量化因子

1. 特征、因子规则与股票分数#

第四章“信息系数的两个数据维度”已经给出分数与随后收益的评价方法，但相关系数并不告诉我们应当拿什么信息预测。选择财务或价格字段，需要先提出一个经济判断，再将判断落实为可重复的数据规则。利润高、价格低和最近上涨分别描述不同对象，不能直接当作同一条买入理由。

股票特征（Stock Characteristic）：在决策时点能够观测的公司或证券属性，例如账面市值比、经营回报率和过去收益率。记股票 $i$ 在时点 $t$ 的特征为 $x_{i,t}$，可用信息集为 $\mathcal F_t$。

沿用第四章的 alpha 因子概念，从特征到预测规则还要规定字段口径、数据处理、比较范围和方向。例如，现金流金额大可能只意味着企业规模大；除以对应的市场价值，才把问题转成每单位买入价格获得多少现金产出，再在可比公司中排序。

因子分数（Factor Score）：因子规则对一只股票输出的标量，记为 $s_{i,t}$。它可以用于排序，但本身不具有股票收益率单位。将分数转为预测 $\widehat\alpha_{i,t+H\mid t}$，还须用当时允许的历史样本估计收益映射，再在样本外检验；$H$ 是预测期距，校准和检验不能使用同一段未来收益。

按主要信息来源，常用信号分为三个家族：

• 价值因子（Value Factor）：以利润、现金流、账面资产或资本分配相对市场价格衡量便宜程度。
• 质量因子（Quality Factor）：以经营成果、资产占用和管理行为衡量企业创造并传递股东价值的能力。
• 动量因子（Momentum Factor）：以已发生的价格变化或盈利信息修正预测随后收益的相对排序。

同一特征可以同时进入风险模型和 alpha 模型，但任务不同：风险模型解释共同收益变动，alpha 模型预测未来表现。因子分数既不是风险暴露的统称，也不是因子组合随后实现的收益；高分不意味着预测一定正确。

财务特征至少具有三个日期：报表期末日、首次公开日和研究允许使用日。设 $\tau_i(t)$ 为股票 $i$ 在 $t$ 已可使用的最近报告期，则信号只能取自截至 $t$ 的数据版本。其后发生的修订不得回填到更早的决策时点；季度现金流若以年初累计值提供，应先还原单季流量，再拼接滚动期间，不能把四个累计值相加。

股票池、行业分类、股份数量、分析师覆盖与价格也使用当时版本。基于当期合格股票截面计算排名并不构成前视；用未来收益选择截面、阈值或方向才会改变信息边界。

2. 价值比率的股权与企业口径#

价值比较把基本面产出放在分子、取得相应请求权的价格放在分母。相同经营前景下，支付较低价格为投资者留下更多回报空间；但现实中低价格也可能反映更低的未来利润或更高的风险。因此，高比率首先是待解释的便宜程度，能否预测超额表现仍是经验问题。

分子与分母必须属于同一组资本提供者。净利润已经扣掉债权人的利息，所以与普通股价值配对；未扣利息的经营利润同时服务债权人与股东，就要与整个经营业务的价值配对。把经营利润只除以股权市值，会让高负债企业看起来格外便宜，即使业务本身并未更便宜。

企业价值（Enterprise Value, EV）：与企业经营业务对应、归属于不同资本提供者的价值。以市场价格和已披露资产负债项目构造时，可使用：

$MV^E$ 是普通股总市值；$D$、$PS$、$MI$ 分别为有息债务、优先股和与并表口径相匹配的少数股东权益价值；$C^{excess}$ 是可从经营业务中分离的超额现金。各项单位均为同一货币，$\tau=\tau_i(t)$。用账面债务等代替市场价值属于数据近似；扣除全部现金也隐含全部现金均非经营必需的假设。

普通股总市值使用价格与相应在外普通股总数配对，不能把自由流通市值代入全部股东利润的分母。有多类普通股时，应汇总对应类别的价值。企业口径的分子覆盖并表经营业务，就应在分母中处理相应少数股东和其他资本请求权。

常见价值指标的配对如下。省略股票和时点下标时，流量取当时可得、长度一致的报告期间，存量取相应披露时点。¹

$NI$、$BE$ 分别为归属于普通股的净利润和账面权益；$Div$、$Rep$、$Iss$ 分别为向普通股支付的现金股利、回购和发行金额。$XF$ 规定为流入企业的净外部融资现金流：净债务发行加净股权发行，再减向资本提供者支付的股利；存在优先股融资或分配时一并计入。$XF<0$ 表示企业净返还资金，因此企业净分配率取 $-XF/EV$。

税后净经营利润（Net Operating Profit After Tax, NOPAT）：经营活动扣除对应经营所得税后的会计利润，采用全部资本提供者口径。

去杠杆经营现金流（Unlevered Operating Cash Flow）：按经营业务重新分类、未扣除资本开支的经营现金流，记为 $CFO^U$。在 $CFO$ 已扣除现金利息、税盾能够按税率 $\theta$ 近似计量且没有其他待调整项目时：

$I$ 是与同一期间匹配的利息费用；现金流调整使用相应现金利息口径。两条近似须分别核对非经营损益、利息应计与现金支付差异。若利息原本列为融资现金流，不再重复加回。

息税折旧摊销前利润（Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation, and Amortization, EBITDA）：扣除折旧摊销前的经营利润度量；它未完整扣除税、营运资本投入和资本开支，不能直接称为自由现金流。在上述现金流口径已对齐时：

