期权、期货与其他衍生品

1. 期权合约与交易制度#

衍生品（Derivative） 是未来支付或当前价值由标的资产、利率、汇率、指数等基础变量决定的合约。它既可转移已有风险，也可建立杠杆化风险敞口；“用于套期保值”不表示合约本身低风险。

期权（Option） 是权利与义务不对称的衍生品：买方取得是否按约定条款交易标的的选择权，卖方在买方行权时承担履约义务。

• 看涨期权（Call Option）：赋予买方在合约允许的行权时点以执行价格 $K$ 买入标的资产的权利，而非义务。
• 看跌期权（Put Option）：赋予买方在合约允许的行权时点以执行价格 $K$ 卖出标的资产的权利，而非义务。
• 权利金（Premium）：买方为取得选择权而向卖方支付的期权价格；卖方收取权利金，并在买方行权时承担履约义务。

期权按可行权时间分为：

• 美式期权（American Option）：可以在到期日或之前行权。
• 欧式期权（European Option）：只能在到期日行权。

在其他条款相同且不存在市场摩擦时，美式期权价值不低于欧式期权，因为前者包含更多行权选择。名称表示行权方式，不表示交易地点。

设 $S_t$ 为 $t$ 时点的标的价格。期权按 $S_t$ 与 $K$ 的关系分为：

实值只描述行权收入，不表示买方利润为正；利润还取决于权利金、资金成本和交易成本。

交易制度决定合约的流动性、信用风险与适配程度：

• 场内期权：执行价格、到期日、合约乘数和交割规则标准化，清算机构成为买卖双方的中央对手方，并向卖方或风险头寸收取保证金。
• 场外期权（Over-the-counter Option, OTC）：条款可以定制，但流动性、估值、抵押品与交易对手风险管理更重要。
• 合约调整：股票分拆或大比例股票股利会相应调整执行价格与合约数量，使总经济权利大致不变；普通现金股利通常不改变合约条款，却会影响期权价值。
• 交割方式：股票期权可实物交割，股价指数期权通常按指数差额乘以合约乘数现金结算；外汇、利率和期货期权按各自规则结算。

美国市场把期限可达数年的标准化股票或股指期权称为长期股票期权（Long-term Equity Anticipation Securities, LEAPS）。此外，指数期权、外汇期权、利率期权和期货期权只是更换标的或结算方式，买方权利与支付非线性的基本结构不变。

2. 到期支付、利润与方向性#

以期初为时点 0、到期为时点 $T$：

• 到期支付（Payoff）：由到期状态决定的合约价值，不扣除期初权利金及其资金成本。
• 到期利润（Profit at Expiration）：对期权多头，是到期支付减去建立头寸的成本及其到期价值；简化损益图常直接扣除原始权利金。

欧式期权多头的到期支付为：

其中：

• $C_T$：每单位看涨期权多头在到期日的支付。
• $P_T$：每单位看跌期权多头在到期日的支付。
• $S_T$：到期标的价格。
• $T$：从时点 0 到到期日的期限，也用作到期变量的时间下标；期限单位须与利率口径一致。
• $c_0$、$p_0$：每单位看涨、看跌期权的期初权利金。

若忽略权利金的资金时间价值和交易成本，多头到期利润分别为 $C_T-c_0$ 与 $P_T-p_0$，空头利润是对应多头利润的相反数。因此：

• 看涨期权多头的最大损失为 $c_0$，上行利润理论上不封顶，简单盈亏平衡点为 $K+c_0$。
• 看跌期权多头的最大损失为 $p_0$，最大到期支付为 $K$，简单盈亏平衡点为 $K-p_0$。
• 裸看涨期权空头的潜在损失理论上不封顶；裸看跌期权空头在 $S_T=0$ 时承受最大损失 $K-p_0$。

严格比较到期财富时，应从支付中扣除权利金的到期价值。例如，若每期无风险利率为 $r_p$、距到期还有 $n$ 个计息期，看涨期权盈亏平衡点为 $K+c_0(1+r_p)^n$；市场惯例的到期损益图常直接扣除原始权利金。

买入看涨期权与卖出看跌期权都具有正向价格暴露，买入看跌期权与卖出看涨期权都具有负向价格暴露，但权利与义务并不对称。期权还提供杠杆：较小权利金控制较大名义头寸，标的小幅变化可能造成期权收益率大幅变化乃至权利金全部损失。

