投资组合理论与实践

1. 利率口径与均衡利率#

• 名义利率（Nominal Interest Rate）：货币金额本身的增长率，不扣除通货膨胀。
• 实际利率（Real Interest Rate）：扣除通货膨胀后购买力的增长率，反映利息真正增加了多少可购买商品与服务。

二者的精确费雪关系为：

其中：

• $r_n$：指定期间的名义利率。
• $r_r$：同一期间的实际利率。
• $\pi$：同一期间的通货膨胀率。

低利率和低通胀下可使用 $r_r\approx r_n-\pi$，但近似式会高估实际利率。事前决策使用预期通胀率 $E(\pi)$；即使名义现金流没有违约风险，未来实际收益仍会因通胀不确定而有风险。

若利息按名义收入征税，税收调整后的实际收益关系为：

其中，$r_{r,\mathrm{after}}$ 为税后实际收益率，$t$ 为适用于名义利息收入的边际税率。

通胀上升不仅降低购买力，还会扩大对名义利息征税造成的实际负担；税制、账户类型和可扣除项目不同时，应重新计算现金流口径。

均衡实际利率由资金供求共同决定：

• 资金供给向上倾斜：实际利率上升提高延期消费的回报，储蓄供给增加。
• 资金需求向下倾斜：实际利率下降使更多实物投资项目达到必要收益率，融资需求增加。
• 政府与中央银行：财政赤字增加通常提高资金需求；货币政策可以改变短期资金条件，但不能机械地保证长期实际利率按同一幅度变化。
• 预期通胀：在实际利率不变的近似下，预期通胀每上升一个百分点，名义利率也上升约一个百分点；实际利率和风险溢价同时变化时，名义利率不会只反映通胀。

有效年利率（Effective Annual Rate, EAR） 是计入年内复利后，一单位本金在一年中的实际增长率。不同持有期的收益必须先统一到相同复利口径；当累计财富倍数 $1+r(T)>0$ 时：

其中：

• $EAR$：计入复利后的有效年利率。
• $r(T)$：持有 $T$ 年的累计总收益率。
• $T$：以年计的持有期限。

年百分率（Annual Percentage Rate, APR） 是把每期利率按一年期数线性放大的报价利率，本身不计年内复利。若年内各计息周期等长，且每期利率为 $APR/m$：

其中，$APR$ 为不计年内复利的年百分率，$m$ 为每年的复利次数。

连续复利收益率（Continuously Compounded Return） 假设复利频率趋于无穷，可跨期直接相加。其年收益率为 $r_{cc}=\ln(1+EAR)$，持有 $T$ 年的总收益率为 $e^{r_{cc}T}-1$；给定正的 $APR$ 时，复利频率越高，$EAR$ 越高并趋近于 $e^{APR}-1$。

2. 持有期收益、期望收益与风险溢价#

持有期收益率（Holding-period Return, HPR） 是投资者在一个持有期内取得的价格变化与现金分配之和相对于期初价格的比率，即每投入一单位本金实际赚取或损失的比例：

其中：

• $r$：单个持有期的总收益率。
• $P_0$：期初除息价格。
• $P_1$：期末除息价格。
• $D_1$：持有期内取得的现金分配。

该式把现金分配视为期末取得；若现金较早收到并再投资，完整收益还应计入再投资收入。

• 期望收益率（Expected Return）：基于事前信息对各种可能收益率进行概率加权，表示重复面对同一分布时的平均结果，不承诺单次实现。
• 方差与标准差（Variance and Standard Deviation）：衡量收益率围绕期望值的离散程度；方差使用偏差平方，标准差与收益率具有相同单位。

离散情景下二者为：

其中：

• $s$：收益情景下标。
• $r(s)$：情景 $s$ 下的收益率。
• $p(s)$：情景 $s$ 的发生概率，全部情景的概率之和为 $1$。
• $E(r)$：收益率的事前期望。
• $\sigma^2$：收益率的方差；$\sigma$ 为相应标准差。

$E(r)$ 不一定是任何一个实际可能结果。提高高收益情景的概率或收益会提高 $E(r)$；把结果向均值两侧拉开会提高 $\sigma$，但结果取决于概率和均值是否同时变化。

• 超额收益（Excess Return）：资产收益率减去同期、同口径无风险收益率的差额，$R=r-r_f$；使用实现收益率时，它是事后结果。
• 风险溢价（Risk Premium）：资产相对无风险资产的事前预期超额收益，$E(R)=E(r)-r_f$；在均衡定价下，它是投资者承担风险所要求的补偿，不是每期都能实现的额外收益。

高风险资产只有提供足够高的事前风险溢价才会被风险厌恶者持有，但更高风险不保证更高的事后实现收益。

夏普比率（Sharpe Ratio） 是预期或样本平均超额收益与总波动率之比，用来衡量完整组合每承担一单位总风险获得多少超额收益：

其中，$S$ 为夏普比率，$\sigma_R$ 为超额收益的标准差；当 $r_f$ 在样本期内固定时，$\sigma_R=\sigma_r$，$\sigma_r$ 为总收益率 $r$ 的标准差。比较夏普比率时，期间、币种、费用、无风险利率和年化方法必须一致；它适合评价完整的分散化组合，不适合单独判断一只证券对现有组合的增量价值。