$CAPEX$ 为资本开支，$FCFF$ 为企业自由现金流（Free Cash Flow to the Firm），$FCFE$ 为股权自由现金流（Free Cash Flow to Equity）。后式假设不存在优先股等其他权益请求权，或其融资与分配已另行调整。前者与企业价值配对，后者与股权价值配对；单写 $FCF$ 而不说明归属会掩盖杠杆差异。折现估值及经营价值到股权价值的桥接见第 6 章。

已报告盈利和预测盈利也须分开。历史盈利收益率使用已可得的滚动十二个月净利润；固定目标财年 $f$ 的预测盈利收益率可写为 $\widehat{EPS}_{i,t}^{(f)}/P_{i,t}$，其中 $\widehat{EPS}$ 是当时有效、每股口径一致的预测，$P$ 是相应股价。下一财年、固定财年与滚动十二个月预测具有不同期限，不能无标记混用；预测更前瞻不等于预测误差更小。

不同分子回答不同问题。账面权益不等于清算所得，销售额不等于利润，高净分配也可能是融资约束或缺少投资机会的结果；某项比率较高只表明该口径相对便宜。

3. 负值、同行比较与杠杆#

盈利收益率（Earnings Yield）：每单位普通股市值对应的普通股利润，即 $E/P=NI/MV^E$。在市值为正时，负利润仍可得到可比较的负 $E/P$；相反，不能按“$P/E$ 越低越便宜”把负市盈率排在正市盈率之前。

负分子与不适用分母分别处理。亏损公司的 $E/P$ 可保留负值，但其风险和盈利周期需要额外解释；$EV\leq0$ 时，企业收益率不再维持通常的便宜程度排序。负账面权益不宜按一般 $B/P$ 解释，$ROE$ 的权益分母非正或接近零时也应单独处理。缺失、异常值与不适用比率不能统一补零，更不能用任意微小正数修补分母。

同行比较的范围决定信号含义：全市场排序同时包含行业配置，行业内排序只比较同行便宜程度。可比组过窄会增加排名噪声，过宽则混入利润率、增长和杠杆结构差异。行业内排名不保证最终组合行业中性；行业权重还取决于持仓映射和优化约束。

金融机构的现金和债务常与经营业务不可分，普通工业企业的营运资本与 $EV$ 口径不能直接移植。周期行业的 $E/P$ 还受利息支出的杠杆放大：景气高点的高盈利收益率可能只是利润峰值。企业口径更便于隔离融资结构差异，但仍需检验利润的可持续性，不能视为消除了周期风险。

价值溢价有两类竞争解释：高比率股票可能承担困境、流动性及经济下行风险，也可能因投资者外推过去增长而遭到过度悲观定价。正的历史收益差不能在风险补偿与行为误价之间识别唯一原因。²

4. 从直接价值排序到条件价值残差#

直接排序把所有高账面市值比视为更便宜，却没有区分价格为什么低。两家公司账面资本相同，能持续赚取更多利润的一家可能合理地获得较高价格、较低 $B/P$；另一家价格较低，可能只是盈利能力较弱。要寻找超过这一已知差异的便宜程度，就需要先估计可比公司中估值与盈利能力的关系，再看谁偏离了它。

条件价值信号（Conditional Value Signal）：控制盈利能力等已知特征后，衡量估值比率偏离同行条件关系的程度。它仍是相对定价信号，不等同于绝对内在价值。

这里复用第四章的残差思想，但更换了控制目的：不是为满足风险中性持仓而选择逆方差权重，而是用当期公司特征解释估值差异。控制变量、比较组和回归权重因此都属于信号定义；剔除某种特征也可能删去有用预测信息，是否改善应由同口径样本外比较决定。

设当期可比组有 $n$ 只合格股票，变量的升序平均名次为 $rank(x_i)$，采用中点百分位：

净资产收益率 $ROE$ 用普通股利润除以一致口径的平均普通股账面权益。为减弱极端原值的影响，可固定时点 $t$，沿股票维度估计：

$a_t,b_t$ 是当期截面关系的未知系数，帽号表示估计值；$s^{value}$ 是拟合残差。该回归只使用当期已知特征，不需要未来收益；随后收益是否与残差有关，必须在独立的预测评价中检验。回归规则在训练期固定，截面系数可按规则逐期重估。

例：便宜程度最高不等于条件残差最大。 五只教学股票的 $B/P$ 百分位依次为 $(0.9,0.7,0.5,0.3,0.1)$，$ROE$ 百分位依次为 $(0.1,0.7,0.5,0.3,0.9)$。两组均值均为 $0.5$，截面普通最小二乘计算为：

A 的条件拟合值为 $0.80-0.60\times0.10=0.74$，残差为 $0.16$；B 的拟合值为 $0.38$，残差为 $0.32$。图中所有点和拟合线均由这五个自拟观测计算，不是历史估计。

A 的原始 $B/P$ 排名更高，B 在控制 $ROE$ 后的残差更大。残差 $0.32$ 是百分位尺度上的偏离，不表示价格存在 $32\%$ 上涨空间，也没有控制盈利持续性、杠杆与会计质量。

5. 一个现金流价值信号的完整构造#

例：从已披露报表到行业内分数。 以下公司与日期均为教学设定：2025 年年报在 2026 年 4 月 20 日收盘后首次公开，策略固定从下一交易日允许使用，决策时点 $t$ 为 4 月 30 日收盘后。3 月末构造的分数不能使用这份报告，即使它描述的是上一年经营情况。