3. 典型期权策略#

期权与标的资产可以构造分段线性的到期价值。以下公式均以每单位标的、相同到期日为口径，未扣除期初净权利金：

• 保护性看跌期权（Protective Put）：持有股票并买入看跌期权，$S_T+\max(K-S_T,0)=\max(S_T,K)$。组合锁定价值下限并保留上涨空间，保险成本是看跌期权权利金。
• 抛补看涨期权（Covered Call）：持有股票并卖出看涨期权，$S_T-\max(S_T-K,0)=\min(S_T,K)$。权利金缓冲部分下跌，但 $K$ 以上的上涨收益被放弃。
• 买入跨式期权（Long Straddle）：买入相同 $K$、相同到期日的看涨和看跌期权，到期支付为 $|S_T-K|$。只有价格偏离 $K$ 的幅度超过两份权利金总额后才盈利。
• 牛市看涨价差（Bull Call Spread）：买入执行价格 $K_L$ 的看涨期权并卖出同期限、较高执行价格 $K_H$ 的看涨期权，到期支付为 $\min[\max(S_T-K_L,0),K_H-K_L]$。
• 双限策略（Collar）：持有股票，买入 $K_L$ 的看跌期权并卖出 $K_H$ 的看涨期权，$K_L<K_H$；到期价值被限制在 $[K_L,K_H]$。两份权利金相近时可形成低成本双限，但不是无成本保险。

• 底部条式组合（Strip）：买入两份看跌和一份看涨期权，相比跨式期权更偏向从大幅下跌中获利。
• 底部带式组合（Strap）：买入两份看涨和一份看跌期权，相比跨式期权更偏向从大幅上涨中获利。
• 卖出跨式期权（Short Straddle）：同时卖出相同执行价格和期限的看涨、看跌期权，押注低波动；利润上限为权利金总额，两侧尾部风险很大。

4. 看跌—看涨平价与合成头寸#

看跌—看涨平价（Put-Call Parity） 是由一价定律推出的欧式期权无套利关系：相同标的、执行价格与到期日下，看涨期权加到期支付 $K$ 的无风险债券，与股票加看跌期权都具有到期价值 $\max(S_T,K)$。无股利股票满足：

若期内已知现金股利现值为 $\operatorname{PV}(D)$，则：

若标的按连续股利率 $q$ 支付收益，则等价地写为：

其中：

• $r$：与期权期限匹配、连续复利的无风险利率。
• $\operatorname{PV}(D)$：期权存续期内已知现金股利在时点 0 的现值。
• $q$：标的资产的连续复利股利率。
• $S_0$：标的资产在时点 0 的现货价格。

平价关系依赖相同标的、$K$、$T$ 和欧式行权，并假设可以按模型价格融资、卖空和交易。若一侧价格高于另一侧且偏差足以覆盖买卖价差、交易成本、融资与卖空约束，应卖出昂贵组合、买入便宜组合。

平价关系还给出常用复制关系：

因此，保护性看跌期权等价于看涨期权加无风险债券；抛补看涨期权等价于无风险债券减去看跌期权。等价关系比较的是完整现金流，不表示各头寸的保证金、流动性、税收或交易风险相同。

5. 内嵌期权、金融工程与奇异期权#

• 内嵌期权（Embedded Option）：写入基础证券合同、允许发行人或投资者在特定条件下改变现金流金额或时点的权利。
• 金融工程（Financial Engineering）：通过拆分、组合或嵌入衍生品重塑现金流和风险暴露，使产品更贴合投资、融资或套期保值需求。

