变该股票方向。分母为零时不能把风险方向归一化为净投资额 1；分母为负时归一化会反转超额收益方向，不能使用这里的正溢价切点解释。

图 2-3 使用同一组单期输入。无现金边界用实线和虚线区分有效、无效分支，点线表示加入现金后的最优资本配置线。

加入现金使低于风险资产 GMV 波动率的配置成为可行；切点与 GMV 通常不同。仅多头时，图中收益高于资产 2 的 $12\%$ 的无现金组合不可行，不能把允许卖空的整条有效前沿当作仅多头投资机会。

1. 总组合与主动组合的不同目标#

基准（Benchmark）：用于衡量相对表现的参照组合，其成分、权重、币种与再平衡规则共同决定比较口径。设同一期初的总权重为 $\mathbf w$、基准权重为 $\mathbf w_b$，二者均为同一资产集合中的 $N\times1$ 列向量。

主动权重（Active Weight）：总权重与基准权重之差，$\mathbf h=\mathbf w-\mathbf w_b$。它表示相对基准的超配或低配，不等于实际多头或空头。例如实际持有 $5\%$、基准持有 $8\%$，主动权重为 $-3\%$，但没有实际卖空。

主动收益（Active Return）：组合收益减去基准收益。

跟踪误差（Tracking Error, TE）：主动收益的标准差。若 $\mathbf r$ 为同期资产收益列向量，$\boldsymbol\mu=E(\mathbf r)$、$\boldsymbol\Sigma=\operatorname{Cov}(\mathbf r)$：

主动收益可以为负，跟踪误差不是总组合波动率。一般预算关系为 $\mathbf1'\mathbf h=\mathbf1'\mathbf w-\mathbf1'\mathbf w_b$；两边净投资额相同即为零，全额投资只是其中一种情形。以现金为基准时，风险资产主动权重等于股票头寸，但股票净头寸并不自动为零。

资金中性也不意味着已剔除市场风险。若预测可写成 $\boldsymbol\mu=r_f\mathbf1+\boldsymbol\beta\pi+\boldsymbol\alpha$，其中 $\pi$ 为市场预期风险溢价、$\boldsymbol\beta$ 为市场暴露、$\boldsymbol\alpha$ 为该定价模型之外的预测，那么资金中性只消去 $r_f$：

只有市场项被约束为零，或研究目标明确只评价残差收益时，才可把总主动收益目标替换为 alpha 目标。预测输入的名称不能代替这项风险调整。

2. 资金中性的最优解与风险缩放#

总风险优化把零风险现金或风险资产 GMV 作为比较起点，主动管理则把既定基准作为起点。不偏离基准时，主动收益和主动风险都为零，即使基准自身仍有很高的波动。改变的是惩罚对象：现在惩罚相对偏离的方差，而不是客户整个账户的方差。

先沿用两资产教学参数，从资产 1 向资产 2 转移权重 $x$，主动权重为 $(-x,x)'$。预期主动收益是 $x(0.12-0.08)=0.04x$；两资产收益差的方差为 $0.04+0.09-2(0.02)=0.09$，所以主动方差为 $0.09x^2$。在 $\lambda=4$ 时，目标是 $0.04x-0.18x^2$，导数 $0.04-0.36x$ 为零给出 $x=1/9$。决定交易幅度的风险尺度，是两项资产收益差的波动，而不是任一股票自己的波动。

推广到多资产，给定同期预测 $\boldsymbol\mu$、正定协方差 $\boldsymbol\Sigma$，令 $\lambda>0$ 惩罚主动方差。只施加资金中性、不施加总持仓边界时：

一阶条件 $\boldsymbol\mu-\lambda\boldsymbol\Sigma\mathbf h-\gamma_A\mathbf1=0$，结合预算给出：

$\gamma_A$ 为资金约束乘子，不是无风险收益率，也通常不等于预测值的普通算术平均。预算调整移除的是逆协方差度量下的资金方向；它不自动移除行业或市场 beta。

