组合换手与最优 Alpha 模型

1. 交易向量与换手口径#

组合换手（Portfolio Turnover）：指定期间内相对于组合资本的持仓更替规模。它衡量交易数量，不直接等于交易成本或平均持有期。预测变化、价格漂移、风险参数更新和资金进出都可能产生交易；比较模型时须分开这些来源。¹

设交易前总权重为 $\mathbf w_t^{pre}$，目标总权重为 $\mathbf w_t^{tgt}$，均为同一资产集合上的列向量，以同一交易前净资产为分母。忽略本次交易费用造成的净资产变化，权重交易量为

正值表示买入或回补空头，负值表示卖出或增加空头。对纳入统计的证券集合 $\mathcal U_t$，买入额、卖出额及双边交易量分别为

单边换手（One-way Turnover）：买入额与卖出额相等时其中一侧占净资产的比例，此时

双边换手（Two-way Turnover）：把买入与卖出同时计入的交易比例 $G_t$。在相同集合和分母下，它是半额交易量的两倍。$B_t=S_t$ 的充要条件是该集合内 $\sum_iq_{i,t}=0$，不要求把“全额投资”额外写成必要条件。

证券买卖不平衡、差额由现金账户融资时，现金变动为 $q_{cash}=S_t-B_t$。将现金一并纳入半绝对值和，得到

例如，从全现金买入净资产的 20%，证券半额交易量为 10%，含现金的换手为 20%；真实证券成交额为 20%，不能再对现金划转重复收取证券交易成本。申赎、借券、融资、公司行动和股票池进出应另行标明。年度换手可按实际各次比例求和；用固定次数乘以平均换手只是频率稳定时的估计，换手的倒数一般不是平均持有期。

2. 价格变化如何改变交易前权重#

被动漂移（Passive Portfolio Drift）：未主动交易时，各资产相对收益差异引起的权重变化。买入并持有组合允许这种变化；固定权重组合通过再平衡恢复预设权重，因此没有新信号也可能交易。

设 $w_{i,t-1}$ 为上次交易后的权重，$r_{i,t}$ 为随后一期简单收益率。在完整资产集合含必要现金、无外部资金流、$1+r_{p,t}>0$ 时，

这里假定现金分配按收益口径留在对应资产内；若分红转入独立现金账户，应按实际资产金额和现金分配逐项更新。融资费和借券费也应进入真实净资产。漂移量为

最后的近似要求组合收益较小。多头资产跑赢组合时权重增加；空头资产跑赢组合时负权重的绝对值增加。决定方向的是相对收益，而非资产是否上涨。

例：从漂移后的持仓计算交易。 两只股票期初权重为 60%、40%，随后收益为 10%、−5%。组合收益为 4%，交易前权重为

若新目标为 62%、38%，则 $\mathbf q_t=(-0.014615,0.014615)'$，实际单边换手为 1.4615%。直接对两个目标做差会得到 $(0.02,-0.02)'$，不仅把换手错算为 2%，连交易方向也相反。

实际交易可以分解为目标更新与漂移修正：

由于两项可能抵销，实际换手通常不等于两种换手之和；三角不等式只给出半绝对值和的上界。基准权重改变时，总持仓交易也不等于主动权重变化。

3. 固定权重再平衡的解析近似#

恢复原权重的精确换手为

所有资产收益相同时换手为零。对等权、仅多头的大股票截面，设收益离散度为 $d$、均值为 $\bar r$，用正态截面近似和 $E|Z|=\sqrt{2/\pi}$（$Z$ 为标准正态变量），得到

这是一组已给定截面参数的近似，不是随机分母下无条件期望的恒等式。对无独立现金项、权重绝对值与相对收益近似独立的非等权多空组合，记总杠杆 $L=\sum_i|w_i|$、$\Delta r=r_p-\bar r$，则

正态绝对矩与局部展开分别为

$\phi$、$\Phi$ 分别是标准正态密度和分布函数。给定分母时，杠杆及相对收益离散程度提高会增加再平衡交易；最后一式不能用于远离市场均值的极端组合。厚尾、集中持仓、现金大幅变化或权重与收益明显相关时，应回到精确持仓公式。

1. 从风险调整分数映射到主动权重#

预测变化换手（Forecast-induced Turnover）：在风险参数、股票池和基准固定时，仅因预测更新而产生的目标持仓更替。其解析式用于隔离机制，不代替实际交易记录。