在 $t$，股价为 10 元，在外普通股总数为 2,000 万股；已可用报告中，有息债务 80 百万元、优先股 10 百万元、可扣除现金 30 百万元，无少数股东权益。可用年度 $CFO=24$ 百万元、现金利息 4 百万元，税率为 $25\%$。所有金额采用同一货币，比较公司的报告也必须在 $t$ 已可使用。

假设利息已计入经营现金流、税盾能够充分使用，且无其他需调整项目。先匹配企业价值，再计算收益率：

若同一行业另三家合格公司的比率为 $5\%$、$8\%$、$12\%$，该公司升序名次为 3，故 $p=(3-0.5)/4=0.625$。采用固定的中心化规则 $s=2p-1$，最终分数为 $0.25$。四家公司的分数依次为 $-0.75,-0.25,0.25,0.75$；这是中点百分位的线性变换，并非单位标准差的 z-score。

这些分数已经能确定一个预先规定的配置方向。以四股等权为基准，暂定教学规则 $w_i=0.25+0.20s_i$，得到总权重 $(0.10,0.20,0.30,0.40)$，主动权重为 $(-0.15,-0.05,0.05,0.15)$。系数 $0.20$ 是事先给定的倾斜幅度，不是用未来收益估出的最优系数；权重和为一且均非负，只说明这组纸面权重满足这两项要求。第四节用同一持仓评价实现结果及后续交易需求。

公开日之后才形成信号，实际交易从下一可执行时点开始。该例只建立字段、资本归属、分数和候选持仓的对应；不能把 $10.3846\%$ 的现金流收益率当作预期股票收益率，也不能仅凭四只股票验证投资效果。

1. 净经营资产的两侧分解#

价值比率中的高现金流收益率可能来自便宜价格，也可能来自暂时难以持续的经营成果。质量研究先把市场价格移出分母，考察企业为了赚取这些利润占用了多少经营资本，以及利润是否转化为现金。相同利润由较少资本产生，通常意味着更高的经营效率，但不同会计确认和经营模式也会改变这项比较。

将质量用于预测还需要一个额外假说：市场尚未充分反映经营成果的持续性，或没有正确辨认应计、投资和融资行为的含义。经营效率高是公司层面的判断；只有价格没有充分计入相关信息，或存在对应风险补偿时，才可能形成未来收益差异。质量不能绕过价格直接推出“好公司就是好股票”。

净经营资产（Net Operating Assets, NOA）：投入经营活动的资产扣除经营负债后的净额。它衡量净经营资本占用，与企业经营利润和经营现金流相匹配。

令 $\tau$ 表示财务报告期；下列例子采用年度流量及相应期初、期末存量，$\Delta Z_\tau=Z_\tau-Z_{\tau-1}$。预测时只使用在决策日已经公开的报告。为隔离恒等式，先假设无优先股、少数股东权益和其他金融资产，全部现金均划为非经营资产：

$A$ 是总资产，$OA$ 是经营资产，$OL$ 是经营负债，$C$ 是现金，$D$ 是有息债务，$E$ 是普通股账面权益，单位均为货币。权益是融资来源，但不是债务；有息债务也不属于 $OL$。一般情形需按同一并表边界补入其他金融资产和资本请求权。

经营侧进一步按流动性分解：

$CA$、$CL$ 分别为流动资产、流动负债，$TL$ 为总负债；$D^S$、$D^L$ 分别为流动和非流动有息债务。$WC$ 是经营营运资本，$NCO$ 是净非流动经营资产。该写法依赖上述账户划分；非流动金融资产、经营必需现金或特殊金融负债存在时，要先重新分类，不能机械套用。

例：两侧核对。 期初 $A=150$、$CA=55$、$C=10$、$CL=35$、$TL=70$、$D^S=10$、$D^L=20$、$E=80$，单位均为百万元，则：

经营侧 $NOA=20+80=100$，融资侧 $NOA=30+80-10=100$。两者不相等时，应先查账户分类、并表范围和时点，而非把差额当成投资信号。³

2. 经营竞争力与回报度量#

质量可以从两个并列维度评价：

• 经营竞争力（Business Competitiveness）：企业利用经营资本持续创造利润与现金流的能力。
• 管理行为质量（Managerial Behavior Quality）：管理层通过会计确认、投资和融资决策传递经营成果的决策质量。

代理问题（Agency Problem）：管理者与资本提供者利益不一致引起的决策偏离，属于管理行为质量的研究对象。外部投资者无法直接观测动机，报表比率只能构成带测量误差的代理变量。

净经营资产回报率（Return on Net Operating Assets, RNOA）：每单位净经营资本对应的税后经营利润。

现金流投资回报率（Cash Flow Return on Investment, CFROI）：以投资产生的现金流相对于投入资本衡量回报的一类指标；此处专指去杠杆经营现金流相对平均 NOA 的简化比率，不等同于按资产寿命与现金流期限计算的内部收益率。

采用期初、期末平均资本配对年度流量：

$NOPAT$、$CFO^U$ 是同期税后净经营利润与去杠杆经营现金流，$\overline{NOA}$ 是平均净经营资产。两项回报率分别观察利润产出与现金产出。

采用平均存量与期间流量配对，也可事先选用期初存量，但不同分母的历史数值不可混比。$NOA$ 非正、接近零或期间剧变时，比率可能失去稳定尺度；这可能来自经营模式，也可能来自财务异常，应分组建模，不能直接判为低质量或无限高质量。

