固定收益证券

1. 债券现金流与基本条款#

• 债券（Bond）：发行人按合同向持有人支付利息、偿还本金或履行其他约定现金流的债务凭证，持有人对发行人享有债权而非所有权。
• 固定收益证券（Fixed-income Security）：现金流金额或计算规则事先约定的证券，支付既可以固定，也可以随参考指数浮动；名称不表示价格、持有期收益率或信用风险固定。

普通附息债券由三个基本现金流条款确定：

• 面值（Par Value, $F$）：到期时偿还的约定本金，也是票面利息的计算基数。
• 票面利率（Coupon Rate, $c$）：年票息相对于面值的比率。每年付息 $m$ 次时，每期票息为 $C=cF/m$。
• 到期期限（Maturity, $T$）：距最终票息和本金支付的时间；剩余付息期数为 $n=mT$。

按票息与期限结构，还可区分：

• 零息债券（Zero-coupon Bond）：到期前不支付票息，只在到期时支付面值，投资收益来自买入价格与到期支付之间的差额。
• 永续债券（Perpetual Bond）：没有约定到期日、按合同持续支付票息的债务工具；法律和会计分类仍取决于具体条款。

按发行主体，债券可分为主权与政府机构债、地方政府债、公司债和资产证券化产品。特定主权以本币发行的国债常被用作相应币种的低信用风险基准，但“主权债券”不等于无违约风险；公司债还叠加信用、流动性、契约和内嵌期权风险。

优先股在法律上属于权益，通常支付固定股利且价格对利率敏感，但股利并非债务利息、持有人通常没有到期收回本金的合同权利，因此不能与债券无条件等同。

2. 债券报价与应计利息#

• 净价（Clean Price）：不含结算日应计利息的债券报价，用于减少付息日前后由应计利息造成的机械跳动。
• 全价（Dirty Price）：买方在结算日实际支付的债券价格，等于净价加应计利息。
• 应计利息（Accrued Interest）：自上次付息日至结算日已经累积、由买方向卖方补偿的票息部分。

三者满足：

简化的应计利息按本付息期已经过的天数比例计算：

其中：

• $P_{dirty}$：结算日的全价。
• $P_{clean}$：同一结算日的净价。
• $AI$：自上次付息日至结算日累积的应计利息。
• $d$：结算日距上次付息日已经过的计息天数。
• $D$：本付息期按约定日计数惯例计算的总天数。

实际交易须按债券约定的日计数惯例和结算规则计算；实际/实际、30/360 等惯例会产生不同结果。付息日刚完成付息时 $AI=0$，净价等于全价；全价在付息前随应计利息累积，并在除息时机械下降一个票息附近，净价用于消除这种报价跳跃。

美国国债的传统报价以面值 100 的点数和 $1/32$ 点表示。例如 100-08 表示 $100+8/32=100.25$；面值 1,000 美元时对应净价 1,002.50 美元。这是特定市场惯例，不是债券定价的一般单位。

3. 公司债的内嵌条款#

内嵌期权（Embedded Option） 是写入债券合同、允许发行人或投资者在特定条件下改变现金流金额或时点的权利，因而会改变债券的价格、收益率和久期：

• 可赎回债券（Callable Bond）：发行人可在保护期后按赎回价格提前偿还。利率下降时发行人更可能低成本再融资，投资者的价格上涨空间和高票息再投资机会受限；其他条件相同时，可赎回债券价值低于不可赎回债券，并需提供补偿。
• 可回售债券（Putable Bond）：投资者可按约定价格提前卖回发行人。回售权对投资者有利，能够缓冲利率上升或信用恶化造成的损失。
• 可转换债券（Convertible Bond）：投资者可按转换比率 $N$ 将债券转换为普通股。转换价值为 $NS$，其中 $S$ 是当前股价；转股溢价为债券价格超过转换价值的部分。投资者持有转换权，因而通常接受比同条件普通债券更低的票面利率或承诺收益率。
• 偿债基金条款（Sinking Fund Provision）：发行人按计划分期回购或偿还部分债务，可降低到期集中偿付风险，但具体抽签或回购条款也可能使投资者面临提前偿还风险。

浮动利率债券（Floating-rate Note, FRN） 的票面利率定期重置为参考利率加合同利差。利率重置能缩短对基准利率的久期，却不能消除信用风险：发行人信用利差扩大而合同加点不能同步调整时，价格仍会下降。