设 $N$ 只股票的主动权重为 $\mathbf h$，预测 alpha 为 $\widehat{\boldsymbol\alpha}$，特质风险协方差为 $\mathbf D=\operatorname{diag}(\sigma_1^2,\ldots,\sigma_N^2)$。暂不施加预算和持仓边界，并假定共同风险已经对冲，均值—方差目标为

$\lambda>0$ 为风险惩罚，$\sigma_i>0$ 与预测 alpha 使用同一期限。若风险调整预测按 $\widehat\alpha_i=b\sigma_i z_i$ 校准，$b>0$ 表示给定的预测强度，则 $h_i\propto z_i/\sigma_i$。分数 $z_i$ 无收益单位，不能直接当成 alpha。

为避免有限样本系数混用，以下采用截面均值为零、均方为一的标准化：$\sum_i z_i=0$、$N^{-1}\sum_i z_i^2=1$。给定目标跟踪误差 $\tau>0$，风险归一化给出

若使用分母为 $N-1$ 的样本标准差，相应系数改为 $1/\sqrt{N-1}$，不能只改标准化而保留另一套系数。异质 $\sigma_i$ 下，$\sum_i z_i=0$ 不保证 $\sum_i h_i=0$；预算、现金和共同风险对冲须另外处理，并重新计算风险与换手。投资约束会改变上述无约束方向。

2. 持久性、绝对差与预期换手#

预测自相关（Forecast Autocorrelation）：在对齐的股票集合上，相邻两个决策时点预测分数向量之间的横截面相关，记为 $\rho_s=\operatorname{corr}_{cs}(\mathbf z_t,\mathbf z_{t-1})$。它衡量排序的持久性，不是分数与未来收益的 IC。

忽略漂移并固定目标风险及特质风险，股票交易绝对额的一半为

在证券买卖平衡时，这就是单边换手；否则仍需按第一节单独报告买卖和现金。假定截面中新旧标准化分数近似二元正态，并与风险倒数独立，则

用总体绝对矩近似有限截面平均，得到

$E_{cs}(1/\sigma_i)$ 是风险倒数的截面平均，不等于平均风险的倒数。换手随目标风险线性增长；股票数增加时按 $\sqrt N$ 增长，是该无约束、固定总风险配置的结果，不能外推为任意组合的规律。共同风险遗漏、持仓上限和集中配置都可能改变这一关系。

主动总杠杆 $L_h=\sum_i|h_i|$ 在相同模型下满足

图中只改变预测自相关，保持股票数、风险与标准化方法不变。

$\rho_s=1$ 时模型目标不变，预测变化换手为零，但价格漂移仍可能要求交易；$\rho_s=-1$ 时所有主动头寸翻转，模型单边换手等于原主动总杠杆。

例：同质风险。 自拟参数为 $N=100$、$\tau=4\%$、$\sigma_i=20\%$、$\rho_s=0.8$。模型给出主动总杠杆约为 $159.58\%$，每次调仓的单边换手约为

风险参数可同为年化或同为单期值，但此处结果始终是一次调仓的换手。它是教学模型下的期望近似，不是未来交易保证。

3. 持久性的估计边界#

估计预测自相关时，在每一对相邻日期上对齐股票，再计算横截面相关，最后汇总多期结果。这不同于固定一只股票估计时间序列自相关；只有在相应平稳和同质假设下，两者才具有可比的总体解释。

财报沿用、价格窗口重叠和缓慢变化的特征都会增加持久性；这些机制本身不证明预测有效。风险模型、因子标准化、股票池或组合权重更新也能改变目标，即使原始字段未变。价值、动量或质量的名称不能替代对实际分数、滞后 IC 和成交成本的检验。

1. 同期相关与跨期交叉相关#

复合预测（Composite Forecast）：按给定权重组合多个当前或历史预测分量所得的股票分数。设 $M$ 个因子、每因子 $J$ 个日期分量，总数 $P=MJ$；扩展分数矩阵为 $\mathbf S_t\in\mathbb R^{N\times P}$，分量权重为 $\mathbf v_t\in\mathbb R^{P}$，复合分数为 $\mathbf S_t\mathbf v_t$。每列在同一股票集合上中心化并按均方标准化。

定义同期矩阵和跨期矩阵

两者均为 $P\times P$；$\mathbf C_t$ 是分数相关矩阵，$\mathbf\Gamma_t$ 的对角元素描述同一分量的跨期相关，非对角元素描述不同分量的跨期交叉相关。$\mathbf\Gamma_t$ 一般不对称，且不属于资产风险协方差。复合预测自相关为