经营负债率（Operating Liabilities Ratio）：经营伙伴提供的非债务融资相对净经营资本的比例。用不同符号区分负债金额与比率：

第一小节的资产负债表中，经营负债为 $70-30=40$、净经营资本为 100，因此 $OLRatio=40\%$。若下一期经营资产仍为 140，经营负债增至 50，则 $NOA=90$、$OLRatio=55.56\%$，变化量 $OLInc$ 约为 15.56 个百分点。即使利润没有提高，以净经营资本为分母的回报也会因资金占用减少而上升；不能把这个变化全部归为生产效率改善。

这种变化可能来自供应商信用和议价能力，也可能来自拖欠货款，应结合账龄、周转及行业惯例判断。该比率不是固定成本放大利润波动意义上的经营杠杆；高 $RNOA$ 也不直接说明新项目划算，还需比较新增投资回报与相应资本机会成本。

3. 净融资、利润与资产扩张的核对#

净外部融资统一以资金流入企业为正。在本节不含优先股和少数股东的简化设定下：

$Borrow$、$Repay$ 是债务融资与偿还金额，$Iss$、$Rep$、$Div$ 是普通股发行、回购和股利，单位均为货币。$XF<0$ 表示偿债及对股东分配超过外部资金流入。

前面的 $NOA=D+E-C$ 是时点存量关系；研究资产扩张要把相邻两期相减，追问新增经营资本由什么支持。会计中的清洁盈余关系（Clean-surplus Relation）：除与所有者的投入和分配外，权益的变化全部经过当期净利润。在这一简化条件下，留存利润和净股权投入共同增加账面权益；再把债务的现金借还加上，就能与经营资产及现金的增加核对。

若债务变动均为现金借还、权益满足清洁盈余关系，则：

$NI$ 是同期净利润。其他综合收益、汇兑、非现金融资等改变债务或权益账面值时，应在 $NI+XF$ 一侧加入相应调整项，并对并购、处置与重分类作一致调节。

这是资产负债与权益变动的核对关系，不是把净利润当成经营现金流。利润包含应计项目，资金占用变化也可能包含非现金交易。把等式除以期初正值 $NOA_{\tau-1}$，仍须保留 $NI/NOA_{\tau-1}$，不能直接换为以 $NOPAT$ 为分子的 $RNOA$。

例：核对资产扩张。 期初 $NOA=100$ 百万元，当期 $NI=12$、$XF=8$、$\Delta C=5$ 百万元，且无额外调整，则 $\Delta NOA=12+8-5=15$ 百万元。若 $\Delta WC=6$、$\Delta NCO=9$，有：

若税后利息为 3 百万元，把左侧净利润擅自替换成 $NOPAT=15$ 就会使两侧相差 3；更换利润归属时，融资侧也必须同步调整。³

4. 应计、资本开支与融资信号#

应计项目（Accruals）：会计利润确认与相应现金收付之间的差额。在经营口径一致时，可用以下比率考察利润的现金转化：

赊销使本期利润先于收款确认，存货和应收款增加也会占用现金；折旧则减少利润但不形成当期现金支出。因此，用一致经营口径的利润减现金流，可以定位利润与现金产出的差距，而不是把利润高低再重复度量一次。

沿用上一小节的自拟企业，期初、期末 $NOA$ 为 100、115 百万元，平均资本为 107.5；$NOPAT=15$ 百万元。再设去杠杆经营现金流为 9 百万元，则 $RNOA=15/107.5=13.9535\%$，$CFROI=9/107.5=8.3721\%$，应计比率为 $6/107.5=5.5814\%$。三者使用同一分母，后两项合计恰好等于第一项；现金产出与应计部分共同解释了会计回报。

这三项结果允许分开判断“利润产出高不高”与“利润有多少已转为现金”。例如，另一个可比企业的平均经营资本和 $NOPAT$ 相同，经营现金流却为 15 百万元，则两家的 $RNOA$ 都是 $13.9535\%$，后一家的现金回报率却更高、应计比率为零。只按 $RNOA$ 排名无法区分二者，按现金回报或正常经营条件下的较低应计排序则可以；三项指标也不应当作三份独立信息相加，因为它们共享同一个分解。

原企业的正差额不能直接判为操纵：如果来自正常赊销，随后回款可能消除差距；若收入难以收回，则利润质量判断可能恶化。资产负债表差分还会混入并购、终止经营和汇率折算；现金流量表方法可减少部分非经营账户变动的污染，但仍须保持现金流分类和利润口径一致。

异常应计由实际应计减去按经营规模、收入增长、资产结构等估计的正常应计得到。正常模型使用允许的历史信息拟合，其残差含有模型误差，不能直接等同于操纵金额。盈余在零利润或分析师预期附近聚集可以构成研究线索，不能据此证明某家公司造假。

应计与后续收益关系也存在竞争解释：投资者可能高估应计利润的持续性，或低估资产增长伴随的边际回报递减。单一应计比率不能区分这两种机制。⁴

用于管理行为研究的六个代表指标如下。本章统一用期初总资产 $A_{\tau-1}>0$ 缩放资产和资本开支增量；净融资使用期初 $NOA$。这是一组显式的教学构造，不能与采用期末总资产或其他分母的历史报告值视为完全相同。