3. 时间序列、平均收益与年化#

历史收益是已实现的时间序列，不等于投资者当时的概率预测。算术平均收益率（Arithmetic Mean Return） 是各期收益率的简单平均，常用于估计同分布假设下的下一期平均收益：

其中：

• $\bar r_A$：样本内单期简单收益率的算术平均。
• $r_t$：第 $t$ 期实现的简单收益率。
• $t$：观察期下标。
• $n$：样本包含的观察期数。

几何平均收益率（Geometric Mean Return） 是使初始财富经过相同期数后达到实际期末财富的固定复合收益率，用来描述样本期内的实际增长速度：

其中，$\bar r_G$ 为样本期间的单期几何平均收益率。

除各期收益完全相同外，$\bar r_G<\bar r_A$，且波动越大，两者差距通常越大。对波动不大的简单收益，常用近似为：

该式不是任意收益分布下的恒等式，收益必须使用小数口径。连续复利收益可直接跨期相加，因此更适合处理多期复合。

用样本均值替代未知总体均值时，无偏样本方差使用 $n-1$ 个自由度：

其中，$\hat\sigma^2$ 为单期收益率的无偏样本方差估计量。

在各期收益同分布、方差稳定且序列不相关时，可按下式年化：

其中：

• $m_{\mathrm{obs}}$：一年包含的收益观察期数。
• $\bar r_{A,\mathrm{period}}$、$\bar r_{A,\mathrm{ann}}$：周期算术平均收益率及其年化近似值。
• $\sigma_{\mathrm{period}}$、$\sigma_{\mathrm{ann}}$：周期收益率标准差及其年化值。
• $S_{\mathrm{period}}$、$S_{\mathrm{ann}}$：周期夏普比率及其年化值。

存在自相关、波动聚集或分布变化时，平方根时间法则会失真。提高观察频率通常有助于估计波动率，却不会替代更长且仍具代表性的样本期来估计均值。

序列相关（Serial Correlation） 衡量当前收益与过去收益之间的线性关系。自协方差与自相关系数定义为：

其中：

• $R_t$：第 $t$ 期的超额收益。
• $k$：滞后期数。
• $\gamma_k$：$R_t$ 与 $R_{t-k}$ 的 $k$ 阶自协方差；$\gamma_0$ 为单期方差。
• $\rho_k$：$k$ 阶自相关系数。

对连续复利收益，或把短周期简单收益近似为可加收益时，累计收益的方差为：

其中，$L$ 为累计收益覆盖的期数。

只有各阶自协方差均为零时，$L$ 期累计方差才是单期方差的 $L$ 倍，累计标准差才是单期标准差的 $\sqrt L$ 倍。正自相关提高长期累计方差，负自相关降低长期累计方差；但原始无风险利率具有持续性并不违反市场有效性，市场有效性关注的是在给定信息下能否系统预测未预期的超额收益。

4. 正态分布与尾部风险#

正态分布（Normal Distribution） 是由均值和标准差完全刻画的对称钟形分布，约 $68\%$、$95\%$ 和 $99.7\%$ 的结果分别位于均值的 $1$、$2$ 和 $3$ 个标准差以内。多项资产进一步服从联合正态分布（Joint Normal Distribution） 时，其线性组合仍为正态分布，任意两项收益的依赖关系可由相关系数完整刻画；只有各资产边际分布分别正态并不足以推出这些结论。

实际收益常偏离正态分布：

• 偏度（Skewness）：衡量收益分布的不对称程度；负偏度表示左尾更长或更重，极端亏损比对称分布更突出。
• 超额峰度（Excess Kurtosis）：衡量收益分布相对正态分布的尾部厚度；正值表示极端正负结果出现得更频繁。
• 标准差的限制：标准差对上行和下行偏离同等惩罚；对基准考核组合，这种对称性可能合理，但对只关心资本损失的投资者并不完整。

设收益分布的左尾概率为 $\alpha$，其分位点为 $q_\alpha(r)$。在正态假设下：

其中，$z_\alpha$ 为标准正态分布的左尾 $\alpha$ 分位点。

在险价值（Value at Risk, VaR） 是指定持有期和置信水平下通常不会被超过的损失阈值；等价地，损失超过该值的概率不高于给定尾部概率。若组合价值为 $W$ 且 $q_\alpha(r)<0$，以正数表示的金额损失可写为 $\operatorname{VaR}_{1-\alpha}\approx-Wq_\alpha(r)$；VaR 只标记尾部入口，不说明越过阈值后还会损失多少。

预期损失（Expected Shortfall, ES） 是损失已经超过 VaR 阈值时的条件平均损失，用来衡量“最坏尾部中平均会损失多少”：

下行偏差（Downside Deviation） 只把低于目标收益率 $\tau$ 的结果计入风险，避免把高于目标的波动也视为坏事；索提诺比率（Sortino Ratio） 则衡量每单位下行偏差对应的目标超额收益：