4. 国际债券与创新工具#

国际债券按发行市场与计价货币区分：

• 外国债券（Foreign Bond）：外国发行人在某国国内市场发行、以该市场本币计价并受当地发行规则约束。例如外国发行人在美国发行的美元债称为扬基债券，在日本发行的日元债称为武士债券。
• 欧洲债券（Eurobond）：在计价货币所属司法辖区之外发行的国际债券，而不是“必须以发行人本国货币计价”。例如在美国之外发行的美元债是欧洲美元债券，发行人可以来自任意国家。

现金流联结方式形成多种固定收益工具：

• 逆向浮动利率债券（Inverse Floater）：票面利率随参考利率上升而下降。利率上升会同时降低现金流和提高贴现率，价格敏感度高于普通浮息债。
• 资产支持证券（Asset-backed Security, ABS）：以贷款、租赁或应收账款等资产池现金流偿付证券。风险取决于基础资产、增信、偿付顺序、提前偿还和服务机构，而不只取决于发起人名称。
• 巨灾债券（Catastrophe Bond）：把约定灾害事件风险转移给资本市场；若触发参数型或实际损失型条件，投资者可能损失票息或本金，未触发时获得较高票息。
• 通胀指数债券（Inflation-indexed Bond）：本金或票息随价格指数调整，用合同现金流降低实际购买力风险，但市场实际收益率变化仍会造成价格波动。

通胀指数债券的指数化本金与当期票息可写为：

其中：

• $F_0$：指数调整基准日的本金。
• $F_t$：经过 $t$ 期通胀调整后的本金。
• $\pi_j$：第 $j$ 期的通胀率，$j$ 为连乘下标。
• $t$：从基准日开始累计的通胀调整期数。
• $C_t$：第 $t$ 期按调整后本金计算的票息。

该结构锁定的是合同约定的实际现金流计算方式，而不是买入后无条件实现某个实际收益率；实际收益率曲线变化、税收、流动性与信用仍会影响回报。

1. 固定贴现率下的债券定价#

在现金流确定且所有期限使用同一每期贴现率的简化情形，附息债券价格等于票息现值与面值现值之和：

其中：

• $P$：付息日上的债券全价；此时应计利息为零，因而也等于净价。
• $F$：到期偿还的面值。
• $c$：年票息相对于面值的票面利率。
• $m$：每年的付息次数。
• $C=cF/m$：每期票息。
• $y^{(m)}$：每年复利 $m$ 次的名义年化到期收益率。
• $i=y^{(m)}/m$：与付息频率一致的每期到期收益率。
• $T$：以年计的剩余到期期限。
• $n=mT$：剩余付息期数。
• $t$：现金流期数下标，取值为 $1$ 至 $n$。

因此，必须同时调整票息、贴现率和期数。半年付息债券不能把年票息、半年期数和年收益率直接放入同一公式。

价格与收益率的基本关系为：

• $c=y^{(m)}$ 时，$P=F$，债券平价交易。
• $c<y^{(m)}$ 时，$P<F$，债券折价交易。
• $c>y^{(m)}$ 时，$P>F$，债券溢价交易。
• 现金流不变时，要求收益率上升会降低各期现值，债券价格下降；价格—收益率关系向原点凸。

图中的期限比较要求票面利率、收益率口径和其他条款相同。长期债券通常更敏感，但到期期限只是现金流最晚时点，不能替代久期对全部现金流时点的加权。

2. 到期收益率、当期收益率与报价口径#

到期收益率（Yield to Maturity, YTM） 是使债券承诺现金流现值等于当前全价的单一内部收益率。对应的每期到期收益率满足：

其中，$P_{dirty}$ 为结算日含应计利息的全价。

当报价软件以净价输入时，会依据结算日、付息日和日计数规则处理应计利息与分数期。YTM 假设持有至到期、发行人按承诺支付，且中间票息能以该收益率再投资；它不是投资者必然实现的持有期收益率。

半年付息债券常同时涉及两种年化口径：

• 债券等值收益率（Bond-equivalent Yield, BEY）：把半年期收益率乘以 2 得到的名义年化报价，不计年内复利。
• 有效年收益率（Effective Annual Rate, EAR）：计入半年收益再投资后，一单位本金在一年中的实际复合增长率。