$Dep$ 为同期折旧，$S$ 为同口径在外股数。沿用期初总资产 150、经营资本 100 的企业，$\Delta WC=6$、$\Delta NCO=9$、$XF=8$ 分别给出 $WCinc=4\%$、$NCOinc=6\%$、$xf=8\%$。前两项描述资产占用如何扩张，第三项描述外部资金来源，不能把三项加成“18% 的投资增长”。

资本开支的两个字段也不能互换：$iCapx$ 扣除折旧，衡量净投资强度；$capxG$ 比较相邻年度开支，衡量投资速度的变化。相同开支下，折旧更高会降低前者却不直接改变后者；相同开支增量下，期初资产更大的公司具有更低的 $capxG$。这正是选择哪个字段进入比较时需要区分的对象，而不是给同一增长率改名。

股数变化还要先消除拆并股影响。一次一拆二将 100 股变成 200 股，机械计算会得到 $shareInc=100\%$；将旧股数调整到相同单位后，结果为零，不能因此认定公司融资扩张。滚动年度开支也应与上一可比年度比较，不能把季度、年初累计和年度数据直接作差。

极高的资产扩张、开支或融资可能提示低回报投资，但极低值也不保证更好。负应计可能包含减值与“大洗澡”式确认，也可能是正常回款；低资本开支可能源于轻资产模式，也可能损害维护和未来竞争力；回购、分红及偿债可能传递管理层判断，也可能只是资本结构调整。高回报项目的外部融资同样不能机械判为低质量。

5. 单调方向与经济情境#

因子响应函数（Factor Response Function）：在给定信息与比较条件下，股票后续收益的条件期望随原始指标取值变化的关系。它决定原值或排名能否按统一方向线性进入预测。

z-score 和百分位变换本身并不假设收益线性；把变换后的分数线性映射为收益预测或持仓，才引入相应边际响应假设。负向信号乘以 $-1$ 只能翻转方向，不能修复两端非单调关系。

图 5-2 使用独立教学函数，$p\in[0,1]$ 为指标分位，纵轴为无量纲响应。A 面板比较 $m_+(p)=1.6(p-0.5)$ 与 $m_-(p)=-1.6(p-0.5)$；B 面板比较：

$c=0.3$ 表示较低投资强度达到峰值的成熟业务情境，$c=0.7$ 表示较高投资强度达到峰值的扩张情境。这些参数只用于隔离方向和最优区间的变化，不是历史估计或可执行阈值。

B 面板中，同一资本开支分位在两种情境下具有不同响应；把“越少投资越好”写成全市场规则会丢失这种差异。经验检验应保留中间分组与两端样本，并使用决策时点可识别的情境，而非按未来收益事后分组。

1. 回看区间、跳过区间与预测区间#

价格动量（Price Momentum）：根据已实现的中期收益对未来股票收益排序的预测信号；高历史收益对应较高预测分数。短期反转（Short-Term Reversal）：极短期已实现收益与随后收益反向变化的经验关系，通常按相反方向构造信号。两者采用不同的时间区间，不构成逻辑矛盾。

价值关注价格相对基本面的位置，质量关注经营成果及其持续性，动量则从信息被吸收的过程提出预测。好消息已经推动股价上涨，并不必然表示全部信息已被反映：若投资者更新判断较慢，价格可能继续调整；若反应迅速而充分，过去上涨本身就不再提供方向信息。价格延续的候选机制包括反应不足、信息扩散迟缓以及卖空约束；短期反转还可能包含暂时性价格压力和买卖价差反弹。规模、分析师覆盖以及过去赢家和输家的差异，可以用于检验机制，但不能凭一个动量回测识别唯一原因。⁵

将最近一期与较长历史窗口分开，是为了不把短暂交易压力和中期价格延续混在一个指标里。跳过最近月只是待检验的规则选择，不是删除坏收益的许可：端点必须事先固定，不能看到回测后再决定跳过哪一期。连续月收益用乘积而不是简单相加，是因为后一个月的涨跌作用于前一个月已经变化的本金。

令 $t$ 为月末信息截止时点，$r^{TR}_{i,t}$ 为截至该月末已实现的月度简单总收益率，包含一致处理的分红和公司行动。用 $L$ 表示实际纳入的月度收益数量，$S$ 表示跳过的最近月份数量：

$L,S$ 均为整数。采用 $L=9,S=1$，就复合 $r_{i,t-9},\ldots,r_{i,t-1}$ 这九个月，跳过已知的 $r_{i,t}$。不能仅凭“9 个月动量”标签推定端点；“九个月窗口扣掉最近一个月”只有八个观测，与“九个观测月另跳过一个月”是两种不同定义。

理论评价的随后 $H$ 个月累计收益为：

$H$ 是预测期距，不是回看月数或调仓频率。图 5-3 固定 $L=9,S=1,H=3$；历史区间与随后收益不重叠。

在 $t$ 形成分数时，跳过月份已经实现，预测月份尚未实现。用收盘后数据形成的分数不能按同一收盘价假定成交；上式可以作为信息评价标签，可交易收益则须从下一可执行价格起算，并计入执行延迟。

例：复利与跳过期。 九个纳入月的收益均为 $1\%$，最近跳过月为 $-20\%$，则 $MOM^{9,1}=1.01^9-1=9.3685\%$。把最近月错误纳入会得到 $1.01^9\times0.8-1=-12.5052\%$，不仅改变数值，还会改变股票排序。短期反转分数可另定义为 $REV_{i,t}=-r^{TR}_{i,t}$；是否采用线性反向关系仍须检查两端分组，不能假定跌幅最大的股票必然反弹最多。