当权重固定、相关结构平稳且复合方差为正时，简化为

因此，各分量换手不能按模型权重简单相加。同期分数重叠与跨期预测创新的抵销，会共同改变组合换手。

例：组合比单因子更持久。 自拟两因子同期相关为 0.4，各自一阶自相关为 0.7、0.85，两个方向的跨期交叉相关均为 0.5。等权组合给出

高于两个分量并不矛盾，但所有输入必须满足联合矩阵的半正定条件：

不能任意提高跨期相关、同时降低同期相关来制造超出 $[-1,1]$ 的复合自相关。多因子、多滞后模型使用同一表达式；最长滞后为 $J-1$ 时，为计算相邻组合的相关，还需要估计到第 $J$ 阶的分数相关。训练输入中用历史相邻日期估计这些矩阵，不使用决策后尚未到达的分数。

2. 非负二期平滑的条件与边界#

预测移动平均（Forecast Moving Average）：把同一预测的当前值与历史值作为分量进行加权的平滑运算。它改变信息年龄结构，不等同于收益的移动平均模型。

对单位方差、平稳分数 $\mathbf z_t$，设

其中 $a$ 为滞后分量权重，$\rho_1$、$\rho_2$ 分别为原分数的一阶、二阶自相关。平滑分数方差和自相关为

将原自相关从中减去，可以直接看出改善条件：

平稳三时点相关矩阵的半正定性要求 $\rho_2\ge2\rho_1^2-1$。所以在 $V(a)>0$、非负权重及有效平稳相关结构下，二期平滑不会降低一阶自相关；严格不等式且 $0<a<1$ 时才严格提高。若估计落在该阈值以下，应先检查样本不一致、非平稳或矩阵不可行性，而非将其作为同一模型中的正常反例。允许负权重或采用不同平滑结构时，需重新推导。

在改善为严格的情形，$a=1/2$ 最大化持久性；$a=0$ 与 $a=1$ 都保持原持久性，后者只是整条信号延后一周期。最大持久性并不等于最大预测收益。

3. 按相同风险比较平滑前后#

把 $\mathbf g_t$ 除以 $\sqrt{V(a)}$，才得到可以在相同目标风险下比较的标准化分数。设当前分数与一期滞后分数对同一个下一期收益的 Pearson IC 分别为 $m_0,m_1$，则

以下自拟例固定 $\rho_1=0.8$、$\rho_2=0.64$、$m_0=0.06$、$m_1=0.02$，沿用 $N=100$、目标风险 4%、同质特质风险 20%。横轴是滞后分量权重；图中换手和 IC 均除以未平滑值，使用同一比例轴。

等权平滑时自相关从 0.8 升至 0.9，换手从 50.46% 降至 35.68%，IC 从 0.0600 降至 0.0422。单纯滞后到 $a=1$ 不再节省换手，却保留更弱的预测信息。

如果不重新标准化，等权平滑的预测风险会从 4% 降至 $4\%\sqrt{0.9}=3.7947\%$，部分换手下降只是风险敞口缩小。比较时须同时报告分数、风险、预测暴露和交易，不能把缩小仓位冒充更高实施效率。此例中的技能损失是真正的信息年龄代价；别的信号是否存在相同代价，应由滞后 IC 的样本外证据确定。

1. 固定信号与不同收益区间#

信息期限（Information Horizon）：一个时点的预测信息对未来各段收益仍具有可检验预测作用的时间范围。它由信息衰减决定，不等于策略的调仓频率、实际持有期或订单执行时长。

固定决策时点 $t$ 的可用分数 $\mathbf z_t$，记 $\mathbf u_{t+k}$ 为未来第 $k$ 个非重叠基础期间、在统一风险调整口径下的收益标签。两种评价分别为：

• 滞后信息系数（Lagged Information Coefficient）：固定预测与某个更晚单期收益截面的相关，$IC_t^{lag}(k)=\operatorname{corr}_{cs}(\mathbf z_t,\mathbf u_{t+k})$，$k=1$ 为最近一期。
• 期限信息系数（Horizon Information Coefficient）：固定预测与随后 $H$ 个期间聚合收益截面的相关。对可加标签，定义 $\mathbf U_t^{(H)}=\sum_{k=1}^H\mathbf u_{t+k}$、$IC_t^{hor}(H)=\operatorname{corr}_{cs}(\mathbf z_t,\mathbf U_t^{(H)})$。