因此：

若半年期收益率为 $3\%$，则 $BEY=6\%$，而 $EAR=(1.03)^2-1=6.09\%$；比较证券时必须使用相同复利口径。

当期收益率（Current Yield） 只衡量年票息相对于净价的比率：

其中，$y_{current}$ 为当期收益率，$P_{clean}$ 为计算时点的债券净价。

它忽略价格向面值收敛的资本利得或损失、票息再投资和违约。对无违约且赎回条款不生效的普通债券，三种比率的方向为：

该排序要求收益率年化口径一致；含权、违约或税收差异会使简单排序失去完整解释力。

3. 赎回收益率与最差收益率#

赎回收益率（Yield to Call, YTC） 是假设债券在指定可赎回日按赎回价格被提前偿还时，使此前票息和赎回价现值等于当前全价的内部收益率：

其中：

• $K_{call}$：合同约定的赎回价格。
• $n_c$：估值日至可赎回日的剩余付息期数。
• $i_c$：与付息频率一致的每期赎回收益率。

利率较低、高票息债券以溢价交易且赎回保护期将结束时，提前赎回更有可能，YTC 比 YTM 更有决策意义。可赎回债券的价值可写为：

其中：

• $P_{callable}$：可赎回债券的价值。
• $P_{straight}$：其他条款相同但不含赎回权的普通债券价值。
• $V_{issuer\ call}$：发行人持有的赎回权价值。

发行人赎回权随利率下降而升值，债券价格因而逐渐偏离不可赎回债券，并接近赎回价所形成的上限。

最差收益率（Yield to Worst, YTW） 是在不假设违约的前提下，对所有合同允许的赎回或到期情景计算收益率后取最低值；它只比较合同偿还日期，不是真实尾部损失的下限。

4. 实现收益率、持有期收益率与价格收敛#

实现复合收益率（Realized Compound Yield） 是把期末售价或本金与票息的实际再投资终值合并计算的年化复合收益率：

其中：

• $r_{realized}$：持有期内实现收益的年化复合收益率。
• $P_0$：期初买入债券的全价。
• $P_H$：持有 $H$ 年后卖出债券的全价，或到期收回的本金。
• $FV_H(C)$：期间票息按实际再投资利率累积至第 $H$ 年末的终值。
• $H$：以年计的持有期限。

只有实际现金流均按承诺支付、持有至到期且票息再投资利率等于买入时 YTM，实现复合收益率才等于该 YTM。

再投资风险（Reinvestment Risk） 是票息实际再投资利率偏离买入时假设、使终值和实现收益率变化的风险；提前出售时，期末收益率曲线还会改变卖出价格。

持有期收益率（Holding-period Return, HPR） 是持有期间收到的票息与价格变化之和相对于期初全价的比率。单期公式为：

其中：

• $C_1$：持有期内收到的票息。
• $P_1$：期末卖出债券的全价或到期收回的本金。
• $P_1-P_0$：持有期资本利得或损失。

买入后收益率下降会推高 $P_1$，使 HPR 高于仅由初始 YTM 推断的结果；收益率上升则相反。

若信用和要求收益率不变，债券价格随到期临近收敛于面值：折价债券逐步上升并产生资本利得，溢价债券逐步下降并产生资本损失，平价债券在付息日保持面值。总收益由票息收入、票息再投资和价格变化共同构成，不能只观察高票息。

零息债券没有票息再投资风险；在收益率不变时，其价格按隐含利息逐期向面值增长：

其中：

• $P_\tau$：买入后经过 $\tau$ 年时的零息债券价格。
• $y$：按年复利且保持不变的到期收益率。
• $\tau$：自买入时点起已经过的年数，满足 $0\leq\tau\leq T$。

但持有期结束前出售仍有价格风险，发行人违约也会使到期支付低于面值。部分税制还会把原始发行折价的年度摊增计为应税利息，即使当期没有现金流，适用规则需按市场和账户核验。

税后比较必须匹配投资者税率与收益性质。等价应税收益率（Taxable-equivalent Yield） 是应税债券为取得与免税债券相同税后收益所需提供的税前收益率。美国市场中，若某市政债券利息符合免征联邦所得税的条件，则：

其中：

• $y_{TEY}$：免税债券收益率对应的等价应税收益率。
• $y_{tax\ exempt}$：符合相应所得税豁免条件的债券收益率。
• $y_{taxable}$：可比应税债券的税前收益率，简化税后收益率为 $y_{taxable}(1-t)$。
• $t$：投资者适用的边际所得税率。