2. 风险缩放不等于残差动量#

风险缩放动量（Risk-scaled Momentum）：将历史总收益信号除以相应风险尺度的特征变换：

$\widehat\sigma_{u,i,t}^{(L)}>0$ 是相对指定风险模型、只用截至 $t$ 可得数据估计的 $L$ 个月特质波动率；估计窗口和预测尺度应分别说明。若仅有年化特质波动率 $\widehat\sigma_u^{ann}$，在方差稳定且月度残差不相关的近似下，可用 $\widehat\sigma_u^{ann}\sqrt{L/12}$ 换算；存在自相关或时变波动时不能机械使用平方根缩放。

分母过小会放大噪声，应在训练期固定低波动过滤或尺度下限，并单独处理风险数据缺失。只有分母进行了风险调整，不代表分子已经剔除市场或行业收益。

残差动量（Residual Momentum）：先相对明确的风险模型提取历史特质表现，再用该表现构造的动量信号。它与“总收益除以特质波动率”具有不同分子。

沿用九个月各上涨 1% 的股票，原始动量为 $9.3685\%$。若它和另一只原始动量为 $8\%$ 的股票，九个月特质风险尺度分别为 $18\%$ 和 $6\%$，风险缩放分数分别为 $0.52047$ 和 $1.33333$，排序发生反转。这个变化由分母产生，并没有从第一只股票的历史上涨中扣去市场贡献。

若第一只股票的风险模型在九个纳入月中每月解释了 $0.8\%$，每月剩余就是 $1\%-0.8\%=0.2\%$。采用预先规定的“月度残差相加”规则，九个月残差分数为 $1.8\%$；它不是一项可交易资产的复利总回报，也不能把 $9.3685\%$ 除以风险尺度后称为同一个量。两种构造分别改变尺度和剔除共同收益，比较预测能力时应据同一股票池与未来期限重新计算 IC，而不是因名称含“风险调整”就认定有 alpha。

3. 盈利修正幅度、扩散度与长期增长#

盈利动量（Earnings Momentum）：利用已公开的盈利变化、盈利意外或分析师预测修正，刻画盈利信息变化与后续收益关系的信号家族。分析师预测是当时形成的估计，不是已知的未来盈利。

价格动量不区分股价为何上涨，盈利动量则试图把信息变化限定到盈利前景。对同一未来财年上调预测，表示分析师更新了判断，而不是企业已经实现这笔额外利润。修正幅度和修正广度分别回答“判断改变多少”与“多少分析师同向改变”；某一人的大幅修正与多数人的小幅修正，不能只靠同一个均值区分。

令 $t$ 为决策时点，$K$ 为修正回看月数，$f$ 为固定目标财年。以每股收益（Earnings per Share, EPS）预测构造标准化修正幅度：

分子两项分别为在 $t$ 与 $t-K$ 可得的同一目标财年一致预期均值，$d_{EPS}$ 为当期有效分析师预测的横截面标准差；两者单位均为每股货币，故 $ER$ 无量纲。对同一目标的预测还要统一币种、每股口径和拆股调整。$K=9$ 给出九个月修正；不能将目标财年滚动造成的 FY1 变化误读成盈利上调。

盈利修正扩散度（Earnings Revision Diffusion）：修正方向在有效分析师之间的净扩散比例：

三个计数对应上调、下调和未改变预测的分析师。采用固定目标和可比覆盖集，每名分析师以窗口首尾的有效预测变化分类一次；不能把同一分析师的多次上调当作多名分析师。分母为正时 $ED\in[-1,1]$；无覆盖记缺失。

例：方向广度不同于幅度。 五名分析师中三人上调、一人下调、一人不变，则 $ED=(3-1)/5=0.4$。若同一公司目标财年一致预期从每股 2.00 元升至 2.20 元，当期离散度为 0.25 元，则 $ER=0.20/0.25=0.8$。多数小幅上调可能得到较高扩散度，却不一定产生较大修正幅度。

用于股票排序时，修正幅度与广度也可能给出不同判断。若另一家公司的标准化修正同为 $ER=0.8$，但五名分析师只有一人上调、四人不变，则 $ED=0.2$；按幅度两家公司并列，按扩散度原公司更高。是否重视“幅度”还是“共识广度”应由训练期规则决定，不能把较高扩散度直接解释为更高的未来收益。

同一修正规则也可以应用于长期增长预测：用同口径的一致预期变化除以当期分析师间离散度。例如从 5% 上调至 6%、离散度为 2 个百分点，标准化修正为 $1/2=0.5$；再按第一节的百分位规则与其他股票比较，而不是将百分点变化直接与每股盈利修正相加。长期增长与单一财年盈利不是同一目标，其数据来源相同也不代表提供了独立信息。

一个分析师不能提供有意义的样本离散度；全体预测相同时分母为零。本章教学规则将覆盖不足或离散度为零的标准化修正记为缺失，不使用任意小常数生成极大值。允许使用尺度下限时，须在训练期固定，并报告由下限主导的样本比例。

历史分析师库还可能补录早期预测、改变覆盖集或删除停止覆盖机构。应比较可比分析师集与全体一致预期，区分真实修正和覆盖变化；保留独立缺失组检验数据机制，不能把“未覆盖”当成“没有修正”或天然看空信号。⁶

1. 截面检验与跨期证据#

信息系数（Information Coefficient, IC）：同一决策时点的股票分数与随后指定期限实现收益之间的横截面相关。固定 $t$，让股票 $i$ 在当期合格股票池 $\mathcal U_t$ 中变化：