许多证券可据此分解为基础证券与期权：

• 可赎回债券：约等于不可赎回债券减去发行人持有的赎回权。利率下降、债券价值上升时发行人更可能赎回，因此赎回权降低投资者所持债券的价值。

• 可转换债券：约等于普通债券加投资者持有的股票看涨期权。转换价值等于转换比率乘以股价，债券价值还受信用风险、赎回条款、股利和稀释影响。

• 认股权证（Warrant）：公司发行的长期看涨型权利；行权时公司增发股票，稀释使其不能无条件按普通交易所期权定价。

• 抵押贷款与风险债务：有限责任使股东权益具有以公司资产为标的、以到期债务为执行价格的看涨期权特征：

  $$E_T=\max(V_T-D,0)$$

  其中：

  • $E_T$：债务到期时的股东权益价值。
  • $V_T$：债务到期时的公司资产价值。
  • $D$：到期债务的承诺偿还额。

  风险债务相应可写为无风险债务减去违约看跌期权。

• 指数挂钩存单：可由零息债券与指数看涨期权组合，债券部分提供到期本金，剩余资金购买参与指数上涨的期权。提高本金保证会减少可购买的期权数量和上涨参与率。

奇异期权（Exotic Option） 的支付路径不同于普通欧式期权：亚式期权取决于一段时期的平均价格，障碍期权取决于是否触及约定障碍，回顾期权取决于存续期最高或最低价格，数字期权在条件满足时支付固定金额，外汇转换期权以预先约定汇率转换外币资产支付。路径依赖会使只观察 $S_T$ 无法确定到期支付。

1. 内在价值、时间价值与决定因素#

• 内在价值（Intrinsic Value）：立即行权产生的非负收入；看涨和看跌期权分别为 $\max(S_0-K,0)$ 与 $\max(K-S_0,0)$。
• 时间价值（Time Value）：期权价格与内在价值之差，主要来自到期前有利价格变化的可能性和推迟支付执行价格的融资价值。

后续定价统一采用以下变量：

• $S_0$：时点 0 的标的价格。
• $K$：期权的执行价格。
• $\sigma$：标的连续复利收益率的年化波动率。
• $T$：从时点 0 到到期日的年数。
• $r$：与期限匹配、连续复利的无风险利率。
• $q$：标的资产的连续复利股利率。

欧式深度实值看跌期权不能立即行权，其价格可能低于 $K-S_0$；此时相对“立即行权价值”计算的时间价值可以为负。美式期权可以立即行权，因此价格不得低于内在价值。

其他条件不变时，普通期权价值的方向关系为：

2. 无套利边界与提前行权#

对支付连续股利率 $q$ 的欧式期权，无套利边界为：

其中：

• $c_0$：时点 0 的欧式看涨期权价格。
• $p_0$：时点 0 的欧式看跌期权价格。

边界来自非负支付、看跌—看涨平价和支配关系。观察到的报价若越过边界且偏差覆盖全部实施成本，就存在现金持有套利或反向现金持有套利。

提前行权规则取决于放弃的时间价值与得到的现金流：

• 不支付股利股票的美式看涨期权不应提前行权：提前行权会立即支付 $K$ 并放弃剩余时间价值；若要退出，应卖出期权而不是行权。
• 支付股利股票的美式看涨期权可能提前行权：只有在除息日前取得股利的价值超过放弃的时间价值和执行价格融资利益时才可能合理。
• 美式看跌期权可能提前行权：深度实值且利率为正时，提前取得 $K$ 并开始赚取利息可能超过继续持有的选择价值。

3. 二项式期权定价#

二项式模型（Binomial Option Pricing Model） 把每一小期的标的价格限制为上涨或下跌两种状态，并用复制组合和无套利向后定价。一期模型先构造复制组合，再用风险中性概率表示同一无套利价格。

德尔塔（Delta） 是期权价值相对标的价格变化的一阶敏感度；在一期二项式模型中，它也等于复制一份期权所需的股票数量：

无风险资产头寸为：

因此 $C_0=\Delta S_0+B_0$。风险中性概率（Risk-neutral Probability） 是使可交易资产的贴现价格满足无套利关系、从而可将未来支付贴现定价的状态权重：

其中：

• $S_u$、$S_d$：一期后股票在上涨、下跌状态的价格。
• $u$、$d$：股票价格的一期上涨、下跌乘数。
• $C_u$、$C_d$：一期后期权在上涨、下跌状态的价值。
• $\Delta$：复制一份期权所需持有的股票数量。
• $B_0$：复制组合在时点 0 的无风险资产头寸，负值表示借款。
• $C_0$：期权在时点 0 的无套利价值。
• $R=e^{r\Delta t}$：一期无风险增长因子，$\Delta t$ 为该期的年数。
• $\pi^*$：一期上涨状态的风险中性定价概率。