该式只比较所得税口径；资本利得税、州和地方税、替代性最低税、账户类型以及信用与流动性差异仍需另行处理。税收优惠是美国市政债券的制度特征，不能推广为所有地方政府债券的共同属性。

5. 信用风险、评级与信用利差#

信用风险（Credit Risk） 是发行人不能按时、足额履行利息或本金义务，或其信用质量恶化导致债券价值下降的风险。

信用评级（Credit Rating） 是评级机构对发行人或特定债务相对信用质量的分级意见，不是偿付保证；评级可能滞后于经营与市场信息，也不能替代对回收率、契约和受偿层级的分析。按美国常用评级边界：

• 投资级债券（Investment-grade Bond）：标普与惠誉评级通常不低于 BBB-、穆迪评级通常不低于 Baa3 的债券。
• 投机级或高收益债券（Speculative-grade or High-yield Bond）：评级低于投资级门槛、违约风险通常更高并相应要求更高信用补偿的债券。

不同机构的修饰符和具体定义不同，评级边界也可能影响机构持仓约束。

发行人信用分析常考察：

• 偿债覆盖：息税前利润、经营现金流相对于利息和其他固定支付的覆盖倍数。
• 杠杆：债务相对于权益、资产或现金流的规模；杠杆越高，现金流下行时的缓冲越小。
• 流动性：现金、流动资产、短期负债和再融资渠道能否覆盖近期支付。
• 盈利与现金流稳定性：盈利能力、周期暴露、资本开支和自由现金流是否支持持续偿债。
• 契约与优先顺序：抵押品、限制性条款、偿债基金、担保以及高级或次级受偿顺序共同决定违约时回收率。

债券契约（Bond Indenture） 是发行人与债券持有人之间规定票息、面值、到期、抵押、偿债基金、股利限制和后续借款条件的合同。分期还本债券以不同到期日分散本金偿付，不存在偿债基金抽中某只债券的不确定性，但不同期限批次不可互换，流动性可能更低。

奥尔特曼 $Z$ 分数（Altman Z-score） 是用判别分析把多项财务比率合成为企业破产风险分数的统计模型。一个历史版本为：

其中：

• $Z$：由各项财务比率线性组合得到的破产风险判别分数。
• $\mathrm{EBIT}$：息税前利润。
• $\mathrm{Sales}$：营业收入。
• $\mathrm{TA}$：总资产。
• $\mathrm{TL}$：总负债。
• $E$：股东权益。
• $\mathrm{RE}$：留存收益。
• $\mathrm{WC}$：营运资本。

原样本把 $Z<1.23$ 视为高风险、$1.23\leq Z\leq2.90$ 视为灰色区、$Z>2.90$ 视为较安全；这些系数和阈值依赖历史样本、行业与会计口径，只用于理解判别方法，不能直接作为当前公司的通用评级规则。

承诺收益率（Promised Yield） 是把全部合同现金流视为能够足额支付时计算的收益率；存在违约可能时，它不等于按状态概率和回收率加权现金流得到的预期收益率。承诺收益率可能很高，正是因为部分承诺支付可能无法实现。

信用利差（Credit Spread） 是信用债收益率减去期限、币种和收益率口径相匹配的低信用风险基准收益率。公司债的信用利差可写为：

其中：

• $s_{credit}$：公司债相对于匹配基准的信用利差。
• $y_{corp}$：公司债收益率。
• $y_{benchmark}$：期限和收益率口径匹配的基准债券收益率。

利差通常同时包含预期违约损失、系统性信用风险溢价、流动性补偿、税收差异、内嵌期权和供求影响，不能全部解释为违约概率。比较时还须匹配期限、现金流结构和期权；否则利差变化可能只是久期或凸性差异。

信用违约互换（Credit Default Swap, CDS） 是保护买方定期支付保费、在参考实体发生合同定义的信用事件时由保护卖方提供赔付的信用衍生品。CDS 利差是市场信用风险价格的重要信号，但也包含风险溢价、流动性与交割条款，不能直接当作违约概率。

担保债务凭证（Collateralized Debt Obligation, CDO） 是把债务资产池现金流和损失按优先、夹层与权益档重新分配的结构化证券；分层不会消灭基础资产的相关违约风险，而会把尾部损失集中到次级档。

1. 收益率曲线、即期利率与剥离定价#

• 利率期限结构（Term Structure of Interest Rates）：在信用质量、流动性、税收和期权等条件尽量可比时，利率与到期期限之间的截面关系。
• 收益率曲线（Yield Curve）：期限结构的图形表达，横轴为期限，纵轴为指定口径的收益率；使用时必须说明是即期、平价还是附息债券 YTM 曲线。