定义 $Q=\widetilde{\boldsymbol\mu}'\boldsymbol\Sigma^{-1}\widetilde{\boldsymbol\mu}$。对 $Q>0$，有：

信息比率（Information Ratio, IR）：主动收益均值与主动收益标准差的比率；上式是给定单期模型输入计算的事前比率，不是多期样本估计或年化业绩。若 $Q=0$，最优主动头寸为零，均值与跟踪误差均为零，信息比率为未定义的 $0/0$。

给定正的目标跟踪误差 $\tau$，可取：

同一方向上的收益和风险同比缩放，故主动有效前沿为过原点的射线。模型最优预期主动收益非负，源于零头寸可行且方向按输入优化；实现收益没有这种保证。

沿用两资产参数与 $\lambda=4$，$\gamma_A=8.88889\%$，得到：

图 2-4 的横轴是跟踪误差、纵轴是预期主动收益，与图 2-3 的总风险、总收益口径不同。

增加头寸规模只沿射线移动，不提高这组输入下的单期信息比率。将两只股票的预期收益都提高 2 个百分点，完全投资组合的预期收益随之提高 2 个百分点，但资金中性主动组合的收益、权重及该射线均不变。

3. 基准独立的条件与实施边界#

上述解析主动权重不显式含 $\mathbf w_b$，前提是股票池、收益预测、协方差、资金约束和风险惩罚都不变。它说明相同相对头寸在理想条件下可叠加到不同基准，不说明 alpha 对任何基准和风险模型都具有不变经济含义。

仅多头约束作用于总权重：

自拟最优主动头寸 $(-1/9,1/9)'$ 叠加于 $(50\%,50\%)'$，得到总权重 $(38.88889\%,61.11111\%)'$；叠加于 $(5\%,95\%)'$，则第一只股票权重约为 $-6.11111\%$，不再满足仅多头。

基准改变了可低配空间，借券、杠杆和交易成本又限制缩放范围。总收益最优解中的 GMV 只是该模型的风险底仓，不能擅自替换合同指定的业绩基准；投资约束和交易成本必须在相同输入上重新进入目标与可行集。

1. 定价命题、资本市场线与证券市场线#

前面的优化把预期收益当成给定输入，只回答某个投资者会选择什么。它没有回答：若所有人同时这样选择，市场上既有股票应由谁持有，什么样的预期收益才与这些持有需求相容？从个人决策走向均衡定价，需要额外加入投资者之间和市场供给之间的关系。

资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）：在单期、无摩擦、同质预期、均值—方差选择、可按共同无风险利率借贷等假设下，建立资产均衡期望收益与市场风险暴露关系的定价模型。

同质预期使投资者使用相同的收益和协方差输入，自由借贷使他们选择相同的最优风险资产方向，只用不同的现金比例调节规模。将所有人的风险资产持仓加总后，这个共同方向仍不变；市场出清要求总需求恰好持有全部已发行风险资产，因此共同方向必须对应市场组合。这样才能从“给定预测决定持仓”反过来限制“与市场持仓相容的预期收益”。使用自己估计的一组收益优化出一个切点组合，并不能单独证明它就是市场组合或 CAPM 成立。

设 $r_i,r_M,r_f$ 分别为同一期资产、市场组合和期初已知的无风险收益率；$\mu_i=E(r_i)$、$\mu_M=E(r_M)$、$\sigma_M^2=\operatorname{Var}(r_M)>0$。

贝塔（Beta）：资产相对于指定市场收益的线性敏感度：

第一式定义 beta，不依赖 CAPM 成立；第二式才是定价限制。beta 还取决于参照对象：互换两项资产后，两个 beta 的乘积为 $\beta_{i\mid j}\beta_{j\mid i}=\rho_{ij}^2$，而非一般地互为倒数。在均衡下，投资者共同持有的风险资产切点组合由市场出清成为市场组合。将最优风险方向关系写成 $\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1=k\boldsymbol\Sigma\mathbf w_M$，再左乘市场权重 $\mathbf w_M'$，可得 $k=(\mu_M-r_f)/\sigma_M^2$，从而得到上述定价式。