$\pi^*$ 是无套利定价权重，不是投资者对上涨的主观预测。条件 $d<R<u$ 保证概率位于 $[0,1]$，否则一期模型本身含有套利。

例：一期看涨期权定价

设 $S_0=100$，一年后可能为 120 或 90，$K=110$，无风险增长因子 $R=1.10$。到期支付为 $C_u=10$、$C_d=0$，于是：

多期模型从到期节点开始逐层向前折现。欧式期权每个节点取风险中性继续持有价值；美式期权每个节点取“立即行权价值”与“继续持有价值”中的较大者。常用校准 $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$、$d=1/u$，缩短步长可使二项式价格逐步接近连续时间模型。

4. 布莱克—斯科尔斯—默顿模型#

布莱克—斯科尔斯—默顿模型（Black-Scholes-Merton Model, BSM） 在无套利连续时间框架下为欧式期权定价。设标的按连续股利率 $q$ 支付收益，则：

其中：

• $d_1$、$d_2$：由标的价格、执行价格、利率、股利率、波动率和期限共同决定的标准化距离变量。
• $N(d)$：标准正态分布变量不大于 $d$ 的累积概率。

模型假设标的价格服从连续的几何布朗运动，$r$、$q$ 与 $\sigma$ 在期限内确定，市场无摩擦且可连续交易、卖空和按无风险利率融资。公式不包含股票预期收益率，因为复制组合消除了标的价格风险，定价只要求无套利而不要求预测实际上涨概率。

5. Greeks、动态对冲与组合保险#

设 $V$ 为期权模型价值、$S$ 为标的价格、$t$ 为日历时间。期权希腊字母（Greeks） 是在其他输入不变时，期权模型价值对单一风险因子小幅变化的局部敏感度；它们适合近似小幅变动，不保证有限变动或跳跃情形下的损益：

表中敏感度针对所分析头寸；同一普通期权的空头价值是多头价值的相反数，希腊字母符号也相反。

BSM 下欧式股票期权的 Delta 为：

其中：

• $\Delta_c$：欧式看涨期权的 Delta。
• $\Delta_p$：欧式看跌期权的 Delta。

期权弹性（Option Elasticity） 衡量标的价格变动 $1\%$ 时期权价值近似变动的百分比：

其中：

• $\Omega$：期权相对标的价格的收益率弹性。
• $V_0$：期权在时点 0 的价值。

普通看涨期权的美元 Delta 小于 1，并不妨碍其收益率弹性大于 1；权利金低于股票价格使同一美元变化对应更大的期权收益率变化。

动态对冲（Dynamic Hedging） 是随标的价格、时间和风险参数变化重复调整对冲头寸，使组合的目标敏感度保持在指定水平。持有 $n$ 份期权和 $m$ 单位标的时，组合 Delta 为 $n\Delta+m$；令其为零只能消除标的小幅变动的一阶影响，仍保留 Gamma、波动率、跳跃、流动性和交易成本风险。

合成组合保险（Synthetic Portfolio Insurance） 是在缺少合适看跌期权时，按目标看跌期权的 Delta 在股票与短期无风险资产之间动态调整，以近似复制保护性看跌期权的价值下限。市场快速跳跃或流动性消失时，离散再平衡无法保证复制成功。

6. 隐含波动率与模型边界#

隐含波动率（Implied Volatility） 是使期权定价模型价格等于市场价格的 $\sigma$。它把不同执行价格和期限的报价转换为共同波动率口径，但不是未来实现波动率的确定预测。

若常数波动率、对数正态分布假设完全成立，同一标的与期限的期权应具有相同隐含波动率。实际市场常出现随执行价格变化的波动率微笑或偏斜（Volatility Smile or Skew），以及随期限变化的波动率期限结构，反映厚尾、跳跃、杠杆效应、随机波动率与尾部保护需求。

实务定价还必须处理离散股利、美式提前行权、交易成本、买卖价差、融资差异、随机利率、波动率曲面和交易对手风险。模型价格是给定假设下的无套利基准，不是脱离报价与实施条件的“真实价值”。

1. 远期、期货与合约损益#

• 远期合约（Forward Contract）：双方约定在未来日期按当前确定的交割价格买卖标的，通常在场外定制并在到期或终止时结算。
• 期货合约（Futures Contract）：在交易所交易、由清算机构逐日结算的标准化远期型合约；逐日现金流使其与到期一次结算的远期并非始终等价。