收益率曲线常见正常上倾、平坦、倒挂和先升后降的驼峰形。形态只是当期价格的截面，不直接给出唯一的宏观原因。

即期利率（Spot Rate） 是今天买入、在特定未来日期仅支付一次现金流的零息债券到期收益率。按年复利时，零息债券价格为：

其中：

• $P(0,t)$：时点 0 的 $t$ 年期零息债券价格。
• $F$：债券在第 $t$ 年末支付的面值。
• $s_t$：按年复利的 $t$ 年期即期利率。
• $t$：以年计的期限，也是现金流时点。

由各期限零息债券得到的曲线称为即期利率曲线或零息收益率曲线：

• 债券剥离（Bond Stripping）：把附息债券的每笔票息和本金拆成可分别交易的零息证券。
• 债券重组（Bond Reconstitution）：用对应的零息证券重新组合出原附息债券的现金流。

若拆分前后相同现金流的价格不同，交易者可利用一价定律套利。

当即期利率随期限变化时，附息债券的每笔现金流必须用匹配期限的即期利率折现：

其中：

• $P$：附息债券的当前价格。
• $CF_t$：第 $t$ 年末的债券现金流。
• $T$：最后一笔现金流距估值日的年数。

附息债券的 YTM 则是把全部现金流统一折现到同一价格的单一内部收益率，所以通常不等于同期限零息债券的即期利率；票面利率越低，价值越集中于到期支付，YTM 越接近到期日即期利率。

若市场只有附息债券，可按期限从短到长使用自举法（Bootstrapping）：先由短期零息工具求出短端贴现因子，再用已知贴现因子扣除较长期债券的早期票息现值，逐期解出新的即期利率。该方法依赖输入债券价格、现金流与插值规则，不同曲线构造法可能给出略有差异的结果。

2. 短期利率与远期利率#

• 短期利率（Short Rate）：在某一时点对随后一个短期间实际适用的利率；未来短期利率在今天未知，只能表示为随机变量或条件预期。
• 远期利率（Forward Rate）：由今天的即期利率和无套利关系隐含、可在今天锁定并适用于未来指定区间的利率；它是当前价格信息，不等于未来短期利率的实现值。

第 $n$ 年的一年期远期利率由相邻期限的即期利率锁定：

其中：

• $s_n$、$s_{n-1}$：按相同口径年复利的 $n$ 年期与 $n-1$ 年期即期利率。
• $f_{n-1,n}$：从第 $n-1$ 年末开始、到第 $n$ 年末结束的一年期远期利率。
• $n$：远期区间终点距时点 0 的年数。

因此：

更一般地，从第 $m$ 年末到第 $n$ 年末、期限为 $n-m$ 年的年化远期利率为：

其中：

• $m$：远期区间起点距时点 0 的年数。
• $s_m$：同口径的 $m$ 年期即期利率。
• $f_{m,n}$：从第 $m$ 年末到第 $n$ 年末、期限为 $n-m$ 年的年化远期利率。

以上公式要求所有利率使用同一复利和年化口径。若 $s_1=5\%$、$s_2=6\%$，则第二年的一年期远期利率为：

该远期利率可由零息债券复制。买入一份 1 年期零息债券，同时卖空足量的 2 年期零息债券，使初始净现金流为零；一年后收到本金、两年后偿还按 $1+f_{1,2}$ 放大的金额，等价于一年后开始的一年期远期贷款。一价定律使复制组合与远期贷款具有相同合同利率。

3. 利率不确定性与期限结构理论#

在未来短期利率确定的特殊情形，持有长期零息债券与逐期滚动短期债券必须产生相同终值，因此远期利率等于未来短期利率。存在不确定性时，长期债券的一年持有期价格会随未来短期利率变化，投资者可能要求期限风险补偿，不能再写成 $f_{n-1,n}=E(r_n)$ 的恒等式；$r_n$ 表示第 $n$ 年实际适用的一年期短期利率。

期限溢价（Term Premium） 是长期利率或远期利率相对于预期未来短期利率所包含的期限风险与供求补偿，其大小和符号可随经济状态变化。两类经典期限结构解释为：