$s_{i,t}$ 是事前分数，$R_{i,t,H}$ 是在评价期结束后才能观察的 $H$ 期累计总收益。Pearson 相关衡量线性联系，Spearman 相关衡量秩联系；二者不能不加说明地互换。再固定信号规则、沿已经结束的评价期汇总 $IC_t$，才能估计平均水平、波动和均值的不确定性。

继续第一节的四股票现金流分数，仍按从低到高排列为 $(-0.75,-0.25,0.25,0.75)$。另设其随后三个月总收益为 $(-2\%,1\%,3\%,4\%)$，这些收益仅在评价结束后出现。平均收益为 $1.5\%$；分数与收益离均差的乘积和为 $0.05$，两组离均差平方和分别为 $1.25$、$0.0021$，所以 Pearson $IC=0.05/\sqrt{1.25\times0.0021}\approx0.9759$。这是自拟数据的一次评价，不是用这四项未来收益反过来选择现金流口径或排序方向。

同一组分数与收益的排名完全一致，因此秩 IC 为 1，而 Pearson IC 为 $0.9759$：排序全部正确，不表示收益幅度与分数恰成直线。评价排序可以使用前者，核对线性持仓收益则要使用后者。

把第一节已经固定的权重 $(0.10,0.20,0.30,0.40)$ 用在这组随后收益上，纸面总收益为 $0.10(-2\%)+0.20(1\%)+0.30(3\%)+0.40(4\%)=2.5\%$；等权基准为 $1.5\%$，主动收益为 $1.0\%$。主动权重等于 $0.20\mathbf s$，因此还可用第四章的内积关系复算为 $0.20\times0.05=0.01$。这里暂忽略成交延迟、费用与期内交易，不能把该数值当作已实现的可交易净收益。

这一结果区分了分数、预测评价和持仓收益：同一期的高 IC 可以在给定映射下产生主动收益，却没有估计未来收益率，也没有证明跨期稳定性。未来预测仍须用已经完成的历史评价期估计映射，再在新样本检验；这四只股票的持仓则继续作为本节末再平衡计算的起点。

风险调整必须说明具体运算：控制行业、规模和 beta 暴露，除以个股波动率，以及使用完整协方差变换并不是同一处理。原始和风险调整 IC 的比较应保持股票池与期限一致，方法沿用第 4 章。IC 均值除以其跨期标准差得到的稳定性指标，也不等于投资组合的信息比率。

Qian、Hua 与 Sorensen（2007）的价值实验采用 1986—2004 年历史 Russell 3000 股票池，剔除金融行业，在行业内作百分位排序，以随后三个月收益评价，并按季度再平衡。该设定下，现金流价值比率的预测表现强于账面市值比，已报告盈利比率的表现优于下一财年预测盈利比率；这是指定样本的比较结果，不能推出“预测盈利必然劣于历史盈利”。⁷

质量实验的经营竞争力指标大体表现为正向关系，应计、资产扩张和融资指标需要分别处理方向及非单调性；动量实验注明 1987—2004 年，且没有采用价值与质量实验的行业内排名，因此同时包含行业与个股动量。质量部分的不同图表未给出一致的起止期，不能将它们拼接为统一样本的精确比较，更不能据此认定质量在所有市场状态下更稳定。⁸

这些历史结果提供方法和假设，不替代新的样本外评价。没有证券级时点数据时，无法重新估计相应检验，也不能用自拟曲线补造历史 IC 分布。

2. 分位数组合、缺失组与非线性#

分位数组合（Quantile Portfolio）：在决策时点按因子分数分组、依预定权重持有随后收益区间的诊断组合。以等权组相对等权全股票池的主动收益为例：

$\mathcal Q_{q,t}$ 是第 $q$ 组、$n_{q,t}$ 是组内股票数，$N_t$ 是全池股票数；所有分组均由 $t$ 的信息形成。这里的基准是等权全池，不是无风险利率或市值加权指数；收益差也未经自动风险调整。

将前述四只股票按期初分数分为低、高两组，每组两股等权，随后组收益为 $(-2\%+1\%)/2=-0.5\%$ 和 $(3\%+4\%)/2=3.5\%$。相对等权全池的 $1.5\%$，两组主动收益分别为 $-2\%$、$2\%$。这和原来 $1\%$ 的持仓主动收益并不矛盾：分组诊断换了一套权重，同一预测排序可以被表达成不同组合。

股票更多时，应观察全部分组，区分单调关系、仅一端有效和中间区间最佳。若高分组稳健、低分组不显著，多空对称持仓就缺少依据；若极低资本开支不及适度开支，用最低分位代表最高质量可能损失信息。

中间组异常时，先检查缺失补值、并列排名、分组边界、公司行动和分析师覆盖。把缺失值填为零或均值可能使某一组成为数据缺口的混合物。剔除该组前后还需检查股票池和退市覆盖变化，不能把清洗后更好的结果当成无需验证的改进。

IC 的均值、偏度和分位数描述预测相关的跨期分布；组合收益还取决于权重、风险和市场离散度。IC 分布正偏不推出投资组合收益正偏，也不意味着尾部损失较小。

3. 分数相关、IC 相关与方向翻转#

单独有效的两个信号，合起来未必增加同样多的信息。若它们总是看好同一批股票，组合会重复下注；即使选股不同，也可能同时在某些市场阶段失效。前一个问题比较股票分数，后一个问题比较逐期预测成效，因而需要沿股票与时间两个不同维度计算相关。对因子 $a,b$：