• 交割价格（Delivery Price）：已建立远期合约约定的到期买卖价格，签约后保持不变。

• 远期或期货价格（Forward or Futures Price）：某时点使同期限新合约初始价值为零的交割报价；市场报价变化会改变既有头寸的价值或结算损益。

• 多头头寸（Long Position）：期货价格相对建仓价上升时获利、下降时亏损的合约头寸；实物交割合约持有至到期时接收标的。

• 空头头寸（Short Position）：期货价格相对建仓价下降时获利、上升时亏损的合约头寸；实物交割合约持有至到期时交付标的。

建立期货多空头寸不要求当时支付全部名义本金或持有现货。在 $t$ 时点平仓的累计损益为：

其中：

• $\Pi_{long,t}$、$\Pi_{short,t}$：多头、空头截至 $t$ 时点的累计损益。
• $Q$：每份合约对应的标的数量，即合约乘数。
• $F_{0,T}$：时点 0 建立、到期日为 $T$ 的期货合约报价。
• $F_{t,T}$：同一到期月合约在 $t$ 时点的期货报价，$0\leq t\leq T$。

可交割合约到期时 $F_{T,T}=S_T$，其中 $S_T$ 为到期现货价格，多头总损益为 $Q(S_T-F_{0,T})$。期货多空损益在合约层面相反，但零和会计关系不表示期货市场不影响现货市场；价格发现、库存、融资与套期保值需求仍会改变交易行为。

2. 清算、保证金与逐日盯市#

清算机构成为每个空头的买方和每个多头的卖方，使其合约净头寸为零：

• 持仓量（Open Interest）：某一时点尚未平仓的合约数量，每份合约按多头或空头任一侧计算一次。
• 成交量（Trading Volume）：一定期间内成交的合约数量；同一合约反复交易会被多次计入，因此不等于持仓量。

期货保证金是履约担保，不是购买标的资产的首付款：

• 初始保证金（Initial Margin）：建立头寸时存入的最低担保资产。
• 维持保证金（Maintenance Margin）：账户余额低于该水平时会触发追加保证金通知。
• 追加保证金（Margin Call）：保证金余额低于维持保证金后，清算会员或经纪商要求交易者补充资金，使账户恢复至规定水平，通常为初始保证金水平。
• 逐日盯市（Marking to Market）：每日按结算价变化把盈亏计入保证金账户；多日现金流之和等于期货价格的累计变化乘以合约乘数。

保证金相对合约名义价值较低，因而形成杠杆，并降低清算机构的信用暴露，却不限制交易者的最终损失。价格跳空、流动性不足或未及时平仓时，亏损可以超过账户原有保证金，交易者仍须补足欠款。

在交割机制有效且标的可套利时，期货与现货价格会在到期日收敛；否则可在低价市场买入、在高价市场交割获利。多数交易者在到期前以反向交易平仓，实际交割比例低不影响交割选择对价格收敛的约束。

3. 套期保值、投机与基差风险#

• 套期保值者（Hedger）：用衍生品建立与已有或预期现货敞口相反的风险暴露，以降低不利价格变动对经营或资产负债的影响。
• 投机者（Speculator）：在没有相应现货敞口需要抵消时主动承担价格风险，以获取方向、波动率或价差变化带来的利润。

未来出售资产、担心价格下跌时建立空头套期保值；未来购买资产、担心价格上涨时建立多头套期保值。

本章统一把基差（Basis） 定义为同品级、同地点现货价格减期货价格：

其中：

• $b_t$：$t$ 时点的单位基差。
• $S_t$：$t$ 时点与期货标的口径一致的现货价格，$S_0$ 为其时点 0 的取值。

持有现货并卖出期货，在 $t$ 时平仓或交割的每单位合计收入为：

若在到期日精确交割，$b_T=0$，收入锁定为 $F_{0,T}$。若提前终止，或现货与期货的品级、地点、数量、到期日不同，未知的 $b_t$ 形成基差风险（Basis Risk）。部分教材采用 $F-S$ 的相反定义，使用公式前必须先固定符号口径。

• 交叉套期保值（Cross Hedge）：在缺少与现货完全匹配的期货时，使用价格变动高度相关的另一标的期货降低风险；不完全相关会留下基差风险。
• 最小方差套期保值比率（Minimum-variance Hedge Ratio）：使套期保值期间价格变动方差最小的期货头寸规模与现货敞口规模之比。