其中，$DD_\tau$ 为相对目标收益率 $\tau$ 的下行偏差，$\operatorname{Sortino}$ 为相应的索提诺比率。

VaR、ES 和下行偏差仍依赖样本、分布与流动性假设。压力情景、非线性头寸和相关性突变不能仅靠一个历史统计量覆盖。

5. 历史记录能告诉我们什么#

原书使用 1926—2012 年美国股票月度数据，并按经济环境划分子样本；还以 1900—2000 年的 16 个发达国家比较长期实际收益。这些数据的价值在于揭示估计规律，而不是提供今天可直接套用的参数：

• 风险溢价是长期平均，不是逐期承诺：美国股票在完整样本中实现了正的平均超额收益，但均值的估计误差很大，不同子样本的平均收益、波动率和夏普比率明显变化。
• 高实现收益必须和风险一起解释：小盘、价值组合在部分历史区间收益较高，同时波动和尾部风险也可能更高；历史排序不能单独证明未来存在同样的风险溢价。
• 正态模型可用但不完备：股票收益在中部区间可由正态分布近似，实际负向三倍标准差事件却更频繁，实际 ES 通常也比同均值、同方差的正态模型更差。
• 国家样本存在历史路径依赖：战争、制度和幸存者选择会影响长期记录。美国经验并非无条件代表全球，也不能把单一国家的成功历史视为无偏预测。

6. 长期收益与风险口径#

在独立且同分布的连续复利收益假设下，$L$ 期累计超额收益的期望按 $L$ 增长，标准差按 $\sqrt L$ 增长。因此，累计收益低于无风险收益的概率可能随期限延长而下降。

这不等于长期风险自动消失。期末财富由各期总回报相乘，通常呈偏斜分布；期限越长，可能结果的金额区间和极端亏损规模仍可能扩大。评价长期风险必须同时考察短缺概率、短缺金额、负债时点与再平衡能力。

1. 风险态度、效用与确定等价收益率#

• 风险厌恶（Risk Aversion）：面对相同期望收益时偏好风险更低的方案，只有获得正的预期风险补偿才愿意承担额外风险。
• 风险中性（Risk Neutrality）：只比较期望收益，不因收益分布更分散而要求额外补偿。
• 风险偏好（Risk Seeking）：在相同期望收益下偏好结果更不确定的方案，甚至愿意接受没有风险补偿的公平博弈。
• 投机（Speculation）：在主观判断存在正风险溢价时主动承担风险，以争取与风险相称的预期收益。
• 赌博（Gambling）：在没有相应预期补偿时仍接受不确定结果；它与投机的区别在于事前收益判断，而不是事后盈亏。

均值—方差效用（Mean-variance Utility） 用预期收益减去方差的风险惩罚来比较组合，使收益与风险能够用同一效用数值权衡；这一简化要求收益近似正态或投资者具有二次效用：

其中：

• $U$：待评价的完整组合 $C$ 的均值—方差效用，以确定等价收益率口径表示。
• $E(r_C)$：组合 $C$ 的预期收益率。
• $\sigma_C^2$：组合 $C$ 的收益率方差。
• $A$：投资者的风险厌恶系数。

收益率必须使用小数。$A>0$ 时，预期收益提高会增加效用，方差提高会降低效用；$A$ 越大，同一方差受到的惩罚越强。

均值—方差支配（Mean-variance Dominance） 表示一个组合的预期收益不低于另一个组合、风险不高于另一个组合，且至少一项严格更优；风险厌恶者不会选择被支配组合。$1/A$ 可视为该局部模型中的风险容忍度；$A=0$ 对应风险中性，$A<0$ 对应偏好方差，但后二者不宜机械套用风险厌恶者的最优配置公式。

确定等价收益率（Certainty-equivalent Rate） 是与某项风险组合带来相同效用的确定收益率，即投资者在“确定获得它”和“持有该风险组合”之间恰好无差异。风险厌恶者的确定等价收益率低于组合期望收益，两者之差为风险惩罚 $A\sigma_C^2/2$。

无差异曲线（Indifference Curve） 连接所有能为投资者带来相同效用的预期收益—风险组合；曲线上的位置不同，但投资者没有偏好差异。给定效用水平 $U_0$：

其中，$U_0$ 为该条无差异曲线所代表的固定效用水平。

曲线向右上方凸起，斜率为 $A\sigma_C$；风险越高，需要越多预期收益补偿。$A$ 越大，无差异曲线越陡。

2. 无风险资产与完整组合#

无风险资产（Risk-free Asset） 是在指定币种和持有期内，名义到期支付可以事先确定且不存在违约不确定性的资产，因此必须相对于币种、期限和收益口径定义。期限匹配并持有至到期的短期政府债务常被用作名义无风险资产，但仍有通胀风险；银行存款、商业票据和货币市场基金还可能包含信用、费用或流动性风险。

完整组合（Complete Portfolio） 是投资者最终持有的全部财富组合，由风险资产组合 $P$ 与无风险资产 $F$ 共同构成，区别于只包含风险资产的 $P$。其收益为：