资本市场线（Capital Market Line, CML）：CAPM 均衡下，由无风险资产和有效市场组合构成的有效配置线。

证券市场线（Security Market Line, SML）：以 beta 为横轴、均衡期望收益为纵轴的定价关系。

CML 是均衡市场条件下的特殊 CAL：市场组合成为切点组合后，配置线斜率为 $(\mu_M-r_f)/\sigma_M$。它用于在现金与市场之间选择总风险；SML 则把股票的 beta 转成模型正常收益，用于判断收益预测中有多少并非市场风险补偿。

另设一个单期定价例，$r_f=2\%$、$\mu_M=8\%$、$\sigma_M=20\%$。某股票 beta 为 1.5，SML 给出的正常预期收益是 $2\%+1.5(8\%-2\%)=11\%$。买入 150% 的市场、借入 50% 的现金，CML 同样给出 11% 的预期收益，但总波动率为 $1.5\times20\%=30\%$。若那只股票还承担特质风险、总波动率为 40%，不能把 40% 代入 CML 而要求它得到 14%：CML 不适用于这只非有效组合中的单股。投资者对该股票的预测若为 12%，相对于所选 CAPM 正常收益的预测差是 1 个百分点，而不是相对无风险资产的 10 个百分点；这个差还需独立证据，不能由 SML 自己证明。

2. 单指数模型不自动推出 CAPM#

单指数市场模型（Single-index Market Model）：用市场收益因子及未被该因子解释的部分描述资产收益共同变动的统计模型。允许存在截距的表示为：

$u_i$ 为未观测的特质收益，$\alpha_i=\mu_i-r_f-\beta_i(\mu_M-r_f)$ 为相对该市场模型的期望收益截距。CAPM 成立时该截距为零；若一开始便删去截距、再要求残差均值为零，就已经加入定价限制，不能声称只设定了风险结构。

估计时固定股票 $i$，在决策日前的历史时间 $s\leq t$ 上回归超额收益，得到 $\hat\alpha_{i,t}$、$\hat\beta_{i,t}$ 与样本残差，再用于下一期风险预测。样本残差对设计矩阵正交，不证明未来特质收益独立，也不证明样本正截距能转化为扣费后 alpha。

令 $\boldsymbol\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_N)'$。若进一步假设不同资产的特质收益互不相关，且 $\theta_i^2=\operatorname{Var}(u_i)>0$，则：

$\mathbf D$ 为 $N\times N$ 特质协方差矩阵，$\mathbf w$ 为 $N\times1$ 权重。前一风险项是市场共同冲击形成的系统性方差，后一项是在该模型下未被市场解释的特质方差。残差互不相关是额外风险假设，不是 CAPM 的一般推论，方差分解也不要求正态分布。

该结构用市场方差、$N$ 个 beta 和 $N$ 个特质方差代替一般协方差矩阵的 $N(N+1)/2$ 个独立元素。等权且特质波动率相同时，特质波动率为 $\theta/\sqrt N$；组合市场 beta 不变时，市场风险不会因持股数增加自动下降。遗漏的行业、风格和共同残差需要多因子风险模型进一步处理。

3. 共同市场风险如何修正最优持仓#

只按每只股票的特质风险配置，可能同时买入许多高 beta 股票。股票数量虽然增加，整个组合却仍在反复承担同一市场冲击。要看到共同风险怎样改变持仓，不必先记一个逆矩阵公式，可以从已经推导的一阶条件出发。

沿用单指数结构，取预期超额收益向量 $\mathbf e=\boldsymbol\mu-r_f\mathbf1$，仍考虑可自由配置现金、无股票预算等式的均值—方差问题。令 $\lambda>0$ 为原风险惩罚系数。暂只惩罚特质风险的头寸为 $\mathbf v=\mathbf D^{-1}\mathbf e/\lambda$，加入全部风险后的一阶条件为：