当现货与期货价格变化正相关时，该比率及合约数量为：

其中：

• $h^*$：最小方差套期保值比率，即每单位现货敞口对应的期货头寸规模。
• $\rho_{SF}$：现货价格变化与期货价格变化的相关系数。
• $\sigma_S$、$\sigma_F$：采用相同时间和单位口径的现货、期货价格变化标准差。
• $N^*$：所需期货合约数量的估计值。
• $Q_A$：被套期保值的现货数量。
• $Q_F$：每份期货合约对应的标的数量。

$N^*$ 给出数量大小，方向由现货敞口决定：为未来出售的资产套保通常卖出期货，为未来购买的资产套保通常买入期货。$h^*$ 常由历史样本估计，只最小化估计期内的方差，不保证消除尾部、流动性或结构变化风险。

日历价差（Calendar Spread） 同时持有同一标的不同到期月的多头与空头，损益取决于两合约价差的变化而非单一期货价格水平。它降低部分共同方向风险，却保留期限结构和换月风险。

4. 现货—期货平价#

现货—期货平价（Spot-Futures Parity） 用现金持有套利连接现货价格、融资成本、持有收益与期货价格。若标的在到期前支付已知现金收入，则：

若股票指数按连续股利率 $q$ 支付收益，则：

其中：

• $\operatorname{PV}(I)$：合约存续期内已知持有收入在时点 0 的现值。
• $r$：与合约期限匹配、连续复利的无风险利率。
• $q$：股票指数的连续复利股利率。

若 $r$ 与 $q$ 在 $T_1$ 至 $T_2$ 之间保持不变，同一标的不同期限的期货价格还满足：

其中 $T_1$、$T_2$ 为同一标的的两个到期日，且 $0<T_1<T_2$。

该式描述净持有成本造成的跨期价差，不表示期限结构只能单调变化；利率、股利率、便利收益和库存状态随期限变化时，各期限必须分别定价。

期货价格高于理论值时，现金持有套利通常是借款买入现货并卖出期货；价格低于理论值时采用反向策略，即卖空现货、投资所得并买入期货。卖空限制、不同借贷利率、税收、股利不确定、交易成本和资产不可储存会把单一平价变为无套利区间。

5. 远期与期货价格、预期现货与风险溢价#

利率确定时，相同交割条款的远期价格与期货价格通常相同。利率随机且期货价格与利率正相关时，多头逐日盈利往往恰逢较高再投资利率，期货相对远期更有价值，均衡期货价格可能更高；负相关时方向相反。

无套利平价连接 $F_{0,T}$ 与当前现货价格，风险溢价则连接 $F_{0,T}$ 与预期未来现货价格。简化离散复利关系为：

其中：

• $E(S_T)$：到期现货价格的期初期望值。

• $r_f$：与期限匹配的每期无风险收益率。

• $k$：标的资产在同一复利口径下的每期必要收益率。

• $k=r_f$ 时，期货价格等于预期未来现货价格。

• $k>r_f$ 时，多头承担正系统性风险并要求正预期收益，因而 $F_{0,T}<E(S_T)$。

• $k<r_f$ 时，期货可能提供坏状态对冲价值，因而 $F_{0,T}>E(S_T)$。

正常现货溢价（Normal Backwardation） 在经典风险溢价语境指 $F_{0,T}<E(S_T)$；相反关系有时称为正常期货溢价。现代商品交易中，backwardation 和 contango 也常分别表示远月低于近月、远月高于近月的期限结构。期限结构形状与相对预期未来现货的风险溢价不是同一概念。

1. 外汇远期、利率平价与汇率风险#

本节采用本币/外币报价，即一单位外币需要多少本币。抛补利率平价（Covered Interest Parity, CIP） 是由本外币无风险投资与远期锁汇复制推出的无套利关系：两条路径的到期本币价值必须相同，而不是对未来即期汇率的预测。

若 $r_d$ 与 $r_f$ 改按连续复利报价，则：

其中：

• $F_{0,T}$：时点 0 约定、到期日为 $T$ 的外币远期价格，报价单位为本币/外币。
• $X_0$：时点 0 的即期汇率，采用相同报价单位。
• $r_d$：本币无风险利率。
• $r_f$：外币无风险利率。
• $T$：从时点 0 到远期到期日的期限；利率与期限必须采用一致的复利和时间口径。