其中：

• $r_P$：风险组合 $P$ 的收益率。
• $r_f$：与投资期限匹配的无风险收益率。
• $y$：财富配置于 $P$ 的比例；$1-y$ 为配置于 $F$ 的比例。

当 $y\ge 0$ 时，其期望收益和标准差为：

其中，$\sigma_P$ 为风险组合 $P$ 的收益率标准差。

$0<y<1$ 表示部分财富配置于无风险资产；$y=1$ 表示全部持有风险组合；$y>1$ 表示借款并加杠杆；$y=0$ 表示全部持有无风险资产。若允许 $y<0$，标准差的一般形式为 $\sigma_C=|y|\sigma_P$。

组合内资产 $i$ 在风险组合 $P$ 中的权重记为 $w_i^P$，在完整组合中的最终权重为 $y w_i^P$。因此，资本配置按同一比例缩放全部风险资产权重，不改变风险组合内部的相对构成。

3. 资本配置线与杠杆#

资本配置线（Capital Allocation Line, CAL） 是固定风险组合 $P$ 与无风险资产按不同比例配置所形成的预期收益—标准差直线；它表示风险组合内部权重不变时，投资者可以选择的全部风险规模。消去 $y$ 后：

CAL 的纵轴截距为 $r_f$，斜率为风险组合 $P$ 的夏普比率。若借贷利率相同且组合权重线性缩放，沿同一条 CAL 移动只改变风险规模，夏普比率不变。

加杠杆（Leverage） 是通过借款或等效头寸使风险资产敞口超过自有财富；此时 $y>1$、无风险资产权重 $1-y<0$，风险组合的超额收益与波动率均按 $y$ 放大。杠杆既放大盈利也放大亏损，借款利息不因风险资产表现不佳而消失。

现实中借款利率 $r_f^B$ 通常高于贷出利率 $r_f^L$。此时 CAL 在 $P$ 点右侧的斜率变为 $[E(r_P)-r_f^B]/\sigma_P$，低于左侧斜率，机会集形成折线；保证金约束、融资波动和强制平仓还会进一步限制可行区间。

4. 最优资本配置#

给定风险组合 $P$，投资者选择 $y$ 最大化均值—方差效用：

在允许以同一无风险利率借贷且没有权重约束时，一阶条件给出：

其中，$y^*$ 为使效用最大化的风险组合配置比例。

最优风险资产比例随风险溢价上升而上升，随风险厌恶系数或风险组合方差上升而下降。若计算得到 $y^*>1$，理论解使用杠杆；若不允许借款、卖空或存在上下限，应把约束纳入优化，而不是直接套用无约束结果。

图形上，最优完整组合 $C^*$ 是投资者能够达到的最高无差异曲线与 CAL 的切点。面对同一风险组合和无风险利率，较厌恶风险的投资者选择更靠近纵轴的位置，风险承受能力较高者选择更靠右的位置。

5. 被动策略与资本市场线#

被动策略（Passive Strategy） 不依靠个股错误定价，而是低成本持有广泛分散的指数投资组合，并根据风险偏好配置无风险资产。其合理性来自主动研究和交易并非免费，以及竞争性交易会使明显错误定价更难持续。

资本市场线（Capital Market Line, CML） 是由无风险资产与均衡市场组合形成的 CAL，描述有效完整组合的预期收益率与总风险关系，不适用于任意单项证券。本章讨论被动策略时可用广泛市场指数近似市场组合，但指数代理并不等同于理论市场组合。

被动管理不等于风险低或收益确定。指数仍承担系统性风险；跟踪误差（Tracking Error） 是组合相对基准主动收益的标准差，衡量偏离是否稳定，而非某一期收益差额。费用、税收、抽样和再平衡规则都会形成跟踪偏离。

1. 组合权重与组合收益#

组合权重（Portfolio Weight） 是某项资产期初市场价值占组合期初总价值的比例，决定该资产对当期组合收益与风险的贡献。对完全投资的组合：

其中：

• $n$：组合包含的资产数量。
• $i$：资产下标，取值为 $1$ 至 $n$。
• $w_i$：资产 $i$ 的期初市值权重；允许卖空时可以为负。

组合的实现收益和期望收益都是权重加权平均：

其中：

• $r_i$：资产 $i$ 的单期实现收益率。
• $r_P$：组合 $P$ 的同期实现收益率。
• $E(r_i)$、$E(r_P)$：资产 $i$ 与组合 $P$ 的事前预期收益率。

当期收益应使用期初权重。价格变动后，权重漂移为：

其中，$w_{i,0}$ 与 $w_{i,1}$ 分别为资产 $i$ 在期初和期末、再平衡前的市值权重。

相对表现较好的资产权重会上升。再平衡（Rebalancing） 是通过买卖资产把漂移后的实际权重恢复至目标权重，以维持既定风险暴露；它通常卖出相对上涨资产、买入相对下跌资产，但会产生交易成本和税负，也不保证提高收益。