• 预期假说（Expectations Hypothesis）：假设不同期限策略是完全替代品且期限溢价为零，因此 $f_{n-1,n}=E(r_n)$。上倾曲线表示市场预期未来短期利率上升，倒挂表示预期下降；该假说难以解释收益率曲线为何经常上倾。
• 流动性偏好理论（Liquidity Preference Theory）：投资者偏好的持有期限不同，偏离偏好期限需要补偿。若市场以短期限投资者为主，长期债券通常需提供正期限溢价，近似写为 $f_{n-1,n}\approx E(r_n)+TP_{n-1,n}$，其中 $TP_{n-1,n}$ 为该远期区间的期限溢价；期限溢价也可能随风险和供求变化，理论上并非永远为正或恒定。

即期利率的复利因子是当期短期利率与当前隐含远期利率复利因子的几何平均。若新增的下一期远期利率高于现有 $n$ 年期即期利率，则曲线从 $n$ 年到 $n+1$ 年继续上升：

这是一项无套利数学关系，不说明较高远期利率究竟来自短期利率预期还是期限溢价。上倾曲线不能单独证明市场预期加息；倒挂在正期限溢价背景下通常包含更强的未来利率下降信号，但仍不是经济衰退的充分条件。

名义利率变化还应分解为实际利率与通胀补偿：

其中：

• $i$：指定期间的名义利率。
• $r$：同一期间的实际利率。
• $\pi^e$：同一期间的预期通胀率。

相同的曲线变化可能来自增长、货币政策、财政融资或通胀预期，资产含义并不相同。

4. 期限结构的投资解释#

远期利率是由当前价格推导的盈亏平衡利率，不是市场对未来短期利率的无偏点预测。投资者只有在自己的利率或期限溢价判断优于价格中已经反映的判断，并足以覆盖交易成本和模型误差时，延长或缩短久期才可能获得异常收益。

分析期限结构时应依次确认：

• 比较对象：是否为同币种、近似信用质量、税收和流动性的证券，是否含不同内嵌期权。
• 曲线口径：是零息即期曲线、附息国债的平价曲线，还是附息债券 YTM 曲线。
• 远期分解：远期利率中有多少可能来自未来短期利率预期，多少来自期限风险和供求溢价。
• 持有期情景：预测期末曲线决定卖出价格，期间短期利率决定票息再投资，二者都可能偏离买入时隐含路径。

1. 债券价格的利率敏感性#

利率风险（Interest-rate Risk） 是市场利率或收益率曲线变化导致债券价格、票息再投资收益或资产负债净值变化的风险。对现金流固定、无内嵌期权的债券，价格敏感性有六项常用规律：

1. 收益率上升时价格下降，收益率下降时价格上升。
2. 同幅度收益率变动下，收益率下降带来的价格上涨通常大于收益率上升造成的价格下跌。
3. 其他条件相同，长期债券通常比短期债券更敏感。
4. 期限延长会提高利率敏感性，但敏感性的增幅通常递减。
5. 其他条件相同，票面利率越低，利率敏感性越高。
6. 对附息债券，其他条件相同，初始到期收益率越低，利率敏感性通常越高。

这些关系说明到期期限不能单独衡量利率风险。付息较早、高票息的债券虽然到期日相同，价值回收更早，价格对长期贴现率的暴露更小。

2. 麦考利久期与修正久期#

麦考利久期（Macaulay Duration） 是各期现金流时间以其现值占债券价格的比例为权重的加权平均：

其中：

• $D_{Mac}$：以年计的麦考利久期。
• $t$：现金流期数下标；$n$ 为剩余现金流期数。
• $m$：每年的付息次数。
• $\tau_t=t/m$：第 $t$ 笔现金流距估值日的年数。
• $CF_t$：第 $t$ 期末的债券现金流。
• $P$：各期现金流按同一到期收益率折现得到的债券全价。
• $w_t$：第 $t$ 笔现金流现值占债券价格的权重。
• $y^{(m)}$：每年复利 $m$ 次的名义年化到期收益率。
• $i=y^{(m)}/m$：与付息频率一致的每期到期收益率。

麦考利久期概括现金流的平均回收时间；零息债券只有到期现金流，所以久期等于到期期限。

修正久期（Modified Duration, $D_{mod}$） 把平均现金流时间转换为价格对年化到期收益率的局部敏感度：

其中，$\Delta P/P$ 为债券价格的近似变动率，$\Delta y^{(m)}$ 为名义年化到期收益率的变动量。

负号表示价格与收益率反向变动。若 $D_{mod}=5$，年化收益率上升 50 个基点，即 $\Delta y^{(m)}=0.005$，价格约下降 $2.5\%$；该式对小幅、平行的收益率变动最准确。