本币利率高于外币利率时，按该报价口径外币远期价格高于即期价格，即本币存在远期贴水。若平价偏离足以覆盖融资、兑换、抵押品和交易成本，可在低融资成本货币借款、兑换并投资另一货币，同时用远期锁定到期换回汇率，形成抛补利率套利。

未来收到外币、担心外币贬值的主体应卖出外币远期或期货；未来支付外币、担心外币升值的主体应买入。若本币计价敞口价值 $V$ 对汇率 $X$ 的敏感度为 $\Delta V/\Delta X$，每份合约的汇率敏感度为 $Q_F$，可先用敏感度比率估计合约数，再结合基差、期限错配和外币现金流不确定性做压力测试。

2. 股指期货与市场风险管理#

股指期货按指数点数乘以合约乘数现金结算。合成股票头寸（Synthetic Equity Position） 是用股指期货建立市场风险暴露，并将期货交割价值的现值投资于无风险资产，以复制接近指数现货的到期现金流；相反，持有指数现货并卖出期货可暂时把市场风险转换为近似无风险头寸。

若期货偏离现货—期货平价，指数套利（Index Arbitrage） 同时交易股指期货和一篮子成分股：期货高估时买入股票篮子、卖出期货；期货低估时反向交易。指数跟踪误差、交易时差、融资、卖空和冲击成本限制套利精度。

股指期货合约数可按组合贝塔的目标变化估计：

其中：

• $N^*$：所需股指期货合约数，正值表示买入、负值表示卖出。
• $\beta_P$：股票组合当前相对市场指数的贝塔。
• $\beta^*$：调整后的目标贝塔。
• $V_P$：股票组合市值。
• $F_{0,T}$：到期日为 $T$ 的股指期货价格，以指数点数报价。
• $m$：每指数点对应的货币金额，即合约乘数；$F_{0,T}m$ 为每份合约的名义价值。

令 $\beta^*=0$ 可建立近似市场中性头寸，使结果主要取决于主动选股的特质收益。实际贝塔会随市场状态变化，期货与组合基准不一致还会产生跟踪误差。

3. 利率期货与久期套期保值#

基点价值（Price Value of a Basis Point, PVBP；亦称 DV01） 是年化收益率变动 1 个基点，即 $0.0001$，对应的债券或组合价格变化绝对金额，用于统一比较和匹配利率风险：

其中：

• $\operatorname{PVBP}$：收益率变动 1 个基点时，债券或组合价格变化的绝对金额。
• $D_{mod}$：以年计的修正久期。
• $V$：债券或组合的当前市值。
• $0.0001$：1 个基点对应的收益率小数变化。

若 $\Delta y_{bp}$ 为以基点计的收益率变化，则债券价格变化近似为 $-\operatorname{PVBP}\times\Delta y_{bp}$。

若期货多头具有与债券多头相同方向的利率敏感度，使组合 $\operatorname{PVBP}$ 调整至目标值所需合约数为：

其中：

• $N^*$：所需利率期货合约数，正值表示买入、负值表示卖出。
• $\operatorname{PVBP}_{target}$：套期保值后希望达到的组合利率敏感度，采用下述有符号口径。
• $\operatorname{PVBP}_{P}$：收益率下降 1 个基点时，套期保值前债券组合的近似价值增加额。
• $\operatorname{PVBP}_{F}$：收益率下降 1 个基点时，一份利率期货多头的近似价值增加额；须与组合采用相同收益率因子和符号口径。

持有债券并担心利率上升时，目标 $\operatorname{PVBP}$ 较低，$N^*<0$，即卖出利率期货。实务还需调整最便宜可交割债券、转换因子、期货与现券基差、曲线非平行移动和凸性；单一久期对冲不能消除全部期限结构风险。

4. 利率互换、货币互换与信用风险#

名义本金（Notional Principal） 是计算互换或其他衍生品现金流的基准金额，不等于合约价值、实际投入资金或信用暴露。

利率互换（Interest Rate Swap） 约定双方按同一名义本金交换固定利息与浮动利息，普通合约不交换名义本金。支付固定、收取浮动可把固定利率资产近似转为浮动利率资产，或把浮动利率负债近似转为固定利率负债；方向相反时转换关系也相反。