2. 协方差、相关系数与两资产组合#

• 协方差（Covariance）：衡量两项收益相对各自均值是否同向变动；正值表示倾向同向，负值表示倾向反向，但数值大小受两项收益波动尺度影响。
• 相关系数（Correlation Coefficient）：把协方差标准化到 $[-1,1]$，用于比较不同比例和波动尺度下线性共同变动的方向与强弱。

协方差定义为：

其中，$\operatorname{Cov}(r_1,r_2)$ 为资产 1 与资产 2 收益率的协方差。

在离散情景 $s$ 下，设发生概率为 $p(s)$、资产 $i$ 的收益率为 $r_i(s)$，且 $\sum_s p(s)=1$。资产与自身的协方差为：

其中，$\sigma_i^2$ 为资产 $i$ 收益率的方差，$\sigma_i$ 为相应标准差。两个偏离项来自同一资产，因此其乘积就是偏离的平方。

两项资产的协方差矩阵为：

因此，对角线是各资产自身的方差，两个非对角线元素是同一协方差。两资产组合满足 $w_2=1-w_1$，其收益率相对均值的偏离为：

方差是上述偏离平方的期望。展开后，每个协方差矩阵元素分别乘以对应的行、列权重：

其中，$\sigma_P^2$ 为两资产组合 $P$ 的收益率方差。由于资产与自身的协方差等于方差，且 $\operatorname{Cov}(r_1,r_2)=\operatorname{Cov}(r_2,r_1)$，两个交叉项合并后出现系数 $2$。

将这一关系代入组合方差，得到常用形式：

组合标准差通常不是单项标准差的加权平均。相关性只影响风险，不直接改变组合期望收益；当 $w_1,w_2\ge0$ 时，$\rho_{12}$ 越低，给定权重下组合方差越低，分散化收益越大。

设两项资产的标准差均大于零。在横轴为 $\sigma_P$、纵轴为 $E(r_P)$ 的收益—风险图中，相关性的边界与内部情形为：

• $\rho_{12}=1$：$\sigma_P=|w_1\sigma_1+w_2\sigma_2|$。非负权重下没有分散化收益；若允许卖空与杠杆且 $\sigma_1\ne\sigma_2$，取 $w_1=\sigma_2/(\sigma_2-\sigma_1)$、$w_2=-\sigma_1/(\sigma_2-\sigma_1)$，机会集可在 $\sigma_P=0$ 处与纵轴相交。
• $-1<\rho_{12}<1$：任意满足 $w_1+w_2=1$ 的组合都有 $\sigma_P>0$；即使允许卖空，弯曲的机会集也无法与纵轴相交。其中，$\rho_{12}=0$ 只表示没有线性相关，不代表统计独立，仍可能存在非线性或尾部依赖。
• $\rho_{12}=-1$：$\sigma_P=|w_1\sigma_1-w_2\sigma_2|$，取 $w_1=\sigma_2/(\sigma_1+\sigma_2)$、$w_2=\sigma_1/(\sigma_1+\sigma_2)$，无需杠杆即可使组合方差为零。

3. 全局最小方差组合与机会集#

全局最小方差组合（Global Minimum-variance Portfolio, GMV） 是全部可行组合中方差最低的组合，不预先指定目标收益率；它是最小方差边界的最左端点。允许卖空时，利用 $w_2=1-w_1$ 可把两资产组合方差写成关于 $w_1$ 的函数：

对 $w_1$ 求一阶导并令其为零：

整理一阶条件：

因此，全局最小方差组合的权重为：

其中，$w_i^{GMV}$ 为资产 $i$ 在全局最小方差组合中的权重。

二阶导数为：

当 $\operatorname{Var}(r_1-r_2)>0$ 时，二阶导数为正，上述驻点是唯一最小值。将最优权重代回方差式可得：

其中，$\sigma_{GMV}^2$ 为全局最小方差组合的收益率方差。若 $\operatorname{Var}(r_1-r_2)=0$，两项资产的随机波动完全相同，最小方差权重不唯一，不能使用分母为零的权重公式。

若禁止卖空且无约束解超出 $[0,1]$，最小方差解位于可行边界。最小方差组合只追求最低方差，不一定提供最高夏普比率，也不一定具有高预期收益。

投资可行集（Portfolio Opportunity Set） 又称组合机会集，是在给定资产参数和权重约束下，通过改变资产权重能够形成的全部预期收益—风险组合；它回答“现有资产最多能提供哪些选择”。

在均值—方差框架中，风险厌恶投资者偏好图中的西北方向：向左表示风险更低，向上表示预期收益更高。

比较不同 $\rho_{12}$ 对应的可行集时，若两项资产的预期收益率和标准差不变，相关系数下降会使非负权重对应的曲线向左弯曲，分散化收益随之增加：相同预期收益可由更低风险实现，有效部分也能在可比风险水平下提供更高预期收益。资产预期收益改变主要影响纵向位置，波动率和相关系数改变曲线形状。