真实简单收益的累计财富回报为 $\prod_{k=1}^H(1+r_{i,t+k})-1$，不能直接相加。对数收益可以在一致口径下加总；回归残差、超额收益和标准化收益一般不能套用财富复利式。评价真实累计收益时，应先计算真实收益，再按规定方法调整风险；下面的加总公式只对应可加标签，或小收益的明确近似。

2. 期限 IC 的一般关系与平方根简式#

记 $d_k=\operatorname{dis}_{cs}(\mathbf u_{t+k})>0$，$c_{jk}=\operatorname{Cov}_{cs}(\mathbf u_{t+j},\mathbf u_{t+k})$。对相同股票集合和可加标签，由协方差的线性性得到

仅在各期离散度相等、跨期标签不相关时，才简化为

它汇总的是预测协方差，再除以聚合收益的离散度；不是滞后 IC 的直接平均。正的跨期收益相关会在给定分子时增大分母，负相关则相反，所有相关输入仍须联合可行。

自拟滞后 IC 序列为 $0.08,0.06,0.04,0.02,0,-0.02$，采用上述等离散度、零跨期相关假设。每个点代表整数期距，不插值出新的交易时点。

前三期的期限 IC 分别为 0.0800、0.0990、0.1039，第四期降至 0.1000。新增一期即使仍有正 IC，也可能不足以抵销分母增长；期限 IC 的峰值不等于信息刚好完全消失的时点。

3. 机会数、单位期间换手与信息可得日#

为在同一基础期间比较不同 $H$，定义机会数调整后的诊断量

其中 $\rho_s(H)$ 是相隔 $H$ 个基础期间的分数相关，$K_0=\sqrt{N/\pi}\,\tau E_{cs}(1/\sigma_i)$ 在比较中固定。前式仅在独立机会数按 $1/H$ 缩减的简化下有此解释；后式忽略期内漂移和风险再平衡。若分母非零，

$Q(H)$ 是预测能力相对交易强度的诊断比率，不是货币净收益、组合信息比率或最优调仓条件。若季度信号满足 $\rho_s(H)=0.8^H$，季度调仓的年换手比例项为 $4\sqrt{1-0.8}=1.7889$，每年调仓一次则为 $\sqrt{1-0.8^4}=0.7684$。换手降低并不能证明损失的期内更新机会无价值。

持久性也不能替代技能期限。只有在 $0<\rho_s(1)<1$ 且相关严格按其幂衰减时，持久性半衰期才是 $\ln(0.5)/\ln\rho_s(1)$；滞后 IC 需要单独估计自身衰减。期限越长，可独立评价的时间样本通常越少，不能用股票数量弥补时间维度不足。

估计窗口只纳入决策时点已经完整实现的标签。财报按可用日而非报告期末日使用；分组、中性化、股票池与风险暴露均采用当时版本。重叠的 $H$ 期收益会产生依赖，在训练与验证边界应剔除仍覆盖验证期的训练标签，并用适配依赖的标准误或非重叠样本评价。不反复查看测试集来选择平滑窗口与调仓期限。

1. 预测稳定性目标与换手预算#

换手约束下的最优 alpha 模型（Optimal Alpha Model under a Turnover Constraint）：在给定预测评价目标和换手预算下，选择当前与滞后预测分量权重的模型。它优化的是信号组合规则，不直接求解订单执行路径。

令 $P$ 个分量的已实现单期 IC 向量为 $\mathbf i_s$，在允许的历史评价期上估计 $\widehat{\boldsymbol\mu}_{IC}=\operatorname{avg}_s(\mathbf i_s)$ 与 $\widehat{\boldsymbol\Omega}_{IC}=\operatorname{Cov}_s(\mathbf i_s)$，维度分别为 $P\times1$、$P\times P$。$\mathbf C$ 和 $\mathbf\Gamma$ 则分别为分数的同期、跨期矩阵。前两者描述跨期技能，后两者描述持仓持久性，不能互换。

当复合分数方差跨期稳定时，其归一化因子在 IC 均值与标准差之比中抵销，第七章的稳定性目标可以写成

$IR_{IC}$ 只是预测评价序列的均值—波动比，不自动等于组合主动收益的 IR。若 $\mathbf C_s$ 显著时变，应逐期计算真实复合 IC 再汇总，不能继续使用抵销简式。