其中 $\beta^*=\boldsymbol\beta'\mathbf w^*$。共同风险修正依赖的是最终组合 beta，不只是每只股票自己的 beta。两边左乘 $\boldsymbol\beta'$，令 $\beta_0=\boldsymbol\beta'\mathbf v$，便得到 $\beta^*=\beta_0-\kappa\beta^*$，即 $\beta^*=\beta_0/(1+\kappa)$。这里定义无量纲强度：

通过将以下表达式与 $\mathbf D+\sigma_M^2\boldsymbol\beta\boldsymbol\beta'$ 相乘，可直接核验其为逆矩阵：

先只惩罚特质风险，得到部分解 $\mathbf v=\lambda^{-1}\mathbf D^{-1}\mathbf e$，其市场 beta 为 $\beta_0=\boldsymbol\beta'\mathbf v$。加入共同风险后的最优解为：

$\lambda>0$ 仍为包含 $1/2$ 的风险惩罚系数。修正项减少与部分解 beta 同方向的头寸、增加相反方向的头寸；它是对市场暴露的软惩罚，不是强制 beta 中性。无须修正的条件是 $\boldsymbol\beta'\mathbf D^{-1}\mathbf e=0$，不能仅用未中心化向量的普通相关系数为零来代替。

展开平方并加回市场方差，可得两种风险口径：

右侧的 $\mathbf v'\mathbf D\mathbf v$ 只是部分解的特质方差，不是部分解的总方差。个股对部分组合的总协方差还包含 $\theta_i^2v_i$，不能把市场协方差项 $\sigma_M^2\beta_i\beta_0$ 直接称为总协方差。

为把共同风险修正接到后面的中性约束，另设一组三资产单期教学输入：$\boldsymbol\beta=(0.5,1,1.5)'$、$\mathbf D=0.04\mathbf I_3$、$\mathbf e=(0.04,0,0.02)'$、市场波动率 $\sigma_M=15\%$、$\lambda=4$。这里 $\mathbf I_3$ 为三阶单位矩阵，市场是外部因子，不假定由这三只股票严格合成。

只按特质风险配置时，$\mathbf v=(0.25,0,0.125)'$，所以 $\beta_0=0.3125$；由 $\boldsymbol\beta'\boldsymbol\beta=3.5$ 得 $\kappa=0.0225\times3.5/0.04=1.96875$。共同风险将 beta 收缩到 $0.3125/2.96875\approx0.105263$，进而得到：

资产 2 的预期超额收益为零却出现空头，因为它能对冲另外两项持仓的共同风险。这不是凭空获得预测能力，也没有把市场 beta 压到零：是否继续接受约 $0.105263$ 的暴露，取决于目标只是惩罚风险，还是明确禁止该暴露。

1. beta 中性与资金中性分别约束什么#

市场 beta 中性（Market Beta Neutrality）：组合相对于指定市场因子的净 beta 暴露为零。

资金中性（Dollar Neutrality）：在同一计价与资金基数下，风险头寸多头金额与空头金额相抵，净权重和为零。两者分别约束风险敏感度和净投入，不互相推出。

设 $\mathbf z\in\mathbb R^N$ 为可由现金融资的风险资产头寸，$\mathbf e$ 为同期预期超额收益，$\boldsymbol\beta$ 为市场暴露，单指数特质协方差 $\mathbf D\succ0$。只要求 $\boldsymbol\beta'\mathbf z=0$ 时，市场方差项恒为零，问题可写成：

当 $\boldsymbol\beta\ne\mathbf0$ 时，一阶条件与约束给出：

$\lambda>0$，$\nu_\beta$ 为 beta 约束乘子。一阶条件先给出 $\mathbf z=\mathbf D^{-1}(\mathbf e-\nu_\beta\boldsymbol\beta)/\lambda$，再代回 $\boldsymbol\beta'\mathbf z=0$，便得到上式的乘子比值。这个计算与第三节去掉资金方向的投影相同，只是现在需要去掉 beta 方向，并使用特质精度 $\mathbf D^{-1}$ 作为度量。