4. 马科维茨模型与有效前沿#

对多项风险资产，组合方差可写成矩阵形式：

其中：

• $\boldsymbol\Sigma$：收益率协方差矩阵，第 $(i,j)$ 个元素为 $\operatorname{Cov}(r_i,r_j)$。
• $\mathbf w$：由各资产权重构成的 $n$ 维列向量。
• $\mathbf w^\top$：$\mathbf w$ 的转置。
• $j$：协方差矩阵列下标和内层求和下标，取值为 $1$ 至 $n$。

马科维茨均值—方差模型（Markowitz Mean-variance Model） 根据资产的预期收益、方差与协方差选择组合：对每一个目标预期收益寻找方差最低的权重，并由这些解识别最小方差边界与有效前沿。给定目标收益 $\mu^*$：

其中，$\boldsymbol\mu$ 为由各资产预期收益率 $E(r_i)$ 构成的 $n$ 维向量，$\mu^*$ 为给定的目标组合预期收益率，$\mathbf 1$ 为元素均为 $1$ 的 $n$ 维列向量。

从两资产到多资产，几何形态的变化来自独立权重数量。两资产满足 $w_1+w_2=1$，只有一个权重可以独立变化，因此在权重空间是一条直线，在 $[\sigma_P,E(r_P)]$ 平面映射为一条一维轨迹，通常是曲线而非直线。

$n$ 项资产在 $\sum_iw_i=1$ 后仍有 $n-1$ 个独立权重；当 $n\ge3$ 时，多个权重组合通常会在收益—风险平面填充成一个区域。对每个目标收益 $\mu^*$ 求最小方差，就是从该区域中找出最靠左的点。

• 最小方差边界（Minimum-variance Frontier）：连接每个目标收益率下方差最低的组合，包含全局最小方差组合上下两部分。
• 有效前沿（Efficient Frontier）：最小方差边界中位于全局最小方差组合以上的部分；其上任一组合都不存在同风险更高收益或同收益更低风险的替代组合。

加入收益率为 $r_f$ 的无风险资产后，从 $r_f$ 出发且与有效前沿相切的直线斜率最高；$r_f$ 必须与风险资产的期限和收益口径一致。最优风险资产组合（Optimal Risky Portfolio） 是该切点 $P^*$ 对应的风险组合，即与无风险资产搭配时理论夏普比率最高的风险组合。

无卖空和借贷约束时，切点组合权重可写为：

其中，$\mathbf w_{P^*}$ 为切点组合 $P^*$ 的权重向量，$\boldsymbol\Sigma^{-1}$ 为协方差矩阵的逆矩阵。

预期收益、协方差或 $r_f$ 改变都会移动切点；均值估计误差会被矩阵求逆放大，使无约束权重极端且不稳定。卖空限制、最低持仓、交易成本与估计稳健化会改变有效前沿和最优组合。

5. 分离定理与完整组合#

分离定理（Separation Theorem） 把投资决策分为两步：

1. 证券选择：根据共同的预期收益、协方差和无风险利率，确定切点组合 $P^*$。
2. 资本配置：根据投资者的风险厌恶程度，选择投向 $P^*$ 的财富比例 $y^*$，其余 $1-y^*$ 投向无风险资产。

若投资者面对相同输入、可按同一无风险利率借贷且没有额外约束，他们持有相同的风险组合 $P^*$，但完整组合不同。若 $w_i^{P^*}$ 表示资产 $i$ 在 $P^*$ 中的权重，则该资产在完整组合中的最终权重为 $y^*w_i^{P^*}$，无风险资产权重为 $1-y^*$。

若投资者对预期收益看法不同，或面对不同税率、负债、借款利率、卖空约束与不可交易资产，切点组合也可能不同，简单分离结论不再完整成立。

6. 分散化、系统性风险与非系统性风险#

分散化（Diversification） 是把财富配置于多项不完全同步波动的资产，以降低公司特有冲击对组合的影响；其效果来自相关性与权重分散，而不只是证券数量增加。对等权重组合，方差可以分解为：

其中，$\bar\sigma^2$ 为各资产收益率方差的横截面平均值，$\overline{\operatorname{Cov}}$ 为所有不同资产对收益率协方差的平均值。

若每项资产的标准差均为 $\sigma$、两两相关系数均为 $\rho$，则：

证券数量增加时，第一项按 $1/n$ 下降，但共同变动造成的协方差项不会自动消失。新增证券早期的边际降险通常最大，之后逐渐减弱；只增加高度相关的证券，分散化效果有限。

• 非系统性风险（Nonsystematic Risk）：来自公司、产品或项目特有事件，可通过持有许多不过度相关的证券降低。
• 系统性风险（Systematic Risk）：来自经济周期、利率和通胀等共同因素，会使大量资产同时波动，不能仅靠增加证券数量消除。

因此，分散化可以在不机械降低加权平均预期收益的情况下减少非系统性风险，但不保证危机期相关性稳定。在 CAPM 的均衡条件下，只有不可分散的系统性风险获得风险溢价；这一结论依赖模型，而不是由分散化公式单独推出。