• 美元久期（Dollar Duration）：债券全价乘以修正久期，把以小数表示的年化收益率变动转换为近似价格金额变化。
• 基点价值（Dollar Value of 01, DV01）：年化收益率变动 1 个基点，即 $0.0001$，对应的价格金额变化绝对值。

因此：

部分系统把价格下降方向记为负数，使用时需确认符号约定。现金流固定且收益率曲线平行移动时，组合修正久期近似等于各债券修正久期按市场价值加权的平均。

久期的方向规律为：

• 零息债券的麦考利久期等于期限；同期限附息债券的久期更短。
• 其他条件相同，票面利率越高、付息越频繁，现金流平均到达越早，久期越短。
• 附息债券收益率越低，远期现金流现值权重越高，久期越长；零息债券久期不受收益率影响。
• 久期通常随期限增加而增加，但对极深折价、极长期附息债券并非无条件单调；永续年金久期有限。

每年支付一次时，将 $y^{(m)}$ 简记为 $y$，等额永续年金的麦考利久期为：

例如 $y=10\%$ 时久期为 11 年，说明无限到期并不等于无限利率敏感度。

3. 凸性与二阶近似#

凸性（Convexity） 衡量价格—收益率曲线斜率随收益率变化的程度。若 $y$ 与修正久期使用相同年化口径，凸性可用局部导数定义：

其中，$Conv$ 为与收益率口径相匹配的局部凸性。

加入凸性后的价格变化二阶近似为：

其中，$\Delta y$ 为年化收益率变动量；其余变量沿用本节久期公式的口径。

普通不可赎回债券通常具有正凸性，所以二阶项无论利率上升或下降都为正。久期直线会低估利率下降时的价格上涨，并高估利率上升时的价格下跌；收益率变动越大、凸性越高，加入二阶项的改善越明显。

在久期相同、信用和现金流风险相近时，凸性更高的债券能从利率下行中获得更多价格上涨，并在同幅度利率上行中少跌，因此投资者通常愿意支付更高价格、接受较低初始收益率。凸性不是免费收益，其价值取决于利率波动、融资成本和价格差异。

4. 有效久期与含权债券#

可赎回债券、可回售债券和抵押贷款支持证券的现金流会随利率路径变化，不能仅以固定现金流的麦考利久期衡量。有效久期（Effective Duration） 是通过含权估值模型重新计算曲线上下平移后的价格，估计利率变化同时影响现金流时的价格敏感度：

其中：

• $D_{eff}$：有效久期。
• $P_0$：当前曲线下的模型价格。
• $P_{-}$：整条基准曲线下移 $\Delta r$ 后的价格。
• $P_{+}$：整条基准曲线上移 $\Delta r$ 后的价格。
• $\Delta r>0$：单边平移幅度。

对应的有效凸性为：

其中，$Conv_{eff}$ 为基于同一利率平移和估值模型计算的有效凸性。

利率下降时，可赎回债券更可能提前赎回，价格上涨受赎回价限制，局部曲线可能变为负凸性。抵押贷款支持证券也可能因利率下降引发提前还款，使本金更早返还、久期缩短并产生负凸性；利率上升时提前还款放缓，久期反而延长。这类证券的有效久期和凸性依赖利率波动率、提前偿还或赎回模型，不能由到期收益率单独推出。

1. 被动管理与债券指数化#

被动债券管理（Passive Bond Management） 是以复制指定基准或控制相对于负债的风险为目标、不把持续发现错误定价作为主要收益来源的管理方式。“被动”不表示买入后不管理；指数成分、现金流、久期和负债都会变化，组合仍需监控与再平衡。

债券指数完全复制比股票指数更困难：债券数量多、单只流动性差异大，新券不断发行，旧券期限缩短并退出指数，票息还会产生再投资现金流。因此指数基金常采用分层抽样（Stratified Sampling），按发行人、期限、票面利率、信用质量、行业和期权特征划分单元，再使组合在各单元的市值权重和风险暴露接近指数。

指数化降低研究和换手成本、使基准暴露透明，但仍承担指数本身的久期、信用、流动性和再投资风险。跟踪误差（Tracking Error, TE） 是组合相对基准的主动收益标准差；抽样误差、交易成本、现金拖累与成分调整都会使其上升。