在第二节的模型和固定参数下，$E(TO)\approx K_0\sqrt{1-\rho_c(\mathbf v)}$。每次交易预算 $\overline{TO}$ 对应

为固定正的尺度，可以采用 $\mathbf v'\mathbf C\mathbf v=1$；是否另加 $\mathbf v\ge0$ 取决于是否允许反向使用预测，不能从“alpha 模型”自动推断。令 $\mathbf\Gamma_s=(\mathbf\Gamma+\mathbf\Gamma')/2$，约束等价于

求解前检查 $\mathbf C$ 的正定性、联合矩阵可行性和目标分母非零。若无额外符号限制，$\rho_{min}$ 不能超过 $\mathbf\Gamma_s\mathbf v=\rho\mathbf C\mathbf v$ 的最大广义特征值；增加非负权重限制后，可达范围还可能缩小。一般问题非凸，应检查多初值、可行性残差和最优性，不能把一次求解器收敛当成全局证明。

换手上限收紧使可行集缩小，因此全局最优目标值不可能因收紧预算而提高；约束不活跃时可以保持不变。逐点强制 $\rho_c=\rho_{target}$ 得到的是等式截面扫描，低相关区域的目标值可能先升后降，不应称为同一组上限约束的单调前沿。

2. 可手算的两因子约束例#

设快速因子与慢速因子已经标准化，采用自拟输入

两因子可由相互独立的平稳过程产生，联合相关结构可行。限制权重非负，用 $\mathbf v=(x,1-x)'$、$0\le x\le1$ 固定尺度，则

无约束最优方向为 $\widehat{\boldsymbol\Omega}_{IC}^{-1}\widehat{\boldsymbol\mu}_{IC}\propto(2,1)'$，即快速因子权重 $x=2/3$。此时 $IR_{IC}=0.6708$、$\rho_c=0.5$。

沿用 $N=100$、目标风险 4%、特质风险 20%，若将单次换手上限设为约 50.46%，则要求 $\rho_c\ge0.8$。代入约束得

目标函数在该可行区间内随 $x$ 增加，故受约束最优权重为 $(1/3,2/3)'$。结果为

这是参数给定时的模型比较，不是回测收益。把有效滞后分数加入扩展矩阵，会增加降低换手的选择；若滞后 IC 已接近零或为负，它们的加入可能得不偿失。

3. 净收益目标与成本敏感性#

对真实持仓，预期净主动收益应从收益单位的 alpha 计算：

$\mathbf h_t$ 为 $N\times1$ 主动权重，$\widehat{\boldsymbol\alpha}_{t+1\mid t}$ 为同期限、给定基准下的预测收益；$C$ 为相对净资产的收益率成本。线性教学模型可取 $C=c\,TO$，其中 $c$ 是每 100% 单边换手的成本率。若成本报价按买卖两侧各自成交额计费且每侧费率为 $k$，买卖平衡时应使用 $c=2k$。

不能把上一小节的 $IR_{IC}$ 直接乘以目标风险，当成净收益公式中的毛收益。为对同一两因子例进行货币化，另设明确的条件均值校准：对单位特质风险收益，$E(u_i/\sigma_0\mid s_{F,i},s_{S,i})=0.06s_{F,i}+0.03s_{S,i}$，其中 $\sigma_0=20\%$，同期两个分数正交。相同风险配置给出

图中固定全部输入，只改变 $x$ 及三个假设成本率 $c=0,1\%,2\%$；圆点标记一维数值最优点。它们是教学成本情景，不代表真实市场收费。

成本从零提高到 1%、2% 时，净收益最优的快速因子权重约从 66.67% 降至 58.62%、47.24%，对应模型净收益约为 2.6833%、1.9096%、1.2134%。固定风险下，更低换手可以补偿部分毛预测收益损失，但不能无限增加陈旧信息的权重。

真实部署应按股票、流动性、订单大小和资产规模校准成本，并滚动比较固定权重、未平滑、受换手约束的模型。对净主动收益、预测与实现风险、杠杆、换手和容量同时做样本外评价。成本非线性时，资产规模会改变最优点；逐笔决策与执行路径应使用真实交易前持仓，而不是只惩罚分数变化。

1. 总 alpha 暴露与本次交易增量#

Alpha 暴露（Alpha Exposure）：持仓与当期收益预测的内积，表示模型下的事前预期收益，而非已实现 alpha。小额交易阈值（Small-trade Threshold）：建议交易量不超过指定大小时保留实际旧持仓的实施规则；它不是由交易成本推导出的最优不交易区。