7. 风险聚合、风险分担与长期投资#

风险聚合（Risk Pooling） 是把更多相互独立的风险项目加入总头寸。若每个项目的风险预算不变，项目数从 $1$ 增至 $n$ 时，期望收益按 $n$ 增长、标准差按 $\sqrt n$ 增长；平均结果更可预测、夏普比率提高，但总金额风险仍然上升。

风险分担（Risk Sharing） 在增加项目的同时，把固定总风险预算分散到更多项目或投资者。等额分配到 $n$ 个独立项目时，固定规模组合的非系统性标准差按 $1/\sqrt n$ 下降。保险的降险来自风险聚合与风险分担共同作用，而不是无限增加承保规模。

延长投资期限类似于继续加入新的期间风险。若收益跨期独立，平均年收益可能更稳定，累计夏普比率可能上升，但累计财富的金额波动仍会扩大。因此，“时间分散化”不能替代控制每期风险预算、跨资产分散和负债匹配。

1. 模型动机与基本假设#

完整马科维茨模型需要估计每项资产的预期收益率、方差以及所有资产对的协方差，估计量总数为：

其中，$n$ 为证券数量，$N_{\mathrm{Markowitz}}$ 为完整马科维茨模型所需的估计量总数。

$n=50$ 时需要 $1{,}325$ 个估计量。若逐项独立估计或主观设定的协方差彼此不相容，矩阵可能不满足半正定条件，进而产生负的计算方差；即使矩阵有效，估计误差也可能造成极端权重。

单因素模型（Single-factor Model） 是把证券的意外收益分解为共同因素冲击与公司特有冲击的收益生成模型，用一个共同来源解释不同证券为何同步波动：

其中：

• $i$：证券下标，取值为 $1$ 至 $n$。
• $r_i$：证券 $i$ 的单期收益率。
• $E(r_i)$：证券 $i$ 的事前预期收益率。
• $m$：影响全部证券的共同意外因素。
• $\beta_i$：证券 $i$ 对共同因素 $m$ 的敏感度。
• $e_i$：证券 $i$ 的特有意外收益。

模型假设 $E(m)=E(e_i)=0$、$\operatorname{Cov}(m,e_i)=0$，且不同证券的残差互不相关。

单指数模型不是与单因素模型并列的另一类模型，而是把抽象共同因素具体化为市场指数的一种单因素模型。二者的区别在于因素如何选取：

• 单因素模型：$m$ 是抽象的共同意外因素，可以是宏观冲击、风格因子或不可直接观察的统计因子，不必等于市场指数。
• 单指数模型（Single-index Model）：以可观察的广泛市场指数代理共同因素，把每只证券分别对同一指数回归；它用少量参数近似证券间协方差，但可能遗漏行业、风格或其他宏观因素。

设 $R_i=r_i-r_f$、$R_M=r_M-r_f$，分别为证券 $i$ 与市场指数 $M$ 的同期超额收益，其中 $r_f$ 为期限匹配的无风险收益率。单因素模型中的 $m$ 是零均值意外，而 $R_M$ 通常均值不为零，因此不能直接用 $R_M$ 替换 $m$；应先令 $m(t)=R_M(t)-E(R_M)$，再整理截距：

其中：

• $\alpha_i$：市场超额收益为零时的回归截距，满足 $\alpha_i=E(R_i)-\beta_iE(R_M)$；它不是共同因素本身。
• $\beta_i$：证券超额收益对市场超额收益的敏感度，$\beta_i=\operatorname{Cov}(R_i,R_M)/\sigma_M^2$，其中 $\sigma_M^2$ 为市场超额收益的方差。
• $e_i(t)$：证券 $i$ 不能由市场指数解释的零均值残差。
• $t$：回归样本的观察期下标。

单指数模型只要求线性投影和二阶矩假设即可用于均值—方差分析，不必把收益严格假设为正态；正态性主要用于完整分布推断和显著性检验。

2. 期望收益、风险与协方差#

对回归式取期望，得到：

$\beta_iE(R_M)$ 是市场因素对应的预期超额收益，$\alpha_i$ 是相对于指定指数模型的非市场预期收益。$\alpha_i$ 不是无条件的投资技能，也不能由样本内显著性直接推断为未来可实现收益。

在残差与市场、残差彼此不相关的模型假设下：

其中：

• $\sigma_i^2$：证券 $i$ 超额收益的总方差。
• $\sigma^2(e_i)$：证券 $i$ 的残差方差。
• $j$：与证券 $i$ 配对的另一证券下标。
• $\operatorname{Cov}(R_i,R_j)$：证券 $i$ 与证券 $j$ 超额收益的协方差。

总方差分为：

• 系统性方差（Systematic Variance）：由市场共同波动造成，等于 $\beta_i^2\sigma_M^2$，不能在模型内靠增加证券消除。
• 公司特有方差（Firm-specific Variance）：由个别证券残差造成，等于 $\sigma^2(e_i)$，可在残差不相关且权重分散时降低。

两项证券的相关系数为：

其中，$\rho_{ij}$ 为证券 $i$ 与证券 $j$ 超额收益的相关系数，$\rho_{iM}$ 与 $\rho_{jM}$ 分别为两项证券与市场超额收益的相关系数。