平价互换利率（Par Swap Rate） 是使新签互换两端现金流现值相等、初始价值为零的固定利率。把名义本金归一化为 1，可写为：

其中：

• $K_{swap}$：使新签互换初始价值为零的年化固定利率；第 $i$ 期固定端支付比例为 $K_{swap}\alpha_i$。
• $T_i$：第 $i$ 个支付日，$i=1,\ldots,n$。
• $\alpha_i$：第 $i$ 个计息期按日计数规则确定的年化比例。
• $P(0,T_i)$：时点 0 对支付日 $T_i$ 的零息贴现因子。
• $n$：剩余支付期数，$T_n$ 为最后一个支付日。

签约后，站在收固定、付浮动一方看，互换价值可写为：

其中：

• $V_{swap}$：收固定、付浮动一方在估值时点的互换价值。
• $B_{fix}$：剩余固定端现金流的现值。
• $B_{fl}$：剩余浮动端现金流的现值。

支付固定一方的互换价值符号相反。互换交易商以固定端买卖报价差补偿做市、资本与信用成本。

货币互换（Currency Swap） 交换不同货币的本金与利息。站在收本币、付外币一方看：

其中：

• $V_{currency}$：以本币计价的货币互换价值。
• $B_d$：剩余本币现金流的本币现值。
• $B_f$：剩余外币现金流的外币现值。

多期货币互换也可理解为一组远期外汇合约，其固定互换汇率使两组现金流现值相等。

• 远期利率协议（Forward Rate Agreement, FRA）：约定未来计息期的利率，并按合同利率与届时参考利率之差进行现金结算。
• 利率上限（Interest-rate Cap）：由一系列利率上限期权组成，在参考利率高于执行利率时补偿买方，用于限制浮动利率借款成本的上升。
• 利率下限（Interest-rate Floor）：由一系列利率下限期权组成，在参考利率低于执行利率时补偿买方，用于限制浮动利率资产收益的下降。
• 互换期权（Swaption）：赋予买方在未来按约定条款进入利率互换的权利，而非义务。

对买方而言，利率上限、下限和互换期权只限制不利方向并保留有利变化，FRA 与互换则锁定双向价格，不能仅因标的相同而互换使用。

互换违约损失主要取决于合约的正重置价值与未来潜在暴露，并受到净额结算、抵押品、中央清算和错误方向风险影响。

信用违约互换（Credit Default Swap, CDS） 与固定—浮动利率互换不同：保护买方定期支付费用，发生约定信用事件时保护卖方补偿参考债务的损失。CDS 可转移信用风险，也可在不持有参考债券时建立信用风险敞口。

5. 商品期货、持有成本与便利收益#

便利收益（Convenience Yield） 是持有现货库存带来的非现金利益，例如避免生产中断或及时满足订单；它提高现货的相对价值，并降低其他条件相同的期货价格。可储存商品的持有成本平价为：

其中：

• $F_{0,T}$：时点 0 约定、到期日为 $T$ 的商品期货价格。
• $S_0$：商品在时点 0 的现货价格。
• $r$：与期限匹配、连续复利的无风险利率。
• $u$：仓储、保险和损耗等成本的连续比例收益率。
• $y$：以连续比例收益率表示的便利收益。

其他条件不变时，仓储成本提高期货价格，便利收益降低期货价格。便利收益通常不可直接观察，可由现货、期货、利率和仓储成本反推。

该平价要求能够买入、持有并在到期交割同一商品。电力等不可储存商品、易腐商品、跨收获季农产品、卖空受限商品，以及存在明显品质和地点分割的市场，不能机械使用现金持有套利等式；季节供给和库存约束会使期货曲线呈现非单调形状。

无法实施储存套利时，可在明确资产定价模型下把期货价格写为风险调整后的预期现货价格：

其中：

• $E(S_T)$：到期商品现货价格的期初期望值。
• $r_f$：与期限匹配的每期无风险收益率；此处不再表示第一小节的外币利率。
• $k$：取得未来商品所含系统性风险对应的每期必要收益率。

该式依赖预期现货与风险模型，不是与持有成本平价相互竞争的第二个无条件恒等式；对可储存商品，两种方法在输入一致时应相容。

第 20 章：期权市场介绍#

第 21 章：期权定价#

第 22 章：期货市场#

第 23 章：期货、互换与风险管理#