考虑单次调仓，忽略漂移、共同风险与其他约束，所有股票特质风险相同为 $\sigma_0$。新旧分数分别为 $z_1,z_0$，近似二元标准正态，相关为 $\rho<1$；新 alpha 采用 $\widehat\alpha_1=b\sigma_0z_1$ 校准，$b>0$。持仓映射系数为 $k=\tau/(\sigma_0\sqrt N)$，则总体近似下

这里衡量的是新预测下旧持仓与新持仓的暴露差，不说明一般滞后 IC 必定按 $\rho$ 衰减。负相关时旧暴露可以为负。

给定权重阈值 $\varepsilon_w\ge0$，预测差阈值与其标准化值为

过滤后的分数与持仓是新旧值的逐股混合：

$\mathbf1\{\cdot\}$ 表示条件满足时取一，否则取零。真实应用时比较的是当前目标与漂移后的实际持仓；若上一轮没有完全成交，不得继续拿上一轮目标代替实际持仓。

2. 剩余换手、总暴露与增量恢复率#

令 $X=z_1-z_0\sim N(0,s_\Delta^2)$。剩余换手由截断绝对矩决定：

这是带指示函数的未归一化矩；若改写为条件均值，必须再乘以被执行的概率。与完整交易相比，

为计算 alpha 损失，利用二元正态关系 $E(z_1\mid X)=X/2$，得到

定义标准正态的中心截断二阶矩

总暴露保留比例和本次增量恢复比例分别为

当 $a=0$ 时三个比例均为一；$a\to\infty$ 时换手与增量恢复趋于零，总暴露却趋于旧持仓的 $\rho$。$\rho=1$ 时没有预测变化交易和可恢复增量，相关比例为零除零，不能照搬上述标准化公式。

图中沿用自拟参数 $N=100$、$\tau=4\%$、$\sigma_0=20\%$、$\rho=0.8$，比较同一次调仓的三个比例。

100 bp 权重阈值对应 $\varepsilon_z=0.5$、$a\approx0.7906$：换手保留 73.16%，总 alpha 暴露保留 97.81%，但本次增量仅恢复 89.07%。总暴露看似损失很小，部分原因是旧持仓本来已经保留 80% 的新预测暴露；三个百分比不能互换。

3. 风险不变的总体条件与有限组合反例#

新旧持仓具有同一目标风险，不保证逐股筛选后的混合持仓仍有同一风险。对给定 $N$ 只股票及对角风险，精确关系为

标准差必须取平方根。上述对称高斯总体模型中，$E(z_0\mid X)=-X/2$，因此

这给出 $E[(z^*)^2]=1$，从而 $E(\sigma_*^2)=\tau^2$：不变的是该总体假设下的期望方差，不是每个有限组合的实际风险，也不是一般情形下的期望标准差。非对角协方差、异质风险、非对称分布及跨期累积偏离都需要另算。

例：过滤小交易反而提高风险。 四只股票的主动权重取

设 $\boldsymbol\Sigma=0.04\mathbf I_4$，两者资金中性、平方权重和均为 0.002，风险均为 $\sqrt{0.04\times0.002}=0.8944\%$。采用 120 bp 的交易阈值，前两只各 100 bp 的减仓不执行，后两只各约 144.95 bp 的交易执行，得到

换手由约 2.4495% 降至 1.4495%，风险却提高约 22.47%。这里买卖仍平衡，风险变化并非现金误差。实际筛选还可能破坏资金中性和风险暴露约束，应在过滤后检查 $\sum_iq_i$、$\mathbf X'\mathbf h^*$、$\sqrt{\mathbf h^{*'}\boldsymbol\Sigma\mathbf h^*}$ 与 $\mathbf h^{*'}\widehat{\boldsymbol\alpha}$；必要的修复交易也必须计入成本。

把每笔交易统一缩小，与按阈值筛掉部分交易是不同决策。对单一头寸、从零开始的二次效用 $U(w)=fw-\lambda\sigma^2w^2/2$，最优值在 $w^*=f/(\lambda\sigma^2)$；取 $w=kw^*$、$0\le k\le1$，有

半仓保留 75% 的效用，但只保留 50% 的预期 alpha，不能用“保留 75% 收益”替代。这一从零配置的结论，也不等价于从任意旧持仓把交易减半。多期实施应递推真实持仓、累积未执行订单，并重新评价净收益与风险，而非重复套用单次筛选的保留比例。