2. 久期免疫#

免疫（Immunization） 通过匹配资产与负债的现值和利率敏感度，使小幅利率变化对净值或目标期末资金的影响相互抵消。对单一确定负债，经典免疫的初始条件为：

其中：

• $PV_A$：资产组合现金流的现值。
• $PV_L$：待偿负债现金流的现值。
• $D_A$：资产组合的久期。
• $D_L$：负债的久期。

现值匹配保证组合初始足额，久期匹配保证资产与负债对小幅平行利率变化的一阶反应相同。若同时使资产凸性不低于负债凸性，较大幅度利率变动下更可能保留资金盈余，但凸性成本也会提高。

持有固定收益组合时，利率上升会造成资本损失，却提高票息再投资收益；利率下降会产生资本利得，却降低再投资收益。当投资期限等于组合久期，并满足模型条件时，两类风险在目标时点附近一阶抵消。

用一项低久期资产和一项高久期资产免疫单一负债时，低久期资产的市场价值权重为：

其中：

• $D_1$：低久期资产的久期。
• $D_2$：高久期资产的久期。
• $w$：低久期资产的市场价值权重。

随后按 $PV_L$ 配置总资产。例如用久期 3 年的零息债券和久期 11 年的永续债券免疫久期 7 年的单一负债，$w=(11-7)/(11-3)=1/2$，两项资产各占一半。

免疫不是一次性操作。时间流逝、利率变化、现金流支付和内嵌期权都会使资产与负债久期以不同速度变化，必须在交易成本与匹配误差之间选择再平衡频率。经典免疫还有以下边界：

• 麦考利久期的单一 YTM 权重严格适用于平坦曲线；非平坦曲线应按各期即期利率计算现值敏感度。
• 单久期匹配主要防御小幅平行移动，不能完整覆盖曲线变陡、变平和局部扭曲；关键利率久期（Key Rate Duration） 衡量价格对指定期限节点收益率变化的敏感度，可用于分解非平行曲线风险。
• 信用迁移、违约、流动性折价、赎回和提前偿还会改变现金流，破坏原有匹配。
• 名义债券适合匹配名义负债；随通胀增长的实际负债还需匹配通胀暴露，不能只锁定名义终值。

3. 现金流匹配与专用策略#

• 现金流匹配（Cash-flow Matching）：选择债券使每一期资产现金流覆盖同一期负债现金流；单一确定负债可用同日到期、面值匹配的零息债券完成。
• 专用策略（Dedication Strategy）：为一系列确定负债建立逐期现金流匹配组合，以直接满足各期支付而非只匹配总久期。

在现金流确定、证券不违约且支付时点完全匹配时，专用组合不依赖期中再投资利率，也无需为利率变化持续再平衡。代价是证券选择约束更强，可能需要放弃被认为低估但现金流不匹配的债券；期限足够长的证券可能不存在，交易成本和信用风险也会妨碍精确匹配。

久期免疫用较少约束换取近似匹配，需要持续再平衡；专用策略用更强现金流约束换取更直接的负债覆盖。选择取决于负债确定性、可用证券、交易成本和允许的剩余风险。

4. 主动债券管理与互换策略#

主动债券管理（Active Bond Management） 是通过偏离基准久期、曲线、行业、信用或证券权重来争取风险调整后超额收益的管理方式，收益来源主要是利率路径或相对价值判断。公开信息只有在尚未被价格反映、判断优于市场且收益覆盖交易与融资成本时才有价值；较高收益率本身可能只是对更高信用、期限、流动性或期权风险的补偿。

常见债券互换策略为：

水平分析（Horizon Analysis） 是在指定持有期和利率情景下，同时估计债券期末售价与票息再投资终值的收益分析方法。它先预测期末收益率曲线，再计算总持有期收益率：

其中：

• $H$：以年计的预测持有期。
• $P_0$：期初买入债券的全价。
• $P_H$：第 $H$ 年末按预测收益率曲线计算的卖出全价或到期本金。
• $FV_H(C)$：期间票息按预测短期利率累积至第 $H$ 年末的终值。
• $HPR_H$：整个预测持有期的累计总收益率。
• $r_{annualized}$：由 $HPR_H$ 换算的有效年化收益率。

该方法把价格风险与再投资风险放在同一情景中，却不是无风险预测：期末曲线、信用利差、内嵌期权行为和票息再投资利率任何一项偏离，实际收益都会变化。情景比较应使用相同的基准、期限、复利、税费和信用假设。