前者检验同一时点两项信号是否给股票相似的排序；后者检验其预测效果是否在相同评价期共同改善或恶化。它们既不是因子组合收益相关，也不是资产收益协方差矩阵。分数相关较低不保证 IC 相关较低，两种相关性的大小也没有无条件排序。

合成前应统一为“越高越看多”的方向。对原始负向因子 $b$ 令 $s^{b,+}=-s^b$，在同样本和同一相关口径下：

例如，两项原始指标平均 IC 异号，而 IC 序列相关为 $0.4$，翻转负向指标后相关变为 $-0.4$。这提示潜在互补，但组合是否改善仍取决于各项技能、分数相关、估计误差和成本；不能只凭相关符号决定权重。多因子组合的计算见第 7 章。

4. 同期状态解释与实时择时#

条件因子评价（Conditional Factor Evaluation）：在预先说明的市场或公司状态下比较信号有效性。令 $G_t$ 为状态标签，按组比较 $E(IC_t\mid G_t=g)$ 可以识别样本中的条件差异，但必须区分标签何时可得。

同期增长相对价值收益、市场涨跌、利率变动和信用利差变化，只在相应收益区间结束后完整可知。用这些量对同一期 IC 分组属于事后归因，不是期初可执行的择时。因子与状态可能由共同冲击驱动，或包含相似持仓，不能将组间差异直接解释为因果关系。

历史状态比较呈现了不同的敏感方向：价值信号在价值风格占优的分组中通常更强；盈利能力指标在增长风格占优时可能更受重视，而较激进的资产扩张在风格转向价值时可能受到更大惩罚；动量的表现也随风格、利率和信用环境变化。这些方向限定于相应历史分组，不是当前可直接使用的暴露切换规则。⁹

组间均值的 F 检验以“各组均值相等”为原假设，并非一般的方差相等检验。若 IC 序列有异方差、自相关或重叠评价期，应使用与依赖结构匹配的稳健推断；不能直接搬用独立同方差样本的显著性。

实时择时必须用 $\mathcal F_t$ 中的状态或状态预测，且分组阈值、模型权重与窗口只由允许的训练信息确定。按时间划分训练、验证和测试集时，还应检查前瞻收益标签跨越边界的情况；非重叠季度标签减少机械重叠，却不保证季度观察相互独立。反复观察测试集挑选最优状态，会使测试集失去独立检验资格。

5. 信号持久性、换手与净结果#

截面因子自相关（Cross-sectional Factor Autocorrelation, CFA）：相邻决策时点同一因子分数在可比股票之间的相关：

股票进入或退出、风险暴露变化和缺失覆盖也要单独记录。高 $CFA$ 表示可比股票的分数相对持久，不能直接推出低组合换手；风险模型、约束变化和价格漂移都会影响交易。

在无外部申赎、现金与杠杆口径一致且买卖金额相等的情况下，单边换手率定义为：

$w^{pre}$ 为已经计入市场漂移的交易前权重，$w^{tgt}$ 为目标权重。求和范围须包含所有被交易的证券；不能只保留相邻股票池的交集，从而漏记新增和清仓。半倍绝对交易量在买卖不平衡、存在资金流或特殊衍生品口径时需要另作解释，不能统一称为“替换持仓比例”。

继续前述四股票持仓。假定期间没有分红、外部资金流和主动交易，收益来自价格变化；到下一次决策时，四股分数恰好仍为 $(-0.75,-0.25,0.25,0.75)$，所以 $CFA=1$，目标权重仍为 $(0.10,0.20,0.30,0.40)$。但旧持仓的价值已变成 $(0.098,0.202,0.309,0.416)$，总净值为 $1.025$；必须先除以这个新净值，再与目标相减：

按未舍入数值计算，买入和卖出权重各为 $0.00731707$，故单边换手为 $0.731707\%$，不是零。$CFA=1$ 只说明信号排序未变，不能免除因价格漂移产生的再平衡；此时已经结束的收益用于新的交易起点，不是回填到原始选股日。

例：毛收益优势可以被换手抵消。 两项自拟策略在同一季度、同一风险与杠杆口径下，毛主动收益分别为 $1.0\%$ 和 $1.3\%$，单边换手分别为 $0.5$ 和 $2.0$。假设每单位绝对成交金额成本为 $c=0.10\%$，忽略成本与期内收益相互作用的近似为：

两项策略成本分别为 $0.10\%$ 和 $0.40\%$，净主动收益均为 $0.90\%$。第二项毛收益更高，但没有增加该例的净收益；此处没有把季度换手年化，也未计入非线性冲击、借券或容量。

同一个成本计量方式用于前面的四股再平衡，费用约为 $2\times0.001\times0.00731707=0.0000146341$，即本次净值的 $0.00146341\%$。它属于下一次再平衡的费用，不能直接扣在之前已经结束的季度主动收益上；持续回测需要把每笔费用放到实际发生的期段，再计算净收益与净信息比率。

估值水平通常变化较慢，动量可能需要较快更新，质量中的报表差分指标也可能快速改变排序；实际换手由构造与持仓共同决定。信号进入组合前，应在共同风险、交易时点和股票池规则下验证样本外增量，检查收益是否集中于不可交易股票或少数时期，并把价差、冲击、借券、容量和约束后的预测传递一并纳入净效用比较。