若行业冲击使残差相关，以上协方差与相关系数公式会遗漏 $\operatorname{Cov}(e_i,e_j)$，单指数模型将高估或低估分散化收益。

3. 估计量数量与模型边界#

单指数模型对每只证券估计 $\alpha_i$、$\beta_i$ 和 $\sigma^2(e_i)$，再估计市场风险溢价与市场方差，共需：

其中，$N_{\mathrm{index}}$ 为单指数模型所需的估计量总数。

$n=50$ 时只需 $152$ 个估计量。模型还使分析任务可以分工：宏观分析估计市场风险溢价和市场风险，统计分析估计贝塔与残差方差，证券分析把公司特有判断浓缩为阿尔法。

简化的代价是对协方差结构施加强约束。行业、国家、风格和供应链因素可能造成相关残差；完整协方差模型能容纳这些关系，但估计误差也更多。样本有限时，更复杂不必然更准确，多因素模型是两者之间的常用扩展。

4. 证券特征线与回归诊断#

证券特征线（Security Characteristic Line, SCL） 是证券超额收益 $R_i$ 对市场超额收益 $R_M$ 的时间序列回归直线，用来描述该证券历史收益随市场变化的平均关系。给定 $R_M(t)$，拟合值为 $\hat R_i(t)=\alpha_i+\beta_iR_M(t)$；$\alpha_i$ 是纵轴截距，$\beta_i$ 是斜率，残差 $e_i(t)=R_i(t)-\hat R_i(t)$ 是实际收益与拟合收益的纵向差额。

决定系数（Coefficient of Determination, $R^2$） 衡量样本内证券收益波动中可由市场回归解释的比例；它回答“历史共同波动解释了多少”，而不是“未来收益能否准确预测”。其计算式为：

其中，$R_{\mathrm{reg},i}^2$ 为证券 $i$ 的回归决定系数，即样本内由市场因素解释的收益率方差比例。

$R_{\mathrm{reg},i}^2$ 高表示样本内市场解释比例高，不表示证券收益容易预测，也不表示阿尔法较高。回归评估还需区分：

• 经济显著性：估计的 $\alpha$ 或 $\beta$ 在投资决策中是否足够大。
• 统计显著性：估计值相对标准误是否足以拒绝给定原假设。
• 样本外稳定性：参数在未来是否保持；样本内显著阿尔法仍可能源于运气、数据挖掘或结构变化。

5. 指数模型下的组合与分散化#

设组合 $P$ 中证券 $i$ 的权重为 $w_i$，且 $\sum_iw_i=1$。组合超额收益仍满足单指数形式：

其中：

• $R_P$：组合 $P$ 的超额收益。
• $\alpha_P$：组合相对于市场指数模型的阿尔法。
• $\beta_P$：组合对市场超额收益的敏感度。
• $e_P$：组合不能由市场指数解释的残差收益。

在残差互不相关时：

因此组合总方差为：

其中，$\sigma_P^2$ 为组合超额收益的总方差，$\sigma^2(e_P)$ 为组合残差方差。

对等权重组合，$w_i=1/n$，公司特有方差为：

其中，$\overline{\sigma^2(e)}$ 为组合内各证券残差方差的横截面平均值。

随着 $n$ 增加，公司特有方差按 $1/n$ 下降，总方差趋近于 $\beta_P^2\sigma_M^2$ 而不是零。若证券权重高度集中或残差相关，实际下降速度会慢于等权、残差互不相关的理论曲线。

6. 主动组合、被动组合与信息比率#

指数模型把最优风险组合表示为两部分：

• 被动组合（Passive Portfolio）$M$：直接持有市场指数以取得市场暴露，不依赖个别证券的阿尔法判断；在模型中 $\alpha_M=0$、$\beta_M=1$、残差方差为零。
• 主动组合（Active Portfolio）$A$：根据证券分析调整相对市场指数的持仓，以争取阿尔法，同时承担额外残差风险与估计误差。

在经典单指数优化、残差互不相关且允许卖空的条件下，主动组合内证券的初始相对头寸与下式成比例：

其中，$z_i$ 为证券 $i$ 的阿尔法—残差方差比率，$w_i^A$ 为该证券在主动组合 $A$ 中的相对权重。

这表示阿尔法越高、残差方差越低，主动权重越大。主动组合的参数为：

其中，$\alpha_A$、$\beta_A$ 与 $\sigma^2(e_A)$ 分别为主动组合的阿尔法、市场贝塔和残差方差。

先假设 $\beta_A=1$，主动组合相对于指数的初始头寸为：

其中，$w_A^{(0)}$ 为暂按 $\beta_A=1$ 计算的主动组合初始配置比例。

再按主动组合实际贝塔修正：

其中，$w_A^*$ 与 $w_M^*$ 分别为最终风险组合配置于主动组合和市场指数的比例，$w_i^*$ 为证券 $i$ 在最终风险组合中的权重。

最终风险组合的贝塔、期望超额收益和方差为：